Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cldssbrsiga Structured version   Unicode version

Theorem cldssbrsiga 27983
Description: A Borel Algebra contains all closed sets of its base topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
cldssbrsiga  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Clsd `  J )  C_  (sigaGen `  J ) )

Proof of Theorem cldssbrsiga
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
21cldss 19398 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  C_  U. J
)
32adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  C_  U. J )
4 dfss4 3737 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  x ) )  =  x )
53, 4sylib 196 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  \ 
( U. J  \  x ) )  =  x )
61topopn 19284 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
71difopn 19403 . . . . . 6  |-  ( ( U. J  e.  J  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( U. J  \  x )  e.  J
)
86, 7sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  \  x )  e.  J
)
9 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  Top )
109sgsiga 27967 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (sigaGen `  J )  e.  U. ran sigAlgebra )
1110adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  e.  J )  ->  (sigaGen `  J )  e.  U. ran sigAlgebra )
12 elex 3127 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  _V )
13 sigagensiga 27966 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  _V  ->  (sigaGen `  J )  e.  (sigAlgebra ` 
U. J ) )
14 baselsiga 27940 . . . . . . . 8  |-  ( (sigaGen `  J )  e.  (sigAlgebra ` 
U. J )  ->  U. J  e.  (sigaGen `  J ) )
1512, 13, 143syl 20 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  (sigaGen `  J )
)
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  e.  J )  ->  U. J  e.  (sigaGen `  J ) )
17 elsigagen 27972 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  e.  J )  ->  ( U. J  \  x )  e.  (sigaGen `  J ) )
18 difelsiga 27958 . . . . . 6  |-  ( ( (sigaGen `  J )  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. J  e.  (sigaGen `  J )  /\  ( U. J  \  x )  e.  (sigaGen `  J ) )  -> 
( U. J  \ 
( U. J  \  x ) )  e.  (sigaGen `  J )
)
1911, 16, 17, 18syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  e.  J )  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  x ) )  e.  (sigaGen `  J )
)
208, 19syldan 470 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  \ 
( U. J  \  x ) )  e.  (sigaGen `  J )
)
215, 20eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  (sigaGen `  J
) )
2221ex 434 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  ->  x  e.  (sigaGen `  J )
) )
2322ssrdv 3515 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Clsd `  J )  C_  (sigaGen `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   U.cuni 4251   ran crn 5006   ` cfv 5594   Topctop 19263   Clsdccld 19385  sigAlgebracsiga 27932  sigaGencsigagen 27963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-ac2 8855
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-ac 8509  df-cda 8560  df-top 19268  df-cld 19388  df-siga 27933  df-sigagen 27964
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  28083  sibfinima  28106  sibfof  28107  orvccel  28226
  Copyright terms: Public domain W3C validator