MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldss Structured version   Unicode version

Theorem cldss 18474
Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cldss  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  X
)

Proof of Theorem cldss
StepHypRef Expression
1 cldrcl 18471 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 iscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32iscld 18472 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  S )  e.  J ) ) )
43simprbda 618 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  S  C_  X )
51, 4mpancom 662 1  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  X
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755    \ cdif 3313    C_ wss 3316   U.cuni 4079   ` cfv 5406   Topctop 18339   Clsdccld 18461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-fv 5414  df-top 18344  df-cld 18464
This theorem is referenced by:  cldss2  18475  iincld  18484  uncld  18486  cldcls  18487  iuncld  18490  clsval2  18495  clsss3  18504  clsss2  18517  opncldf1  18529  restcldr  18619  lmcld  18748  nrmsep2  18801  nrmsep  18802  isnrm2  18803  regsep2  18821  cmpcld  18846  dfcon2  18864  concompclo  18880  cldllycmp  18940  txcld  19017  ptcld  19027  imasncld  19105  kqcldsat  19147  kqnrmlem1  19157  kqnrmlem2  19158  nrmhmph  19208  ufildr  19345  metnrmlem1a  20275  metnrmlem1  20276  metnrmlem2  20277  metnrmlem3  20278  cnheiborlem  20367  cmetss  20666  bcthlem5  20680  cldssbrsiga  26454  mblfinlem3  28271  mblfinlem4  28272  ismblfin  28273  clsun  28364  cldregopn  28367  cmpfiiin  28875  kelac1  29258  stoweidlem18  29656  stoweidlem57  29695
  Copyright terms: Public domain W3C validator