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Theorem cldsubg 19656
Description: A subgroup of finite index is closed iff it is open. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
cldsubg.1  |-  R  =  ( G ~QG  S )
cldsubg.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
cldsubg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  S  e.  J ) )

Proof of Theorem cldsubg
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  G  e.  TopGrp )
2 subgntr.h . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 cldsubg.2 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
42, 3tgptopon 19628 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
6 toponuni 18507 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  X  =  U. J )
87difeq1d 3468 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  \  U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
) )  =  ( U. J  \  U. ( ( X /. R )  \  { S } ) ) )
9 simpl2 992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
10 unisng 4102 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U. { S }  =  S )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. { S }  =  S
)
1211uneq2d 3505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u.  U. { S } )  =  ( U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  u.  S ) )
13 uniun 4105 . . . . . . . 8  |-  U. (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u. 
U. { S }
)
14 undif1 3749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X /. R
)  \  { S } )  u.  { S } )  =  ( ( X /. R
)  u.  { S } )
15 cldsubg.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  R  =  ( G ~QG  S )
16 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
173, 15, 16eqgid 15724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  =  S )
189, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  =  S )
19 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G ~QG  S )  e.  _V
2015, 19eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  R  e. 
_V
21 tgpgrp 19624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
221, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  G  e.  Grp )
233, 16grpidcl 15557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
25 ecelqsg 7147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  _V  /\  ( 0g `  G )  e.  X )  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  e.  ( X /. R
) )
2620, 24, 25sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  e.  ( X /. R ) )
2718, 26eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  e.  ( X /. R
) )
2827snssd 4013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  { S }  C_  ( X /. R ) )
29 ssequn2 3524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { S }  C_  ( X /. R )  <->  ( ( X /. R )  u. 
{ S } )  =  ( X /. R ) )
3028, 29sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  u.  { S } )  =  ( X /. R ) )
3114, 30syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  ( X /. R ) )
3231unieqd 4096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  U. ( X /. R ) )
333, 15eqger 15722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  R  Er  X )
349, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  R  Er  X )
3520a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  R  e.  _V )
3634, 35uniqs2 7154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. ( X /. R )  =  X )
3732, 36eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  X )
3813, 37syl5eqr 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u.  U. { S } )  =  X )
3912, 38eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u.  S
)  =  X )
40 difss 3478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  C_  ( X /. R )
4140unissi 4109 . . . . . . . 8  |-  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  U. ( X /. R )
4241, 36syl5sseq 3399 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  X
)
43 df-ne 2603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  S  <->  -.  x  =  S )
4434adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  R  Er  X )
45 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  x  e.  ( X /. R
) )
4627adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  S  e.  ( X /. R
) )
4744, 45, 46qsdisj 7169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  (
x  =  S  \/  ( x  i^i  S )  =  (/) ) )
4847ord 377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  ( -.  x  =  S  ->  ( x  i^i  S
)  =  (/) ) )
49 disj2 3721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  S )  =  (/)  <->  x  C_  ( _V 
\  S ) )
5048, 49syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  ( -.  x  =  S  ->  x  C_  ( _V  \  S ) ) )
5143, 50syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  (
x  =/=  S  ->  x  C_  ( _V  \  S ) ) )
5251expimpd 603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( x  e.  ( X /. R )  /\  x  =/=  S
)  ->  x  C_  ( _V  \  S ) ) )
53 eldifsn 3995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( X /. R )  \  { S } )  <->  ( x  e.  ( X /. R
)  /\  x  =/=  S ) )
54 selpw 3862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ( _V 
\  S )  <->  x  C_  ( _V  \  S ) )
5552, 53, 543imtr4g 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  ->  x  e.  ~P ( _V  \  S
) ) )
5655ssrdv 3357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  ~P ( _V  \  S ) )
57 sspwuni 4251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X /. R
)  \  { S } )  C_  ~P ( _V  \  S )  <->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  ( _V  \  S ) )
5856, 57sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  ( _V  \  S ) )
59 disj2 3721 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  i^i 
S )  =  (/)  <->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  ( _V  \  S ) )
6058, 59sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  i^i  S
)  =  (/) )
61 uneqdifeq 3762 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  X  /\  ( U. (
( X /. R
)  \  { S } )  i^i  S
)  =  (/) )  -> 
( ( U. (
( X /. R
)  \  { S } )  u.  S
)  =  X  <->  ( X  \ 
U. ( ( X /. R )  \  { S } ) )  =  S ) )
6242, 60, 61syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  u.  S )  =  X  <->  ( X  \ 
U. ( ( X /. R )  \  { S } ) )  =  S ) )
6339, 62mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  \  U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
) )  =  S )
648, 63eqtr3d 2472 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  U. (
( X /. R
)  \  { S } ) )  =  S )
65 topontop 18506 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
665, 65syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
67 simpl3 993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X /. R )  e. 
Fin )
68 diffi 7535 . . . . . . 7  |-  ( ( X /. R )  e.  Fin  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  e.  Fin )
6967, 68syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  e.  Fin )
70 vex 2970 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
7170elqs 7145 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X /. R )  <->  E. y  e.  X  x  =  [ y ] R
)
72 simpll2 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
73 subgrcl 15677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
753subgss 15673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  X
)
769, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  C_  X )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  C_  X )
78 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
79 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
803, 15, 79eqglact 15723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  S  C_  X  /\  y  e.  X )  ->  [ y ] R  =  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )
8174, 77, 78, 80syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  [ y ] R  =  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )
82 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )
83 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) )
8483, 3, 79, 2tgplacthmeo 19649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J ) )
851, 84sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J ) )
8676, 7sseqtrd 3387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  C_ 
U. J )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  C_ 
U. J )
88 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
8988hmeocld 19315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) )  e.  ( J
Homeo J )  /\  S  C_ 
U. J )  -> 
( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9085, 87, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( (
z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )
" S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9182, 90mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S )  e.  ( Clsd `  J
) )
9281, 91eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  [ y ] R  e.  (
Clsd `  J )
)
93 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  [ y ] R  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  <->  [ y ] R  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9492, 93syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =  [ y ] R  ->  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9594rexlimdva 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( E. y  e.  X  x  =  [ y ] R  ->  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9671, 95syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  ( X /. R )  ->  x  e.  ( Clsd `  J ) ) )
9796ssrdv 3357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X /. R )  C_  ( Clsd `  J )
)
9897ssdifssd 3489 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  ( Clsd `  J ) )
9988unicld 18625 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( X /. R )  \  { S } )  e.  Fin  /\  ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  ( Clsd `  J ) )  ->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  e.  ( Clsd `  J
) )
10066, 69, 98, 99syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  e.  (
Clsd `  J )
)
10188cldopn 18610 . . . . 5  |-  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  e.  (
Clsd `  J )  ->  ( U. J  \  U. ( ( X /. R )  \  { S } ) )  e.  J )
102100, 101syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  U. (
( X /. R
)  \  { S } ) )  e.  J )
10364, 102eqeltrrd 2513 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  e.  J )
104103ex 434 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  ->  S  e.  J ) )
1052opnsubg 19653 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  ( Clsd `  J )
)
1061053expia 1189 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( S  e.  J  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) ) )
1071063adant3 1008 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  J  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) ) )
108104, 107impbid 191 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  S  e.  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   E.wrex 2711   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    u. cun 3321    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   {csn 3872   U.cuni 4086    e. cmpt 4345   "cima 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    Er wer 7090   [cec 7091   /.cqs 7092   Fincfn 7302   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   TopOpenctopn 14352   0gc0g 14370   Grpcgrp 15402  SubGrpcsubg 15666   ~QG cqg 15668   Topctop 18473  TopOnctopon 18474   Clsdccld 18595   Homeochmeo 19301   TopGrpctgp 19617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-topgen 14374  df-mnd 15407  df-plusf 15408  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-subg 15669  df-eqg 15671  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-tmd 19618  df-tgp 19619
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