Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clim1fr1 Structured version   Unicode version

Theorem clim1fr1 31466
 Description: A class of sequences of fractions that converge to 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim1fr1.1
clim1fr1.2
clim1fr1.3
clim1fr1.4
Assertion
Ref Expression
clim1fr1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem clim1fr1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11129 . . 3
2 1z 10906 . . . 4
32a1i 11 . . 3
4 nnex 10554 . . . . . 6
54mptex 6142 . . . . 5
65a1i 11 . . . 4
73zcnd 10979 . . . 4
8 eqidd 2468 . . . . . 6
9 eqidd 2468 . . . . . 6
10 id 22 . . . . . 6
11 ax-1cn 9562 . . . . . . 7
1211a1i 11 . . . . . 6
138, 9, 10, 12fvmptd 5962 . . . . 5
1413adantl 466 . . . 4
151, 3, 6, 7, 14climconst 13346 . . 3
16 clim1fr1.1 . . . . 5
174mptex 6142 . . . . 5
1816, 17eqeltri 2551 . . . 4
1918a1i 11 . . 3
20 clim1fr1.4 . . . . . . 7
2120adantr 465 . . . . . 6
22 clim1fr1.2 . . . . . . 7
2322adantr 465 . . . . . 6
24 nncn 10556 . . . . . . 7
2524adantl 466 . . . . . 6
26 clim1fr1.3 . . . . . . 7
2726adantr 465 . . . . . 6
28 nnne0 10580 . . . . . . 7
2928adantl 466 . . . . . 6
3021, 23, 25, 27, 29divdiv1d 10363 . . . . 5
3130mpteq2dva 4539 . . . 4
3220, 22, 26divcld 10332 . . . . 5
33 divcnv 13645 . . . . 5
3432, 33syl 16 . . . 4
3531, 34eqbrtrrd 4475 . . 3
36 eqid 2467 . . . . . 6
3711a1i 11 . . . . . 6
3836, 37fmpti 6055 . . . . 5
3938a1i 11 . . . 4
4039ffvelrnda 6032 . . 3
4123, 25mulcld 9628 . . . . . 6
4223, 25, 27, 29mulne0d 10213 . . . . . 6
4321, 41, 42divcld 10332 . . . . 5
44 eqid 2467 . . . . 5
4543, 44fmptd 6056 . . . 4
4645ffvelrnda 6032 . . 3
4716a1i 11 . . . . 5
48 oveq2 6303 . . . . . . . 8
4948oveq1d 6310 . . . . . . 7
5049, 48oveq12d 6313 . . . . . 6
5150adantl 466 . . . . 5
52 simpr 461 . . . . 5
5322adantr 465 . . . . . . . 8
5452nncnd 10564 . . . . . . . 8
5553, 54mulcld 9628 . . . . . . 7
5620adantr 465 . . . . . . 7
5755, 56addcld 9627 . . . . . 6
5826adantr 465 . . . . . . 7
5952nnne0d 10592 . . . . . . 7
6053, 54, 58, 59mulne0d 10213 . . . . . 6
6157, 55, 60divcld 10332 . . . . 5
6247, 51, 52, 61fvmptd 5962 . . . 4
6355, 56, 55, 60divdird 10370 . . . . 5
6455, 60dividd 10330 . . . . . 6
6564oveq1d 6310 . . . . 5
6663, 65eqtrd 2508 . . . 4
6714eqcomd 2475 . . . . 5
68 eqidd 2468 . . . . . . 7
69 simpr 461 . . . . . . . . 9
7069oveq2d 6311 . . . . . . . 8
7170oveq2d 6311 . . . . . . 7
7256, 55, 60divcld 10332 . . . . . . 7
7368, 71, 52, 72fvmptd 5962 . . . . . 6
7473eqcomd 2475 . . . . 5
7567, 74oveq12d 6313 . . . 4
7662, 66, 753eqtrd 2512 . . 3
771, 3, 15, 19, 35, 40, 46, 76climadd 13434 . 2
78 1p0e1 10660 . 2
7977, 78syl6breq 4492 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  cvv 3118   class class class wbr 4453   cmpt 4511  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509   cdiv 10218  cn 10548  cz 10876   cli 13287 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292 This theorem is referenced by:  wallispilem5  31692
 Copyright terms: Public domain W3C validator