MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldss Structured version   Unicode version

Theorem cldss 19398
Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cldss  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  X
)

Proof of Theorem cldss
StepHypRef Expression
1 cldrcl 19395 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 iscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32iscld 19396 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  S )  e.  J ) ) )
43simprbda 623 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  S  C_  X )
51, 4mpancom 669 1  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  X
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3478    C_ wss 3481   U.cuni 4251   ` cfv 5594   Topctop 19263   Clsdccld 19385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-fv 5602  df-top 19268  df-cld 19388
This theorem is referenced by:  cldss2  19399  iincld  19408  uncld  19410  cldcls  19411  iuncld  19414  clsval2  19419  clsss3  19428  clsss2  19441  opncldf1  19453  restcldr  19543  lmcld  19672  nrmsep2  19725  nrmsep  19726  isnrm2  19727  regsep2  19745  cmpcld  19770  dfcon2  19788  concompclo  19804  cldllycmp  19864  txcld  19972  ptcld  19982  imasncld  20060  kqcldsat  20102  kqnrmlem1  20112  kqnrmlem2  20113  nrmhmph  20163  ufildr  20300  metnrmlem1a  21230  metnrmlem1  21231  metnrmlem2  21232  metnrmlem3  21233  cnheiborlem  21322  cmetss  21621  bcthlem5  21635  cldssbrsiga  27983  mblfinlem3  29980  mblfinlem4  29981  ismblfin  29982  clsun  30073  cldregopn  30076  cmpfiiin  30557  kelac1  30937  stoweidlem18  31641  stoweidlem57  31680
  Copyright terms: Public domain W3C validator