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Theorem cldsubg 21112
Description: A subgroup of finite index is closed iff it is open. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
cldsubg.1  |-  R  =  ( G ~QG  S )
cldsubg.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
cldsubg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  S  e.  J ) )

Proof of Theorem cldsubg
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  G  e.  TopGrp )
2 subgntr.h . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 cldsubg.2 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
42, 3tgptopon 21084 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
51, 4syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
6 toponuni 19929 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
75, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  X  =  U. J )
87difeq1d 3582 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  \  U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
) )  =  ( U. J  \  U. ( ( X /. R )  \  { S } ) ) )
9 simpl2 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
10 unisng 4232 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U. { S }  =  S )
119, 10syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. { S }  =  S
)
1211uneq2d 3620 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u.  U. { S } )  =  ( U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  u.  S ) )
13 uniun 4235 . . . . . . . 8  |-  U. (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u. 
U. { S }
)
14 undif1 3870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X /. R
)  \  { S } )  u.  { S } )  =  ( ( X /. R
)  u.  { S } )
15 cldsubg.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  R  =  ( G ~QG  S )
16 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
173, 15, 16eqgid 16857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  =  S )
189, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  =  S )
19 ovex 6330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G ~QG  S )  e.  _V
2015, 19eqeltri 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  R  e. 
_V
21 tgpgrp 21080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
221, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  G  e.  Grp )
233, 16grpidcl 16682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
25 ecelqsg 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  _V  /\  ( 0g `  G )  e.  X )  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  e.  ( X /. R
) )
2620, 24, 25sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  e.  ( X /. R ) )
2718, 26eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  e.  ( X /. R
) )
2827snssd 4142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  { S }  C_  ( X /. R ) )
29 ssequn2 3639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { S }  C_  ( X /. R )  <->  ( ( X /. R )  u. 
{ S } )  =  ( X /. R ) )
3028, 29sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  u.  { S } )  =  ( X /. R ) )
3114, 30syl5eq 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  ( X /. R ) )
3231unieqd 4226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  U. ( X /. R ) )
333, 15eqger 16855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  R  Er  X )
349, 33syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  R  Er  X )
3520a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  R  e.  _V )
3634, 35uniqs2 7430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. ( X /. R )  =  X )
3732, 36eqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  X )
3813, 37syl5eqr 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u.  U. { S } )  =  X )
3912, 38eqtr3d 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u.  S
)  =  X )
40 difss 3592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  C_  ( X /. R )
4140unissi 4239 . . . . . . . 8  |-  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  U. ( X /. R )
4241, 36syl5sseq 3512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  X
)
43 df-ne 2620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  S  <->  -.  x  =  S )
4434adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  R  Er  X )
45 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  x  e.  ( X /. R
) )
4627adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  S  e.  ( X /. R
) )
4744, 45, 46qsdisj 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  (
x  =  S  \/  ( x  i^i  S )  =  (/) ) )
4847ord 378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  ( -.  x  =  S  ->  ( x  i^i  S
)  =  (/) ) )
49 disj2 3840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  S )  =  (/)  <->  x  C_  ( _V 
\  S ) )
5048, 49syl6ib 229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  ( -.  x  =  S  ->  x  C_  ( _V  \  S ) ) )
5143, 50syl5bi 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  (
x  =/=  S  ->  x  C_  ( _V  \  S ) ) )
5251expimpd 606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( x  e.  ( X /. R )  /\  x  =/=  S
)  ->  x  C_  ( _V  \  S ) ) )
53 eldifsn 4122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( X /. R )  \  { S } )  <->  ( x  e.  ( X /. R
)  /\  x  =/=  S ) )
54 selpw 3986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ( _V 
\  S )  <->  x  C_  ( _V  \  S ) )
5552, 53, 543imtr4g 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  ->  x  e.  ~P ( _V  \  S
) ) )
5655ssrdv 3470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  ~P ( _V  \  S ) )
57 sspwuni 4385 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X /. R
)  \  { S } )  C_  ~P ( _V  \  S )  <->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  ( _V  \  S ) )
5856, 57sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  ( _V  \  S ) )
59 disj2 3840 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  i^i 
S )  =  (/)  <->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  ( _V  \  S ) )
6058, 59sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  i^i  S
)  =  (/) )
61 uneqdifeq 3884 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  X  /\  ( U. (
( X /. R
)  \  { S } )  i^i  S
)  =  (/) )  -> 
( ( U. (
( X /. R
)  \  { S } )  u.  S
)  =  X  <->  ( X  \ 
U. ( ( X /. R )  \  { S } ) )  =  S ) )
6242, 60, 61syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  u.  S )  =  X  <->  ( X  \ 
U. ( ( X /. R )  \  { S } ) )  =  S ) )
6339, 62mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  \  U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
) )  =  S )
648, 63eqtr3d 2465 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  U. (
( X /. R
)  \  { S } ) )  =  S )
65 topontop 19928 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
665, 65syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
67 simpl3 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X /. R )  e. 
Fin )
68 diffi 7806 . . . . . . 7  |-  ( ( X /. R )  e.  Fin  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  e.  Fin )
6967, 68syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  e.  Fin )
70 vex 3084 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
7170elqs 7421 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X /. R )  <->  E. y  e.  X  x  =  [ y ] R
)
72 simpll2 1045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
73 subgrcl 16810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
753subgss 16806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  X
)
769, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  C_  X )
7776adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  C_  X )
78 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
79 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
803, 15, 79eqglact 16856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  S  C_  X  /\  y  e.  X )  ->  [ y ] R  =  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )
8174, 77, 78, 80syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  [ y ] R  =  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )
82 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )
83 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) )
8483, 3, 79, 2tgplacthmeo 21105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J ) )
851, 84sylan 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J ) )
8676, 7sseqtrd 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  C_ 
U. J )
8786adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  C_ 
U. J )
88 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
8988hmeocld 20769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) )  e.  ( J
Homeo J )  /\  S  C_ 
U. J )  -> 
( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9085, 87, 89syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( (
z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )
" S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9182, 90mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S )  e.  ( Clsd `  J
) )
9281, 91eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  [ y ] R  e.  (
Clsd `  J )
)
93 eleq1 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  [ y ] R  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  <->  [ y ] R  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9492, 93syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =  [ y ] R  ->  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9594rexlimdva 2917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( E. y  e.  X  x  =  [ y ] R  ->  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9671, 95syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  ( X /. R )  ->  x  e.  ( Clsd `  J ) ) )
9796ssrdv 3470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X /. R )  C_  ( Clsd `  J )
)
9897ssdifssd 3603 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  ( Clsd `  J ) )
9988unicld 20048 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( X /. R )  \  { S } )  e.  Fin  /\  ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  ( Clsd `  J ) )  ->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  e.  ( Clsd `  J
) )
10066, 69, 98, 99syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  e.  (
Clsd `  J )
)
10188cldopn 20033 . . . . 5  |-  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  e.  (
Clsd `  J )  ->  ( U. J  \  U. ( ( X /. R )  \  { S } ) )  e.  J )
102100, 101syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  U. (
( X /. R
)  \  { S } ) )  e.  J )
10364, 102eqeltrrd 2511 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  e.  J )
104103ex 435 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  ->  S  e.  J ) )
1052opnsubg 21109 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  ( Clsd `  J )
)
1061053expia 1207 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( S  e.  J  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) ) )
1071063adant3 1025 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  J  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) ) )
108104, 107impbid 193 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  S  e.  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   {csn 3996   U.cuni 4216    |-> cmpt 4479   "cima 4853   ` cfv 5598  (class class class)co 6302    Er wer 7365   [cec 7366   /.cqs 7367   Fincfn 7574   Basecbs 15109   +g cplusg 15178   TopOpenctopn 15308   0gc0g 15326   Grpcgrp 16657  SubGrpcsubg 16799   ~QG cqg 16801   Topctop 19904  TopOnctopon 19905   Clsdccld 20018   Homeochmeo 20755   TopGrpctgp 21073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-ec 7370  df-qs 7374  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-0g 15328  df-topgen 15330  df-plusf 16475  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-subg 16802  df-eqg 16804  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-tmd 21074  df-tgp 21075
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