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Theorem clim 13464
Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence  F is  A, or  F converges to  A. This means that for any real  x, no matter how small, there always exists an integer 
j such that the absolute difference of any later complex number in the sequence and the limit is less than  x. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clim.1  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
clim.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `
 k )  =  B )
Assertion
Ref Expression
clim  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A )
)  <  x )
) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, A    j, F, k, x    ph, j, k, x
Allowed substitution hints:    B( x, j, k)    V( x, j, k)

Proof of Theorem clim
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 13462 . . . . 5  |-  Rel  ~~>
21brrelex2i 4864 . . . 4  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  _V )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  _V )
)
4 elex 3067 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  _V )
54adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  A  e.  _V )
65a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  A  e.  _V ) )
7 clim.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
8 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  y  =  A )
98eleq1d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( y  e.  CC  <->  A  e.  CC ) )
10 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  k )  =  ( F `  k ) )
1110adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( f `  k
)  =  ( F `
 k ) )
1211eleq1d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( ( f `  k )  e.  CC  <->  ( F `  k )  e.  CC ) )
13 oveq12 6286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  k
)  =  ( F `
 k )  /\  y  =  A )  ->  ( ( f `  k )  -  y
)  =  ( ( F `  k )  -  A ) )
1410, 13sylan 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( ( f `  k )  -  y
)  =  ( ( F `  k )  -  A ) )
1514fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) ) )
1615breq1d 4404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  x
) )
1712, 16anbi12d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( ( ( f `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( f `  k )  -  y
) )  <  x
)  <->  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  x
) ) )
1817ralbidv 2842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  x ) ) )
1918rexbidv 2917 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
2019ralbidv 2842 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( f `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( f `
 k )  -  y ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) )
219, 20anbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  <  x ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
22 df-clim 13458 . . . . . 6  |-  ~~>  =  { <. f ,  y >.  |  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  <  x ) ) }
2321, 22brabga 4703 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  _V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
2423ex 432 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  ( A  e.  _V  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) ) ) )
257, 24syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  _V  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) ) ) )
263, 6, 25pm5.21ndd 352 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
27 eluzelz 11135 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  k  e.  ZZ )
28 clim.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `
 k )  =  B )
2928eleq1d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( F `  k )  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
3028oveq1d 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( F `  k )  -  A )  =  ( B  -  A
) )
3130fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  =  ( abs `  ( B  -  A ) ) )
3231breq1d 4404 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x
) )
3329, 32anbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  x )  <->  ( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x
) ) )
3427, 33sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  x )  <->  ( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x
) ) )
3534ralbidva 2839 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) ) )
3635rexbidv 2917 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
x ) ) )
3736ralbidv 2842 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A )
)  <  x )
) )
3837anbi2d 702 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A )
)  <  x )
) ) )
3926, 38bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A )
)  <  x )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   _Vcvv 3058   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519    < clt 9657    - cmin 9840   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126   RR+crp 11264   abscabs 13214    ~~> cli 13454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-fv 5576  df-ov 6280  df-neg 9843  df-z 10905  df-uz 11127  df-clim 13458
This theorem is referenced by:  climcl  13469  clim2  13474  climshftlem  13544  climsuse  36963  ioodvbdlimc1lem2  37078  ioodvbdlimc2lem  37080
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