MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldss Structured version   Unicode version

Theorem cldss 19700
Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cldss  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  X
)

Proof of Theorem cldss
StepHypRef Expression
1 cldrcl 19697 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 iscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32iscld 19698 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  S )  e.  J ) ) )
43simprbda 621 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  S  C_  X )
51, 4mpancom 667 1  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  X
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823    \ cdif 3458    C_ wss 3461   U.cuni 4235   ` cfv 5570   Topctop 19564   Clsdccld 19687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-fv 5578  df-top 19569  df-cld 19690
This theorem is referenced by:  cldss2  19701  iincld  19710  uncld  19712  cldcls  19713  iuncld  19716  clsval2  19721  clsss3  19730  clsss2  19743  opncldf1  19755  restcldr  19845  lmcld  19974  nrmsep2  20027  nrmsep  20028  isnrm2  20029  regsep2  20047  cmpcld  20072  dfcon2  20089  concompclo  20105  cldllycmp  20165  txcld  20273  ptcld  20283  imasncld  20361  kqcldsat  20403  kqnrmlem1  20413  kqnrmlem2  20414  nrmhmph  20464  ufildr  20601  metnrmlem1a  21531  metnrmlem1  21532  metnrmlem2  21533  metnrmlem3  21534  cnheiborlem  21623  cmetss  21922  bcthlem5  21936  cldssbrsiga  28398  mblfinlem3  30296  mblfinlem4  30297  ismblfin  30298  clsun  30389  cldregopn  30392  cmpfiiin  30872  kelac1  31251  stoweidlem18  32042  stoweidlem57  32081
  Copyright terms: Public domain W3C validator