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Theorem cleqhOLD 2545
Description: Obsolete proof of cleqh 2544 as of 14-Nov-2019. (Contributed by NM, 26-May-1993.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cleqh.1  |-  ( y  e.  A  ->  A. x  y  e.  A )
cleqh.2  |-  ( y  e.  B  ->  A. x  y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
cleqhOLD  |-  ( A  =  B  <->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    x, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem cleqhOLD
StepHypRef Expression
1 dfcleq 2422 . 2  |-  ( A  =  B  <->  A. y
( y  e.  A  <->  y  e.  B ) )
2 ax-5 1751 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  ->  A. y
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
3 dfbi2 632 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  <->  y  e.  B )  <->  ( (
y  e.  A  -> 
y  e.  B )  /\  ( y  e.  B  ->  y  e.  A ) ) )
4 cleqh.1 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  A. x  y  e.  A )
5 cleqh.2 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  A. x  y  e.  B )
64, 5hbim 1980 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  -> 
y  e.  B )  ->  A. x ( y  e.  A  ->  y  e.  B ) )
75, 4hbim 1980 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  -> 
y  e.  A )  ->  A. x ( y  e.  B  ->  y  e.  A ) )
86, 7hban 1989 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  A  ->  y  e.  B )  /\  ( y  e.  B  ->  y  e.  A ) )  ->  A. x ( ( y  e.  A  ->  y  e.  B )  /\  (
y  e.  B  -> 
y  e.  A ) ) )
93, 8hbxfrbi 1690 . . . 4  |-  ( ( y  e.  A  <->  y  e.  B )  ->  A. x
( y  e.  A  <->  y  e.  B ) )
10 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
11 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
1210, 11bibi12d 322 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  ( y  e.  A  <->  y  e.  B
) ) )
1312biimpd 210 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  -> 
( y  e.  A  <->  y  e.  B ) ) )
142, 9, 13cbv3h 2072 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  ->  A. y
( y  e.  A  <->  y  e.  B ) )
1512equcoms 1847 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  ( y  e.  A  <->  y  e.  B
) ) )
1615biimprd 226 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  A  <->  y  e.  B )  -> 
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
179, 2, 16cbv3h 2072 . . 3  |-  ( A. y ( y  e.  A  <->  y  e.  B
)  ->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
1814, 17impbii 190 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  A. y ( y  e.  A  <->  y  e.  B ) )
191, 18bitr4i 255 1  |-  ( A  =  B  <->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-ex 1660  df-nf 1664  df-cleq 2421  df-clel 2424
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