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Theorem cldllycmp 17511
 Description: A closed subspace of a locally compact space is also locally compact. (The analogous result for open subspaces follows from the more general nllyrest 17502.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldllycmp 𝑛Locally t 𝑛Locally

Proof of Theorem cldllycmp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 17489 . . 3 𝑛Locally
2 resttop 17178 . . 3 t
31, 2sylan 458 . 2 𝑛Locally t
4 elrest 13610 . . . 4 𝑛Locally t
5 simpll 731 . . . . . . . . . 10 𝑛Locally 𝑛Locally
6 simprl 733 . . . . . . . . . 10 𝑛Locally
7 inss1 3521 . . . . . . . . . . 11
8 simprr 734 . . . . . . . . . . 11 𝑛Locally
97, 8sseldi 3306 . . . . . . . . . 10 𝑛Locally
10 nlly2i 17492 . . . . . . . . . 10 𝑛Locally t
115, 6, 9, 10syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 𝑛Locally t
123ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t t
131ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
14 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
15 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
16 elrestr 13611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t
1713, 14, 15, 16syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t t
18 simprr1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
19 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛Locally t
2119, 20sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
22 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2318, 21, 22sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t
24 opnneip 17138 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t t
2512, 17, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t t
26 simprr2 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t
27 ssrin 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t
29 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3130cldss 17048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3214, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
3330restuni 17180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t
3413, 32, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t t
3529, 34syl5sseq 3356 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t t
36 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t
3736ssnei2 17135 . . . . . . . . . . . . . 14 t t t t
3812, 25, 28, 35, 37syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛Locally t t
39 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
4039elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t
41 ssrin 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t
43 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443inex1 4304 . . . . . . . . . . . . . . 15
4544elpw 3765 . . . . . . . . . . . . . 14
4642, 45sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛Locally t
47 elin 3490 . . . . . . . . . . . . 13 t t
4838, 46, 47sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12 𝑛Locally t t
4929a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t
50 restabs 17183 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t t
5113, 49, 14, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t t t t
52 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t
54 restabs 17183 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t t
5513, 53, 39, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t t t t
5651, 55eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛Locally t t t t t
57 simprr3 1007 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t t
58 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
60 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6160eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6261rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6314, 59, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
64 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛Locally t
65 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛Locally t
6740, 66sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛Locally t
6830restcld 17190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t
6913, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t t
7063, 69mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t t
7158, 70syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t t
72 cmpcld 17419 . . . . . . . . . . . . . 14 t t t t
7357, 71, 72syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛Locally t t t
7456, 73eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12 𝑛Locally t t t
75 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14 t t t t
7675eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13 t t t t
7776rspcev 3012 . . . . . . . . . . . 12 t t t t t t
7848, 74, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 𝑛Locally t t t t
7978expr 599 . . . . . . . . . 10 𝑛Locally t t t t
8079rexlimdvva 2797 . . . . . . . . 9 𝑛Locally t t t t
8111, 80mpd 15 . . . . . . . 8 𝑛Locally t t t
8281anassrs 630 . . . . . . 7 𝑛Locally t t t
8382ralrimiva 2749 . . . . . 6 𝑛Locally t t t
84 pweq 3762 . . . . . . . . 9
8584ineq2d 3502 . . . . . . . 8 t t
8685rexeqdv 2871 . . . . . . 7 t t t t t t
8786raleqbi1dv 2872 . . . . . 6 t t t t t t
8883, 87syl5ibrcom 214 . . . . 5 𝑛Locally t t t
8988rexlimdva 2790 . . . 4 𝑛Locally t t t
904, 89sylbid 207 . . 3 𝑛Locally t t t t
9190ralrimiv 2748 . 2 𝑛Locally t t t t
92 isnlly 17485 . 2 t 𝑛Locally t t t t t
933, 91, 92sylanbrc 646 1 𝑛Locally t 𝑛Locally
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  wrex 2667   cin 3279   wss 3280  cpw 3759  csn 3774  cuni 3975  cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603  ctop 16913  ccld 17035  cnei 17116  ccmp 17403  𝑛Locally cnlly 17481 This theorem is referenced by:  rellycmp  18935 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-nei 17117  df-cmp 17404  df-nlly 17483
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