Theorem cldregopn 15416

Description: A set if regularly open iff it is the interior of some closed set.

Hypothesis

Ref	Expression
opnregcld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
cldregopn	|- ((J e. Top /\ A C_ X) -> (((int` J)` ((cls` J)` A)) = A <-> E.c e. (Clsd` J)A = ((int` J)` c)))

Distinct variable groups:   A,c   J,c   X,c

Proof of Theorem cldregopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (c = ((cls` J)` A) -> ((int` J)` c) = ((int` J)` ((cls` J)` A)))
2	1	eqeq2d 1895	. . . . 5 |- (c = ((cls` J)` A) -> (A = ((int` J)` c) <-> A = ((int` J)` ((cls` J)` A))))
3	2	rcla4ev 2381	. . . 4 |- ((((cls` J)` A) e. (Clsd` J) /\ A = ((int` J)` ((cls` J)` A))) -> E.c e. (Clsd` J)A = ((int` J)` c))
4		opnregcld.1	. . . . 5 |- X = U.J
5	4	clscld 8959	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A C_ X) -> ((cls` J)` A) e. (Clsd` J))
6		eqcom 1886	. . . . 5 |- (((int` J)` ((cls` J)` A)) = A <-> A = ((int` J)` ((cls` J)` A)))
7	6	biimpi 168	. . . 4 |- (((int` J)` ((cls` J)` A)) = A -> A = ((int` J)` ((cls` J)` A)))
8	3, 5, 7	syl2an 503	. . 3 |- (((J e. Top /\ A C_ X) /\ ((int` J)` ((cls` J)` A)) = A) -> E.c e. (Clsd` J)A = ((int` J)` c))
9	8	ex 402	. 2 |- ((J e. Top /\ A C_ X) -> (((int` J)` ((cls` J)` A)) = A -> E.c e. (Clsd` J)A = ((int` J)` c)))
10		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (A = ((int` J)` c) -> ((cls` J)` A) = ((cls` J)` ((int` J)` c)))
11	10	fveq2d 4685	. . . . 5 |- (A = ((int` J)` c) -> ((int` J)` ((cls` J)` A)) = ((int` J)` ((cls` J)` ((int` J)` c))))
12		id 73	. . . . 5 |- (A = ((int` J)` c) -> A = ((int` J)` c))
13	11, 12	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (A = ((int` J)` c) -> (((int` J)` ((cls` J)` A)) = A <-> ((int` J)` ((cls` J)` ((int` J)` c))) = ((int` J)` c)))
14		simpl 346	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ c e. (Clsd` J)) -> J e. Top)
15	4	cldss 8947	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ c e. (Clsd` J)) -> c C_ X)
16	4	ntrss2 8966	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ c C_ X) -> ((int` J)` c) C_ c)
17	15, 16	syldan 516	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ c e. (Clsd` J)) -> ((int` J)` c) C_ c)
18	4	clsss2 8979	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ c e. (Clsd` J) /\ ((int` J)` c) C_ c) -> ((cls` J)` ((int` J)` c)) C_ c)
19	17, 18	mpd3an3 1192	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ c e. (Clsd` J)) -> ((cls` J)` ((int` J)` c)) C_ c)
20	4	ntrss 8964	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ c C_ X /\ ((cls` J)` ((int` J)` c)) C_ c) -> ((int` J)` ((cls` J)` ((int` J)` c))) C_ ((int` J)` c))
21	14, 15, 19, 20	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ c e. (Clsd` J)) -> ((int` J)` ((cls` J)` ((int` J)` c))) C_ ((int` J)` c))
22	4	ntridm 8975	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ c C_ X) -> ((int` J)` ((int` J)` c)) = ((int` J)` c))
23	15, 22	syldan 516	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ c e. (Clsd` J)) -> ((int` J)` ((int` J)` c)) = ((int` J)` c))
24	4	ntrss3 8968	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ c C_ X) -> ((int` J)` c) C_ X)
25	15, 24	syldan 516	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ c e. (Clsd` J)) -> ((int` J)` c) C_ X)
26	4	clsss3 8967	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ ((int` J)` c) C_ X) -> ((cls` J)` ((int` J)` c)) C_ X)
27	25, 26	syldan 516	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ c e. (Clsd` J)) -> ((cls` J)` ((int` J)` c)) C_ X)
28	4	sscls 8965	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ ((int` J)` c) C_ X) -> ((int` J)` c) C_ ((cls` J)` ((int` J)` c)))
29	25, 28	syldan 516	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ c e. (Clsd` J)) -> ((int` J)` c) C_ ((cls` J)` ((int` J)` c)))
30	4	ntrss 8964	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ ((cls` J)` ((int` J)` c)) C_ X /\ ((int` J)` c) C_ ((cls` J)` ((int` J)` c))) -> ((int` J)` ((int` J)` c)) C_ ((int` J)` ((cls` J)` ((int` J)` c))))
31	14, 27, 29, 30	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ c e. (Clsd` J)) -> ((int` J)` ((int` J)` c)) C_ ((int` J)` ((cls` J)` ((int` J)` c))))
32	23, 31	eqsstr3d 2652	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ c e. (Clsd` J)) -> ((int` J)` c) C_ ((int` J)` ((cls` J)` ((int` J)` c))))
33	21, 32	eqssd 2633	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ c e. (Clsd` J)) -> ((int` J)` ((cls` J)` ((int` J)` c))) = ((int` J)` c))
34	33	adantlr 429	. . . 4 |- (((J e. Top /\ A C_ X) /\ c e. (Clsd` J)) -> ((int` J)` ((cls` J)` ((int` J)` c))) = ((int` J)` c))
35	13, 34	syl5cbir 228	. . 3 |- (((J e. Top /\ A C_ X) /\ c e. (Clsd` J)) -> (A = ((int` J)` c) -> ((int` J)` ((cls` J)` A)) = A))
36	35	r19.23adva 2216	. 2 |- ((J e. Top /\ A C_ X) -> (E.c e. (Clsd` J)A = ((int` J)` c) -> ((int` J)` ((cls` J)` A)) = A))
37	9, 36	impbid 574	1 |- ((J e. Top /\ A C_ X) -> (((int` J)` ((cls` J)` A)) = A <-> E.c e. (Clsd` J)A = ((int` J)` c)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  Clsdccld 8936  intcnt 8937  clsccl 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-top 8861  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941

Copyright terms: Public domain