MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldrcl Structured version   Unicode version

Theorem cldrcl 18765
Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldrcl  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem cldrcl
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5828 . 2  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  dom  Clsd )
2 fncld 18761 . . 3  |-  Clsd  Fn  Top
3 fndm 5621 . . 3  |-  ( Clsd 
Fn  Top  ->  dom  Clsd  =  Top )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  dom  Clsd  =  Top
51, 4syl6eleq 2552 1  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   dom cdm 4951    Fn wfn 5524   ` cfv 5529   Topctop 18633   Clsdccld 18755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-fv 5537  df-cld 18758
This theorem is referenced by:  cldss  18768  cldopn  18770  difopn  18773  iincld  18778  uncld  18780  cldcls  18781  clsss2  18811  opncldf3  18825  restcldi  18912  restcldr  18913  paste  19033  consubclo  19163  txcld  19311  cldregopn  28694
  Copyright terms: Public domain W3C validator