Theorem clim2serzi 8405

Description: Limit of an infinite series with an initial segment removed.

Hypotheses

Ref	Expression
clim2serz.1	|- F e. _V
clim2serz.2	|- A e. _V
clim2serz.3	|- (<.M, + >. seq F) ~~> A
clim2serz.4	|- F:(ZZ>=` M)-->CC

Assertion

Ref	Expression
clim2serzi	|- (N e. (ZZ>=` M) -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (A - ((<.M, + >. seq F)` N)))

Proof of Theorem clim2serzi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 7658	. . . . . . 7 |- (j e. (M...N) -> j e. (ZZ>=` M))
2		clim2serz.4	. . . . . . . 8 |- F:(ZZ>=` M)-->CC
3	2	ffvelrni 4788	. . . . . . 7 |- (j e. (ZZ>=` M) -> (F` j) e. CC)
4	1, 3	syl 12	. . . . . 6 |- (j e. (M...N) -> (F` j) e. CC)
5	4	rgen 2159	. . . . 5 |- A.j e. (M...N)(F` j) e. CC
6		clim2serz.1	. . . . . 6 |- F e. _V
7	6	serzcl 8305	. . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (M...N)(F` j) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F)` N) e. CC)
8	5, 7	mpan2 760	. . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((<.M, + >. seq F)` N) e. CC)
9		negcl 6525	. . . 4 |- (((<.M, + >. seq F)` N) e. CC -> -u((<.M, + >. seq F)` N) e. CC)
10	8, 9	syl 12	. . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> -u((<.M, + >. seq F)` N) e. CC)
11		eluzelz 7592	. . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> N e. ZZ)
12	11	peano2zdi 7376	. . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (N + 1) e. ZZ)
13	6	serzcl 8305	. . . . . 6 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (M...k)(F` j) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F)` k) e. CC)
14		uztrn 7597	. . . . . . . 8 |- ((k e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ (N + 1) e. (ZZ>=` M)) -> k e. (ZZ>=` M))
15		peano2uz 7616	. . . . . . . 8 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (N + 1) e. (ZZ>=` M))
16	14, 15	sylan2 500	. . . . . . 7 |- ((k e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ N e. (ZZ>=` M)) -> k e. (ZZ>=` M))
17	16	ancoms 484	. . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> k e. (ZZ>=` M))
18		elfzuz 7658	. . . . . . . 8 |- (j e. (M...k) -> j e. (ZZ>=` M))
19	18, 3	syl 12	. . . . . . 7 |- (j e. (M...k) -> (F` j) e. CC)
20	19	rgen 2159	. . . . . 6 |- A.j e. (M...k)(F` j) e. CC
21	13, 17, 20	sylancl 525	. . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> ((<.M, + >. seq F)` k) e. CC)
22	8	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> ((<.M, + >. seq F)` N) e. CC)
23		negsub 6540	. . . . . . 7 |- ((((<.M, + >. seq F)` k) e. CC /\ ((<.M, + >. seq F)` N) e. CC) -> (((<.M, + >. seq F)` k) + -u((<.M, + >. seq F)` N)) = (((<.M, + >. seq F)` k) - ((<.M, + >. seq F)` N)))
24	21, 22, 23	syl11anc 524	. . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> (((<.M, + >. seq F)` k) + -u((<.M, + >. seq F)` N)) = (((<.M, + >. seq F)` k) - ((<.M, + >. seq F)` N)))
25		eluzelz 7592	. . . . . . . . . 10 |- (k e. (ZZ>=` (N + 1)) -> k e. ZZ)
26	25	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> k e. ZZ)
27		eluzp1m1 7602	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. ZZ /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> (k - 1) e. (ZZ>=` N))
28	27, 11	sylan 497	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> (k - 1) e. (ZZ>=` N))
29		eluzfz 7647	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ (k - 1) e. (ZZ>=` N)) -> N e. (M...(k - 1)))
30	28, 29	syldan 516	. . . . . . . . 9 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> N e. (M...(k - 1)))
31	20	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> A.j e. (M...k)(F` j) e. CC)
32	6	serzsplit 8316	. . . . . . . . 9 |- ((k e. ZZ /\ N e. (M...(k - 1)) /\ A.j e. (M...k)(F` j) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F)` k) = (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` k)))
33	26, 30, 31, 32	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> ((<.M, + >. seq F)` k) = (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` k)))
34	33	eqcomd 1889	. . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` k)) = ((<.M, + >. seq F)` k))
35		simpr 350	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> k e. (ZZ>=` (N + 1)))
36		uztrn 7597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((j e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ (N + 1) e. (ZZ>=` M)) -> j e. (ZZ>=` M))
37		elfzuz 7658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (j e. ((N + 1)...k) -> j e. (ZZ>=` (N + 1)))
38	36, 37, 15	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((j e. ((N + 1)...k) /\ N e. (ZZ>=` M)) -> j e. (ZZ>=` M))
39	38, 3	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((j e. ((N + 1)...k) /\ N e. (ZZ>=` M)) -> (F` j) e. CC)
40	39	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ j e. ((N + 1)...k)) -> (F` j) e. CC)
41		fvres 4691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (j e. (ZZ>=` (N + 1)) -> ((F |` (ZZ>=` (N + 1)))` j) = (F` j))
42	37, 41	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (j e. ((N + 1)...k) -> ((F |` (ZZ>=` (N + 1)))` j) = (F` j))
43	42	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (j e. ((N + 1)...k) -> (((F |` (ZZ>=` (N + 1)))` j) e. CC <-> (F` j) e. CC))
44	43	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ j e. ((N + 1)...k)) -> (((F |` (ZZ>=` (N + 1)))` j) e. CC <-> (F` j) e. CC))
45	40, 44	mpbird 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ j e. ((N + 1)...k)) -> ((F |` (ZZ>=` (N + 1)))` j) e. CC)
46	45	r19.21aiva 2176	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. (ZZ>=` M) -> A.j e. ((N + 1)...k)((F |` (ZZ>=` (N + 1)))` j) e. CC)
47	46	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> A.j e. ((N + 1)...k)((F |` (ZZ>=` (N + 1)))` j) e. CC)
48		resexg 4250	. . . . . . . . . . . 12 |- (F e. _V -> (F |` (ZZ>=` (N + 1))) e. _V)
49	6, 48	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (F |` (ZZ>=` (N + 1))) e. _V
50	49	serzcl 8305	. . . . . . . . . 10 |- ((k e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ A.j e. ((N + 1)...k)((F |` (ZZ>=` (N + 1)))` j) e. CC) -> ((<.(N + 1), + >. seq (F |` (ZZ>=` (N + 1))))` k) e. CC)
51	35, 47, 50	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> ((<.(N + 1), + >. seq (F |` (ZZ>=` (N + 1))))` k) e. CC)
52		addex 6470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- + e. _V
53	52, 6	seqzres 7803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((N + 1) e. ZZ -> (<.(N + 1), + >. seq (F |` (ZZ>=` (N + 1)))) = (<.(N + 1), + >. seq F))
54	12, 53	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (<.(N + 1), + >. seq (F |` (ZZ>=` (N + 1)))) = (<.(N + 1), + >. seq F))
55	54	fveq1d 4683	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((<.(N + 1), + >. seq (F |` (ZZ>=` (N + 1))))` k) = ((<.(N + 1), + >. seq F)` k))
56	55	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (((<.(N + 1), + >. seq (F |` (ZZ>=` (N + 1))))` k) e. CC <-> ((<.(N + 1), + >. seq F)` k) e. CC))
57	56	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> (((<.(N + 1), + >. seq (F |` (ZZ>=` (N + 1))))` k) e. CC <-> ((<.(N + 1), + >. seq F)` k) e. CC))
58	51, 57	mpbid 212	. . . . . . . 8 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> ((<.(N + 1), + >. seq F)` k) e. CC)
59		subadd 6532	. . . . . . . 8 |- ((((<.M, + >. seq F)` k) e. CC /\ ((<.M, + >. seq F)` N) e. CC /\ ((<.(N + 1), + >. seq F)` k) e. CC) -> ((((<.M, + >. seq F)` k) - ((<.M, + >. seq F)` N)) = ((<.(N + 1), + >. seq F)` k) <-> (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` k)) = ((<.M, + >. seq F)` k)))
60	21, 22, 58, 59	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> ((((<.M, + >. seq F)` k) - ((<.M, + >. seq F)` N)) = ((<.(N + 1), + >. seq F)` k) <-> (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` k)) = ((<.M, + >. seq F)` k)))
61	34, 60	mpbird 213	. . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> (((<.M, + >. seq F)` k) - ((<.M, + >. seq F)` N)) = ((<.(N + 1), + >. seq F)` k))
62	24, 61	eqtr2d 1926	. . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> ((<.(N + 1), + >. seq F)` k) = (((<.M, + >. seq F)` k) + -u((<.M, + >. seq F)` N)))
63	21, 62	jca 310	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> (((<.M, + >. seq F)` k) e. CC /\ ((<.(N + 1), + >. seq F)` k) = (((<.M, + >. seq F)` k) + -u((<.M, + >. seq F)` N))))
64	63	r19.21aiva 2176	. . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> A.k e. (ZZ>=` (N + 1))(((<.M, + >. seq F)` k) e. CC /\ ((<.(N + 1), + >. seq F)` k) = (((<.M, + >. seq F)` k) + -u((<.M, + >. seq F)` N))))
65		clim2serz.3	. . . 4 |- (<.M, + >. seq F) ~~> A
66		oprex 4907	. . . . 5 |- (<.M, + >. seq F) e. _V
67		oprex 4907	. . . . 5 |- (<.(N + 1), + >. seq F) e. _V
68		clim2serz.2	. . . . 5 |- A e. _V
69		negex 6522	. . . . 5 |- -u((<.M, + >. seq F)` N) e. _V
70	66, 67, 68, 69	climaddc1 8378	. . . 4 |- ((((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ -u((<.M, + >. seq F)` N) e. CC) /\ ((N + 1) e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` (N + 1))(((<.M, + >. seq F)` k) e. CC /\ ((<.(N + 1), + >. seq F)` k) = (((<.M, + >. seq F)` k) + -u((<.M, + >. seq F)` N))))) -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (A + -u((<.M, + >. seq F)` N)))
71	65, 70	mpanl1 770	. . 3 |- ((-u((<.M, + >. seq F)` N) e. CC /\ ((N + 1) e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` (N + 1))(((<.M, + >. seq F)` k) e. CC /\ ((<.(N + 1), + >. seq F)` k) = (((<.M, + >. seq F)` k) + -u((<.M, + >. seq F)` N))))) -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (A + -u((<.M, + >. seq F)` N)))
72	10, 12, 64, 71	syl12anc 1098	. 2 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (A + -u((<.M, + >. seq F)` N)))
73		negsub 6540	. . 3 |- ((A e. CC /\ ((<.M, + >. seq F)` N) e. CC) -> (A + -u((<.M, + >. seq F)` N)) = (A - ((<.M, + >. seq F)` N)))
74		climcl 8238	. . . 4 |- ((A e. _V /\ (<.M, + >. seq F) ~~> A) -> A e. CC)
75	68, 65, 74	mp2an 761	. . 3 |- A e. CC
76	73, 75, 8	sylancr 526	. 2 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (A + -u((<.M, + >. seq F)` N)) = (A - ((<.M, + >. seq F)` N)))
77	72, 76	breqtrd 3361	1 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (A - ((<.M, + >. seq F)` N)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338   |` cres 3988  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445  -ucneg 6446  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637   seq cseqz 7774   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  iserzexi 8406  climserzlei 8407  isumspliti 8477  geolim1i 8500  efm1limi 8676

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain