MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldopn Structured version   Unicode version

Theorem cldopn 19699
Description: The complement of a closed set is open. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cldopn  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  S )  e.  J
)

Proof of Theorem cldopn
StepHypRef Expression
1 cldrcl 19694 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 iscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32iscld 19695 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  S )  e.  J ) ) )
43simplbda 622 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( X  \  S
)  e.  J )
51, 4mpancom 667 1  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  S )  e.  J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823    \ cdif 3458    C_ wss 3461   U.cuni 4235   ` cfv 5570   Topctop 19561   Clsdccld 19684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-fv 5578  df-top 19566  df-cld 19687
This theorem is referenced by:  difopn  19702  iincld  19707  uncld  19709  iuncld  19713  clsval2  19718  opncldf1  19752  opncldf3  19754  restcld  19840  lecldbas  19887  cnclima  19936  nrmsep2  20024  nrmsep  20025  regsep2  20044  cmpcld  20069  dfcon2  20086  txcld  20270  ptcld  20280  kqcldsat  20400  regr1lem  20406  filcon  20550  cldsubg  20775  limcnlp  22448  dvrec  22524  dvexp3  22545  lhop1lem  22580  abelth  23002  logdmopn  23198  lgamucov  28844  onsucconi  30130  onint1  30142  mblfinlem3  30293  mblfinlem4  30294  ismblfin  30295  dvtanlem  30304  dvasin  30343  dvacos  30344  dvreasin  30345  dvreacos  30346  fourierdlem62  32190
  Copyright terms: Public domain W3C validator