Theorem clim2serz 8394

Description: The limit of an infinite series with an initial segment removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2serzt.1	|- A e. _V
clim2serzt.2	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
clim2serz	|- (((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (A - ((<.M, + >. seq F)` N)))

Distinct variable groups:   k,F   k,M   k,N

Proof of Theorem clim2serz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 4907	. . . . . 6 |- (<.M, + >. seq F) e. _V
2		oprex 4907	. . . . . 6 |- (<.(N + 1), + >. seq F) e. _V
3		clim2serzt.1	. . . . . 6 |- A e. _V
4		negex 6522	. . . . . 6 |- -u((<.M, + >. seq F)` N) e. _V
5	1, 2, 3, 4	climaddc1 8378	. . . . 5 |- ((((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ -u((<.M, + >. seq F)` N) e. CC) /\ ((N + 1) e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>=` (N + 1))(((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.(N + 1), + >. seq F)` n) = (((<.M, + >. seq F)` n) + -u((<.M, + >. seq F)` N))))) -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (A + -u((<.M, + >. seq F)` N)))
6	5	anasss 488	. . . 4 |- (((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ (-u((<.M, + >. seq F)` N) e. CC /\ ((N + 1) e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>=` (N + 1))(((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.(N + 1), + >. seq F)` n) = (((<.M, + >. seq F)` n) + -u((<.M, + >. seq F)` N)))))) -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (A + -u((<.M, + >. seq F)` N)))
7		clim2serzt.2	. . . . . . . 8 |- F e. _V
8	7	serzcl 8305	. . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (M...N)(F` k) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F)` N) e. CC)
9		negcl 6525	. . . . . . 7 |- (((<.M, + >. seq F)` N) e. CC -> -u((<.M, + >. seq F)` N) e. CC)
10	8, 9	syl 12	. . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (M...N)(F` k) e. CC) -> -u((<.M, + >. seq F)` N) e. CC)
11		elfzuz 7658	. . . . . . . 8 |- (k e. (M...N) -> k e. (ZZ>=` M))
12	11	imim1i 19	. . . . . . 7 |- ((k e. (ZZ>=` M) -> (F` k) e. CC) -> (k e. (M...N) -> (F` k) e. CC))
13	12	ralimi2 2165	. . . . . 6 |- (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC -> A.k e. (M...N)(F` k) e. CC)
14	10, 13	sylan2 500	. . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> -u((<.M, + >. seq F)` N) e. CC)
15		eluzelz 7592	. . . . . . 7 |- (N e. (ZZ>=` M) -> N e. ZZ)
16	15	peano2zdi 7376	. . . . . 6 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (N + 1) e. ZZ)
17	16	adantr 425	. . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (N + 1) e. ZZ)
18		peano2uz 7616	. . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (N + 1) e. (ZZ>=` M))
19		uztrn 7597	. . . . . . . . . 10 |- ((n e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ (N + 1) e. (ZZ>=` M)) -> n e. (ZZ>=` M))
20	19	expcom 403	. . . . . . . . 9 |- ((N + 1) e. (ZZ>=` M) -> (n e. (ZZ>=` (N + 1)) -> n e. (ZZ>=` M)))
21	18, 20	syl 12	. . . . . . . 8 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (n e. (ZZ>=` (N + 1)) -> n e. (ZZ>=` M)))
22	7	serzcl2 8309	. . . . . . . . 9 |- ((n e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F)` n) e. CC)
23	22	expcom 403	. . . . . . . 8 |- (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC -> (n e. (ZZ>=` M) -> ((<.M, + >. seq F)` n) e. CC))
24	21, 23	sylan9 517	. . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (n e. (ZZ>=` (N + 1)) -> ((<.M, + >. seq F)` n) e. CC))
25	7	serzcl2 8309	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F)` N) e. CC)
26	24, 25	jctird 663	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (n e. (ZZ>=` (N + 1)) -> (((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.M, + >. seq F)` N) e. CC)))
27		negsub 6540	. . . . . . . . . . 11 |- ((((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.M, + >. seq F)` N) e. CC) -> (((<.M, + >. seq F)` n) + -u((<.M, + >. seq F)` N)) = (((<.M, + >. seq F)` n) - ((<.M, + >. seq F)` N)))
28	26, 27	syl6 25	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (n e. (ZZ>=` (N + 1)) -> (((<.M, + >. seq F)` n) + -u((<.M, + >. seq F)` N)) = (((<.M, + >. seq F)` n) - ((<.M, + >. seq F)` N))))
29	28	imp 377	. . . . . . . . 9 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) /\ n e. (ZZ>=` (N + 1))) -> (((<.M, + >. seq F)` n) + -u((<.M, + >. seq F)` N)) = (((<.M, + >. seq F)` n) - ((<.M, + >. seq F)` N)))
30		eluzp1m1 7602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((N e. ZZ /\ n e. (ZZ>=` (N + 1))) -> (n - 1) e. (ZZ>=` N))
31	30, 15	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ n e. (ZZ>=` (N + 1))) -> (n - 1) e. (ZZ>=` N))
32		eluzfz 7647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ (n - 1) e. (ZZ>=` N)) -> N e. (M...(n - 1)))
33	31, 32	syldan 516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ n e. (ZZ>=` (N + 1))) -> N e. (M...(n - 1)))
34	33	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((n e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ N e. (ZZ>=` M)) -> N e. (M...(n - 1)))
35	7	serzsplit 8316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((n e. ZZ /\ N e. (M...(n - 1)) /\ A.k e. (M...n)(F` k) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F)` n) = (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` n)))
36		eluzelz 7592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n e. (ZZ>=` (N + 1)) -> n e. ZZ)
37	35, 36	syl3an1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((n e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ N e. (M...(n - 1)) /\ A.k e. (M...n)(F` k) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F)` n) = (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` n)))
38	37	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((n e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ N e. (M...(n - 1)) /\ A.k e. (M...n)(F` k) e. CC) -> (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` n)) = ((<.M, + >. seq F)` n))
39	38	3expia 1069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((n e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ N e. (M...(n - 1))) -> (A.k e. (M...n)(F` k) e. CC -> (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` n)) = ((<.M, + >. seq F)` n)))
40	34, 39	syldan 516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ N e. (ZZ>=` M)) -> (A.k e. (M...n)(F` k) e. CC -> (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` n)) = ((<.M, + >. seq F)` n)))
41		elfzuz 7658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. (M...n) -> k e. (ZZ>=` M))
42	41	imim1i 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((k e. (ZZ>=` M) -> (F` k) e. CC) -> (k e. (M...n) -> (F` k) e. CC))
43	42	ralimi2 2165	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC -> A.k e. (M...n)(F` k) e. CC)
44	40, 43	syl5 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ((n e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ N e. (ZZ>=` M)) -> (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC -> (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` n)) = ((<.M, + >. seq F)` n)))
45	44	expimpd 404	. . . . . . . . . . 11 |- (n e. (ZZ>=` (N + 1)) -> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` n)) = ((<.M, + >. seq F)` n)))
46	45	impcom 378	. . . . . . . . . 10 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) /\ n e. (ZZ>=` (N + 1))) -> (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` n)) = ((<.M, + >. seq F)` n))
47	25	a1d 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (n e. (ZZ>=` (N + 1)) -> ((<.M, + >. seq F)` N) e. CC))
48	7	serzcl 8305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((n e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ A.k e. ((N + 1)...n)(F` k) e. CC) -> ((<.(N + 1), + >. seq F)` n) e. CC)
49		uztrn 7597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((k e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ (N + 1) e. (ZZ>=` M)) -> k e. (ZZ>=` M))
50		elfzuz 7658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (k e. ((N + 1)...n) -> k e. (ZZ>=` (N + 1)))
51	49, 50, 18	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((k e. ((N + 1)...n) /\ N e. (ZZ>=` M)) -> k e. (ZZ>=` M))
52	51	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (k e. ((N + 1)...n) -> k e. (ZZ>=` M)))
53	52	imim1d 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((k e. (ZZ>=` M) -> (F` k) e. CC) -> (k e. ((N + 1)...n) -> (F` k) e. CC)))
54	53	ralimdv2 2173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC -> A.k e. ((N + 1)...n)(F` k) e. CC))
55	54	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> A.k e. ((N + 1)...n)(F` k) e. CC)
56	48, 55	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((n e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC)) -> ((<.(N + 1), + >. seq F)` n) e. CC)
57	56	expcom 403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (n e. (ZZ>=` (N + 1)) -> ((<.(N + 1), + >. seq F)` n) e. CC))
58	24, 47, 57	3jcad 1051	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (n e. (ZZ>=` (N + 1)) -> (((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.M, + >. seq F)` N) e. CC /\ ((<.(N + 1), + >. seq F)` n) e. CC)))
59		subadd 6532	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.M, + >. seq F)` N) e. CC /\ ((<.(N + 1), + >. seq F)` n) e. CC) -> ((((<.M, + >. seq F)` n) - ((<.M, + >. seq F)` N)) = ((<.(N + 1), + >. seq F)` n) <-> (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` n)) = ((<.M, + >. seq F)` n)))
60	58, 59	syl6 25	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (n e. (ZZ>=` (N + 1)) -> ((((<.M, + >. seq F)` n) - ((<.M, + >. seq F)` N)) = ((<.(N + 1), + >. seq F)` n) <-> (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` n)) = ((<.M, + >. seq F)` n))))
61	60	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) /\ n e. (ZZ>=` (N + 1))) -> ((((<.M, + >. seq F)` n) - ((<.M, + >. seq F)` N)) = ((<.(N + 1), + >. seq F)` n) <-> (((<.M, + >. seq F)` N) + ((<.(N + 1), + >. seq F)` n)) = ((<.M, + >. seq F)` n)))
62	46, 61	mpbird 213	. . . . . . . . 9 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) /\ n e. (ZZ>=` (N + 1))) -> (((<.M, + >. seq F)` n) - ((<.M, + >. seq F)` N)) = ((<.(N + 1), + >. seq F)` n))
63	29, 62	eqtr2d 1926	. . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) /\ n e. (ZZ>=` (N + 1))) -> ((<.(N + 1), + >. seq F)` n) = (((<.M, + >. seq F)` n) + -u((<.M, + >. seq F)` N)))
64	63	ex 402	. . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (n e. (ZZ>=` (N + 1)) -> ((<.(N + 1), + >. seq F)` n) = (((<.M, + >. seq F)` n) + -u((<.M, + >. seq F)` N))))
65	24, 64	jcad 661	. . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (n e. (ZZ>=` (N + 1)) -> (((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.(N + 1), + >. seq F)` n) = (((<.M, + >. seq F)` n) + -u((<.M, + >. seq F)` N)))))
66	65	r19.21aiv 2175	. . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> A.n e. (ZZ>=` (N + 1))(((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.(N + 1), + >. seq F)` n) = (((<.M, + >. seq F)` n) + -u((<.M, + >. seq F)` N))))
67	14, 17, 66	jca32 312	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (-u((<.M, + >. seq F)` N) e. CC /\ ((N + 1) e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>=` (N + 1))(((<.M, + >. seq F)` n) e. CC /\ ((<.(N + 1), + >. seq F)` n) = (((<.M, + >. seq F)` n) + -u((<.M, + >. seq F)` N))))))
68	6, 67	sylan2 500	. . 3 |- (((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC)) -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (A + -u((<.M, + >. seq F)` N)))
69		negsub 6540	. . . 4 |- ((A e. CC /\ ((<.M, + >. seq F)` N) e. CC) -> (A + -u((<.M, + >. seq F)` N)) = (A - ((<.M, + >. seq F)` N)))
70		climcl 8238	. . . . 5 |- ((A e. _V /\ (<.M, + >. seq F) ~~> A) -> A e. CC)
71	3, 70	mpan 759	. . . 4 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> A -> A e. CC)
72	69, 71, 25	syl2an 503	. . 3 |- (((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC)) -> (A + -u((<.M, + >. seq F)` N)) = (A - ((<.M, + >. seq F)` N)))
73	68, 72	breqtrd 3361	. 2 |- (((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC)) -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (A - ((<.M, + >. seq F)` N)))
74	73	3impb 1063	1 |- (((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (A - ((<.M, + >. seq F)` N)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445  -ucneg 6446  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637   seq cseqz 7774   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  iserzex 8395

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain