MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldopn Structured version   Unicode version

Theorem cldopn 18640
Description: The complement of a closed set is open. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cldopn  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  S )  e.  J
)

Proof of Theorem cldopn
StepHypRef Expression
1 cldrcl 18635 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 iscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32iscld 18636 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  S )  e.  J ) ) )
43simplbda 624 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( X  \  S
)  e.  J )
51, 4mpancom 669 1  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  S )  e.  J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3330    C_ wss 3333   U.cuni 4096   ` cfv 5423   Topctop 18503   Clsdccld 18625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-fv 5431  df-top 18508  df-cld 18628
This theorem is referenced by:  difopn  18643  iincld  18648  uncld  18650  iuncld  18654  clsval2  18659  opncldf1  18693  opncldf3  18695  restcld  18781  lecldbas  18828  cnclima  18877  nrmsep2  18965  nrmsep  18966  regsep2  18985  cmpcld  19010  dfcon2  19028  txcld  19181  ptcld  19191  kqcldsat  19311  regr1lem  19317  filcon  19461  cldsubg  19686  limcnlp  21358  dvrec  21434  dvexp3  21455  lhop1lem  21490  abelth  21911  logdmopn  22099  lgamucov  27029  onsucconi  28288  onint1  28300  mblfinlem3  28435  mblfinlem4  28436  ismblfin  28437  dvtanlem  28446  dvasin  28485  dvacos  28486  dvreasin  28487  dvreacos  28488
  Copyright terms: Public domain W3C validator