MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldrcl Structured version   Unicode version

Theorem cldrcl 19400
Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldrcl  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem cldrcl
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5882 . 2  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  dom  Clsd )
2 fncld 19396 . . 3  |-  Clsd  Fn  Top
3 fndm 5670 . . 3  |-  ( Clsd 
Fn  Top  ->  dom  Clsd  =  Top )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  dom  Clsd  =  Top
51, 4syl6eleq 2541 1  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804   dom cdm 4989    Fn wfn 5573   ` cfv 5578   Topctop 19267   Clsdccld 19390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-fv 5586  df-cld 19393
This theorem is referenced by:  cldss  19403  cldopn  19405  difopn  19408  iincld  19413  uncld  19415  cldcls  19416  clsss2  19446  opncldf3  19460  restcldi  19547  restcldr  19548  paste  19668  consubclo  19798  txcld  19977  cldregopn  30124
  Copyright terms: Public domain W3C validator