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Theorem cldsubg 21203
Description: A subgroup of finite index is closed iff it is open. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
cldsubg.1  |-  R  =  ( G ~QG  S )
cldsubg.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
cldsubg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  S  e.  J ) )

Proof of Theorem cldsubg
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  G  e.  TopGrp )
2 subgntr.h . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 cldsubg.2 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
42, 3tgptopon 21175 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
51, 4syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
6 toponuni 20019 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
75, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  X  =  U. J )
87difeq1d 3539 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  \  U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
) )  =  ( U. J  \  U. ( ( X /. R )  \  { S } ) ) )
9 simpl2 1034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
10 unisng 4206 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U. { S }  =  S )
119, 10syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. { S }  =  S
)
1211uneq2d 3579 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u.  U. { S } )  =  ( U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  u.  S ) )
13 uniun 4209 . . . . . . . 8  |-  U. (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u. 
U. { S }
)
14 undif1 3833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X /. R
)  \  { S } )  u.  { S } )  =  ( ( X /. R
)  u.  { S } )
15 cldsubg.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  R  =  ( G ~QG  S )
16 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
173, 15, 16eqgid 16947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  =  S )
189, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  =  S )
19 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G ~QG  S )  e.  _V
2015, 19eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  R  e. 
_V
21 tgpgrp 21171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
221, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  G  e.  Grp )
233, 16grpidcl 16772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
25 ecelqsg 7436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  _V  /\  ( 0g `  G )  e.  X )  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  e.  ( X /. R
) )
2620, 24, 25sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  e.  ( X /. R ) )
2718, 26eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  e.  ( X /. R
) )
2827snssd 4108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  { S }  C_  ( X /. R ) )
29 ssequn2 3598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { S }  C_  ( X /. R )  <->  ( ( X /. R )  u. 
{ S } )  =  ( X /. R ) )
3028, 29sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  u.  { S } )  =  ( X /. R ) )
3114, 30syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  ( X /. R ) )
3231unieqd 4200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  U. ( X /. R ) )
333, 15eqger 16945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  R  Er  X )
349, 33syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  R  Er  X )
3520a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  R  e.  _V )
3634, 35uniqs2 7443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. ( X /. R )  =  X )
3732, 36eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  X )
3813, 37syl5eqr 2519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u.  U. { S } )  =  X )
3912, 38eqtr3d 2507 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u.  S
)  =  X )
40 difss 3549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  C_  ( X /. R )
4140unissi 4213 . . . . . . . 8  |-  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  U. ( X /. R )
4241, 36syl5sseq 3466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  X
)
43 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  S  <->  -.  x  =  S )
4434adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  R  Er  X )
45 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  x  e.  ( X /. R
) )
4627adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  S  e.  ( X /. R
) )
4744, 45, 46qsdisj 7458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  (
x  =  S  \/  ( x  i^i  S )  =  (/) ) )
4847ord 384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  ( -.  x  =  S  ->  ( x  i^i  S
)  =  (/) ) )
49 disj2 3816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  S )  =  (/)  <->  x  C_  ( _V 
\  S ) )
5048, 49syl6ib 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  ( -.  x  =  S  ->  x  C_  ( _V  \  S ) ) )
5143, 50syl5bi 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  (
x  =/=  S  ->  x  C_  ( _V  \  S ) ) )
5251expimpd 614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( x  e.  ( X /. R )  /\  x  =/=  S
)  ->  x  C_  ( _V  \  S ) ) )
53 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( X /. R )  \  { S } )  <->  ( x  e.  ( X /. R
)  /\  x  =/=  S ) )
54 selpw 3949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ( _V 
\  S )  <->  x  C_  ( _V  \  S ) )
5552, 53, 543imtr4g 278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  ->  x  e.  ~P ( _V  \  S
) ) )
5655ssrdv 3424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  ~P ( _V  \  S ) )
57 sspwuni 4360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X /. R
)  \  { S } )  C_  ~P ( _V  \  S )  <->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  ( _V  \  S ) )
5856, 57sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  ( _V  \  S ) )
59 disj2 3816 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  i^i 
S )  =  (/)  <->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  ( _V  \  S ) )
6058, 59sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  i^i  S
)  =  (/) )
61 uneqdifeq 3847 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  X  /\  ( U. (
( X /. R
)  \  { S } )  i^i  S
)  =  (/) )  -> 
( ( U. (
( X /. R
)  \  { S } )  u.  S
)  =  X  <->  ( X  \ 
U. ( ( X /. R )  \  { S } ) )  =  S ) )
6242, 60, 61syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  u.  S )  =  X  <->  ( X  \ 
U. ( ( X /. R )  \  { S } ) )  =  S ) )
6339, 62mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  \  U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
) )  =  S )
648, 63eqtr3d 2507 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  U. (
( X /. R
)  \  { S } ) )  =  S )
65 topontop 20018 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
665, 65syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
67 simpl3 1035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X /. R )  e. 
Fin )
68 diffi 7821 . . . . . . 7  |-  ( ( X /. R )  e.  Fin  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  e.  Fin )
6967, 68syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  e.  Fin )
70 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
7170elqs 7434 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X /. R )  <->  E. y  e.  X  x  =  [ y ] R
)
72 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
73 subgrcl 16900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
753subgss 16896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  X
)
769, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  C_  X )
7776adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  C_  X )
78 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
79 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
803, 15, 79eqglact 16946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  S  C_  X  /\  y  e.  X )  ->  [ y ] R  =  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )
8174, 77, 78, 80syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  [ y ] R  =  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )
82 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )
83 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) )
8483, 3, 79, 2tgplacthmeo 21196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J ) )
851, 84sylan 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J ) )
8676, 7sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  C_ 
U. J )
8786adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  C_ 
U. J )
88 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
8988hmeocld 20859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) )  e.  ( J
Homeo J )  /\  S  C_ 
U. J )  -> 
( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9085, 87, 89syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( (
z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )
" S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9182, 90mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S )  e.  ( Clsd `  J
) )
9281, 91eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  [ y ] R  e.  (
Clsd `  J )
)
93 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  [ y ] R  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  <->  [ y ] R  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9492, 93syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =  [ y ] R  ->  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9594rexlimdva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( E. y  e.  X  x  =  [ y ] R  ->  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9671, 95syl5bi 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  ( X /. R )  ->  x  e.  ( Clsd `  J ) ) )
9796ssrdv 3424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X /. R )  C_  ( Clsd `  J )
)
9897ssdifssd 3560 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  ( Clsd `  J ) )
9988unicld 20138 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( X /. R )  \  { S } )  e.  Fin  /\  ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  ( Clsd `  J ) )  ->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  e.  ( Clsd `  J
) )
10066, 69, 98, 99syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  e.  (
Clsd `  J )
)
10188cldopn 20123 . . . . 5  |-  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  e.  (
Clsd `  J )  ->  ( U. J  \  U. ( ( X /. R )  \  { S } ) )  e.  J )
102100, 101syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  U. (
( X /. R
)  \  { S } ) )  e.  J )
10364, 102eqeltrrd 2550 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  e.  J )
104103ex 441 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  ->  S  e.  J ) )
1052opnsubg 21200 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  ( Clsd `  J )
)
1061053expia 1233 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( S  e.  J  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) ) )
1071063adant3 1050 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  J  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) ) )
108104, 107impbid 195 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  S  e.  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454   "cima 4842   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    Er wer 7378   [cec 7379   /.cqs 7380   Fincfn 7587   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   TopOpenctopn 15398   0gc0g 15416   Grpcgrp 16747  SubGrpcsubg 16889   ~QG cqg 16891   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Clsdccld 20108   Homeochmeo 20845   TopGrpctgp 21164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-plusf 16565  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-eqg 16894  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-tmd 21165  df-tgp 21166
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