MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldopn Structured version   Unicode version

Theorem cldopn 19295
Description: The complement of a closed set is open. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cldopn  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  S )  e.  J
)

Proof of Theorem cldopn
StepHypRef Expression
1 cldrcl 19290 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 iscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32iscld 19291 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  S )  e.  J ) ) )
43simplbda 624 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( X  \  S
)  e.  J )
51, 4mpancom 669 1  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  S )  e.  J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    C_ wss 3476   U.cuni 4245   ` cfv 5586   Topctop 19158   Clsdccld 19280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-fv 5594  df-top 19163  df-cld 19283
This theorem is referenced by:  difopn  19298  iincld  19303  uncld  19305  iuncld  19309  clsval2  19314  opncldf1  19348  opncldf3  19350  restcld  19436  lecldbas  19483  cnclima  19532  nrmsep2  19620  nrmsep  19621  regsep2  19640  cmpcld  19665  dfcon2  19683  txcld  19836  ptcld  19846  kqcldsat  19966  regr1lem  19972  filcon  20116  cldsubg  20341  limcnlp  22014  dvrec  22090  dvexp3  22111  lhop1lem  22146  abelth  22567  logdmopn  22755  lgamucov  28217  onsucconi  29476  onint1  29488  mblfinlem3  29628  mblfinlem4  29629  ismblfin  29630  dvtanlem  29639  dvasin  29678  dvacos  29679  dvreasin  29680  dvreacos  29681  fourierdlem62  31469
  Copyright terms: Public domain W3C validator