MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldllycmp Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem cldllycmp 20587
Description: A closed subspace of a locally compact space is also locally compact. (The analogous result for open subspaces follows from the more general nllyrest 20578.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldllycmp |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. 𝑛Locally Comp )
Proof of Theorem cldllycmp
Dummy variables u v w x y s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 20565 . . 3 |- ( J e. 𝑛Locally Comp -> J e. Top )
2 resttop 20253 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
31, 2sylan 479 . 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
4 elrest 15404 . . . 4 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x e. ( J ↾t A ) <-> E. u e. J x = ( u i^i A ) ) )
5 simpll 768 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> J e. 𝑛Locally Comp )
6 simprl 772 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> u e. J )
7 inss1 3643 . . . . . . . . . . 11 |- ( u i^i A ) C_ u
8 simprr 774 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> y e. ( u i^i A ) )
97, 8sseldi 3416 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> y e. u )
10 nlly2i 20568 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ u e. J /\ y e. u ) -> E. s e. ~P u E. w e. J ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) )
115, 6, 9, 10syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> E. s e. ~P u E. w e. J ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) )
123ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
131ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> J e. Top )
14 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> A e. ( Clsd ` J ) )
15 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> w e. J )
16 elrestr 15405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( Clsd ` J ) /\ w e. J ) -> ( w i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( w i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
18 simprr1 1078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. w )
19 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u i^i A ) C_ A
20 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. ( u i^i A ) )
2119, 20sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. A )
2218, 21elind 3609 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. ( w i^i A ) )
23 opnneip 20212 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( w i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ y e. ( w i^i A ) ) -> ( w i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
2412, 17, 22, 23syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( w i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
25 simprr2 1079 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> w C_ s )
26 ssrin 3648 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w C_ s -> ( w i^i A ) C_ ( s i^i A ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( w i^i A ) C_ ( s i^i A ) )
28 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s i^i A ) C_ A
29 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. J = U. J
3029cldss 20121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> A C_ U. J )
3114, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> A C_ U. J )
3229restuni 20255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
3313, 31, 32syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
3428, 33syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ U. ( J ↾t A ) )
35 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t A )
3635ssnei2 20209 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( w i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) ) /\ ( ( w i^i A ) C_ ( s i^i A ) /\ ( s i^i A ) C_ U. ( J ↾t A ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
3712, 24, 27, 34, 36syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
38 simprll 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> s e. ~P u )
3938elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> s C_ u )
40 ssrin 3648 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s C_ u -> ( s i^i A ) C_ ( u i^i A ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ ( u i^i A ) )
42 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- s e. _V
4342inex1 4537 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s i^i A ) e. _V
4443elpw 3948 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s i^i A ) e. ~P ( u i^i A ) <-> ( s i^i A ) C_ ( u i^i A ) )
4541, 44sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ~P ( u i^i A ) )
4637, 45elind 3609 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) )
4728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ A )
48 restabs 20258 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ ( s i^i A ) C_ A /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
4913, 47, 14, 48syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
50 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s i^i A ) C_ s
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ s )
52 restabs 20258 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ ( s i^i A ) C_ s /\ s e. ~P u ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
5313, 51, 38, 52syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
5449, 53eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) )
55 simprr3 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( J ↾t s ) e. Comp )
56 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s i^i A ) = ( A i^i s )
57 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A i^i s ) = ( A i^i s )
58 ineq1 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = A -> ( v i^i s ) = ( A i^i s ) )
5958eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = A -> ( ( A i^i s ) = ( v i^i s ) <-> ( A i^i s ) = ( A i^i s ) ) )
6059rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ ( A i^i s ) = ( A i^i s ) ) -> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) )
6114, 57, 60sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) )
62 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> u e. J )
63 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. J -> u C_ U. J )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> u C_ U. J )
6539, 64sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> s C_ U. J )
6629restcld 20265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ s C_ U. J ) -> ( ( A i^i s ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) <-> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) ) )
6713, 65, 66syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( A i^i s ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) <-> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) ) )
6861, 67mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( A i^i s ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) )
6956, 68syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) )
70 cmpcld 20494 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J ↾t s ) e. Comp /\ ( s i^i A ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp )
7155, 69, 70syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp )
7254, 71eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp )
73 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( s i^i A ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t v ) = ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) )
7473eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( s i^i A ) -> ( ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp <-> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp ) )
7574rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s i^i A ) e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) /\ ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
7646, 72, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
7776expr 626 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( s e. ~P u /\ w e. J ) ) -> ( ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
7877rexlimdvva 2878 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> ( E. s e. ~P u E. w e. J ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
7911, 78mpd 15 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
8079anassrs 660 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ u e. J ) /\ y e. ( u i^i A ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
8180ralrimiva 2809 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ u e. J ) -> A. y e. ( u i^i A ) E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
82 pweq 3945 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( u i^i A ) -> ~P x = ~P ( u i^i A ) )
8382ineq2d 3625 . . . . . . . 8 |- ( x = ( u i^i A ) -> ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) = ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) )
8483rexeqdv 2980 . . . . . . 7 |- ( x = ( u i^i A ) -> ( E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp <-> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8584raleqbi1dv 2981 . . . . . 6 |- ( x = ( u i^i A ) -> ( A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp <-> A. y e. ( u i^i A ) E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8681, 85syl5ibrcom 230 . . . . 5 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ u e. J ) -> ( x = ( u i^i A ) -> A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8786rexlimdva 2871 . . . 4 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( E. u e. J x = ( u i^i A ) -> A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
884, 87sylbid 223 . . 3 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x e. ( J ↾t A ) -> A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8988ralrimiv 2808 . 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A. x e. ( J ↾t A ) A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
90 isnlly 20561 . 2 |- ( ( J ↾t A ) e. 𝑛Locally Comp <-> ( ( J ↾t A ) e. Top /\ A. x e. ( J ↾t A ) A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
913, 89, 90sylanbrc 677 1 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. 𝑛Locally Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994   Clsdccld 20108   neicnei 20190   Compccmp 20478  𝑛Locally cnlly 20557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-nei 20191  df-cmp 20479  df-nlly 20559
This theorem is referenced by:  rellycmp  22063
  Copyright terms: Public domain W3C validator