MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldllycmp Structured version   Unicode version
Theorem cldllycmp 20122
Description: A closed subspace of a locally compact space is also locally compact. (The analogous result for open subspaces follows from the more general nllyrest 20113.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldllycmp |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. 𝑛Locally Comp )
Proof of Theorem cldllycmp
Dummy variables u v w x y s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 20100 . . 3 |- ( J e. 𝑛Locally Comp -> J e. Top )
2 resttop 19788 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
31, 2sylan 471 . 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
4 elrest 14845 . . . 4 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x e. ( J ↾t A ) <-> E. u e. J x = ( u i^i A ) ) )
5 simpll 753 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> J e. 𝑛Locally Comp )
6 simprl 756 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> u e. J )
7 inss1 3714 . . . . . . . . . . 11 |- ( u i^i A ) C_ u
8 simprr 757 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> y e. ( u i^i A ) )
97, 8sseldi 3497 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> y e. u )
10 nlly2i 20103 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ u e. J /\ y e. u ) -> E. s e. ~P u E. w e. J ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) )
115, 6, 9, 10syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> E. s e. ~P u E. w e. J ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) )
123ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
131ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> J e. Top )
14 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> A e. ( Clsd ` J ) )
15 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> w e. J )
16 elrestr 14846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( Clsd ` J ) /\ w e. J ) -> ( w i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( w i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
18 simprr1 1044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. w )
19 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u i^i A ) C_ A
20 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. ( u i^i A ) )
2119, 20sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. A )
2218, 21elind 3684 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. ( w i^i A ) )
23 opnneip 19747 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( w i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ y e. ( w i^i A ) ) -> ( w i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
2412, 17, 22, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( w i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
25 simprr2 1045 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> w C_ s )
26 ssrin 3719 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w C_ s -> ( w i^i A ) C_ ( s i^i A ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( w i^i A ) C_ ( s i^i A ) )
28 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s i^i A ) C_ A
29 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. J = U. J
3029cldss 19657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> A C_ U. J )
3114, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> A C_ U. J )
3229restuni 19790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
3313, 31, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
3428, 33syl5sseq 3547 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ U. ( J ↾t A ) )
35 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t A )
3635ssnei2 19744 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( w i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) ) /\ ( ( w i^i A ) C_ ( s i^i A ) /\ ( s i^i A ) C_ U. ( J ↾t A ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
3712, 24, 27, 34, 36syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
38 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> s e. ~P u )
3938elpwid 4025 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> s C_ u )
40 ssrin 3719 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s C_ u -> ( s i^i A ) C_ ( u i^i A ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ ( u i^i A ) )
42 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- s e. _V
4342inex1 4597 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s i^i A ) e. _V
4443elpw 4021 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s i^i A ) e. ~P ( u i^i A ) <-> ( s i^i A ) C_ ( u i^i A ) )
4541, 44sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ~P ( u i^i A ) )
4637, 45elind 3684 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) )
4728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ A )
48 restabs 19793 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ ( s i^i A ) C_ A /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
4913, 47, 14, 48syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
50 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s i^i A ) C_ s
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ s )
52 restabs 19793 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ ( s i^i A ) C_ s /\ s e. ~P u ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
5313, 51, 38, 52syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
5449, 53eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) )
55 simprr3 1046 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( J ↾t s ) e. Comp )
56 incom 3687 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s i^i A ) = ( A i^i s )
57 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A i^i s ) = ( A i^i s )
58 ineq1 3689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = A -> ( v i^i s ) = ( A i^i s ) )
5958eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = A -> ( ( A i^i s ) = ( v i^i s ) <-> ( A i^i s ) = ( A i^i s ) ) )
6059rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ ( A i^i s ) = ( A i^i s ) ) -> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) )
6114, 57, 60sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) )
62 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> u e. J )
63 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. J -> u C_ U. J )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> u C_ U. J )
6539, 64sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> s C_ U. J )
6629restcld 19800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ s C_ U. J ) -> ( ( A i^i s ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) <-> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) ) )
6713, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( A i^i s ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) <-> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) ) )
6861, 67mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( A i^i s ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) )
6956, 68syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) )
70 cmpcld 20029 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J ↾t s ) e. Comp /\ ( s i^i A ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp )
7155, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp )
7254, 71eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp )
73 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( s i^i A ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t v ) = ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) )
7473eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( s i^i A ) -> ( ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp <-> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp ) )
7574rspcev 3210 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s i^i A ) e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) /\ ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
7646, 72, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
7776expr 615 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( s e. ~P u /\ w e. J ) ) -> ( ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
7877rexlimdvva 2956 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> ( E. s e. ~P u E. w e. J ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
7911, 78mpd 15 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
8079anassrs 648 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ u e. J ) /\ y e. ( u i^i A ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
8180ralrimiva 2871 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ u e. J ) -> A. y e. ( u i^i A ) E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
82 pweq 4018 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( u i^i A ) -> ~P x = ~P ( u i^i A ) )
8382ineq2d 3696 . . . . . . . 8 |- ( x = ( u i^i A ) -> ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) = ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) )
8483rexeqdv 3061 . . . . . . 7 |- ( x = ( u i^i A ) -> ( E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp <-> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8584raleqbi1dv 3062 . . . . . 6 |- ( x = ( u i^i A ) -> ( A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp <-> A. y e. ( u i^i A ) E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8681, 85syl5ibrcom 222 . . . . 5 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ u e. J ) -> ( x = ( u i^i A ) -> A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8786rexlimdva 2949 . . . 4 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( E. u e. J x = ( u i^i A ) -> A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
884, 87sylbid 215 . . 3 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x e. ( J ↾t A ) -> A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8988ralrimiv 2869 . 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A. x e. ( J ↾t A ) A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
90 isnlly 20096 . 2 |- ( ( J ↾t A ) e. 𝑛Locally Comp <-> ( ( J ↾t A ) e. Top /\ A. x e. ( J ↾t A ) A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
913, 89, 90sylanbrc 664 1 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. 𝑛Locally Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ↾t crest 14838   Topctop 19521   Clsdccld 19644   neicnei 19725   Compccmp 20013  𝑛Locally cnlly 20092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-fin 7539  df-fi 7889  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647  df-nei 19726  df-cmp 20014  df-nlly 20094
This theorem is referenced by:  rellycmp  21583
  Copyright terms: Public domain W3C validator