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Theorem cldllycmp 20503
Description: A closed subspace of a locally compact space is also locally compact. (The analogous result for open subspaces follows from the more general nllyrest 20494.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldllycmp  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( Jt  A
)  e. 𝑛Locally  Comp )

Proof of Theorem cldllycmp
Dummy variables  u  v  w  x  y 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 20481 . . 3  |-  ( J  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  J  e.  Top )
2 resttop 20169 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( Jt  A )  e.  Top )
31, 2sylan 474 . 2  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( Jt  A
)  e.  Top )
4 elrest 15319 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( x  e.  ( Jt  A )  <->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  A ) ) )
5 simpll 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  J  e. 𝑛Locally  Comp )
6 simprl 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  u  e.  J
)
7 inss1 3651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  i^i  A )  C_  u
8 simprr 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  y  e.  ( u  i^i  A ) )
97, 8sseldi 3429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  y  e.  u
)
10 nlly2i 20484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  u  e.  J  /\  y  e.  u
)  ->  E. s  e.  ~P  u E. w  e.  J  ( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp )
)
115, 6, 9, 10syl3anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  u E. w  e.  J  ( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. 
Comp ) )
123ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( Jt  A )  e.  Top )
131ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  J  e.  Top )
14 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  A  e.  ( Clsd `  J ) )
15 simprlr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  w  e.  J )
16 elrestr 15320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( Clsd `  J )  /\  w  e.  J )  ->  (
w  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( w  i^i  A
)  e.  ( Jt  A ) )
18 simprr1 1055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  w )
19 inss2 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  i^i  A )  C_  A
20 simplrr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  ( u  i^i  A ) )
2119, 20sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  A )
2218, 21elind 3617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  ( w  i^i  A ) )
23 opnneip 20128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  ( w  i^i  A
)  e.  ( Jt  A )  /\  y  e.  ( w  i^i  A
) )  ->  (
w  i^i  A )  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) )
2412, 17, 22, 23syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( w  i^i  A
)  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  {
y } ) )
25 simprr2 1056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  w  C_  s )
26 ssrin 3656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
C_  s  ->  (
w  i^i  A )  C_  ( s  i^i  A
) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( w  i^i  A
)  C_  ( s  i^i  A ) )
28 inss2 3652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  i^i  A )  C_  A
29 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. J  =  U. J
3029cldss 20037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A  C_  U. J
)
3114, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  A  C_  U. J )
3229restuni 20171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
3313, 31, 32syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
3428, 33syl5sseq 3479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  U. ( Jt  A ) )
35 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
3635ssnei2 20125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  (
w  i^i  A )  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) )  /\  ( ( w  i^i  A ) 
C_  ( s  i^i 
A )  /\  (
s  i^i  A )  C_ 
U. ( Jt  A ) ) )  ->  (
s  i^i  A )  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) )
3712, 24, 27, 34, 36syl22anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  {
y } ) )
38 simprll 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
s  e.  ~P u
)
3938elpwid 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
s  C_  u )
40 ssrin 3656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s 
C_  u  ->  (
s  i^i  A )  C_  ( u  i^i  A
) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  ( u  i^i  A ) )
42 vex 3047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  s  e. 
_V
4342inex1 4543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  i^i  A )  e. 
_V
4443elpw 3956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  i^i  A )  e.  ~P ( u  i^i  A )  <->  ( s  i^i  A )  C_  (
u  i^i  A )
)
4541, 44sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ~P (
u  i^i  A )
)
4637, 45elind 3617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) )
4728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  A )
48 restabs 20174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( s  i^i  A
)  C_  A  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i  A ) ) )
4913, 47, 14, 48syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i  A ) ) )
50 inss1 3651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  i^i  A )  C_  s
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  s )
52 restabs 20174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( s  i^i  A
)  C_  s  /\  s  e.  ~P u
)  ->  ( ( Jt  s )t  ( s  i^i 
A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i 
A ) ) )
5313, 51, 38, 52syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  s )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i  A ) ) )
5449, 53eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( ( Jt  s )t  ( s  i^i 
A ) ) )
55 simprr3 1057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( Jt  s )  e. 
Comp )
56 incom 3624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  i^i  A )  =  ( A  i^i  s
)
57 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  i^i  s )  =  ( A  i^i  s
)
58 ineq1 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  A  ->  (
v  i^i  s )  =  ( A  i^i  s ) )
5958eqeq2d 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  A  ->  (
( A  i^i  s
)  =  ( v  i^i  s )  <->  ( A  i^i  s )  =  ( A  i^i  s ) ) )
6059rspcev 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( A  i^i  s )  =  ( A  i^i  s
) )  ->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) )
6114, 57, 60sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  E. v  e.  ( Clsd `  J ) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) )
62 simplrl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  u  e.  J )
63 elssuni 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  J  ->  u  C_ 
U. J )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  u  C_  U. J )
6539, 64sstrd 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
s  C_  U. J )
6629restcld 20181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  C_  U. J )  ->  ( ( A  i^i  s )  e.  ( Clsd `  ( Jt  s ) )  <->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) ) )
6713, 65, 66syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( A  i^i  s )  e.  (
Clsd `  ( Jt  s
) )  <->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) ) )
6861, 67mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( A  i^i  s
)  e.  ( Clsd `  ( Jt  s ) ) )
6956, 68syl5eqel 2532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ( Clsd `  ( Jt  s ) ) )
70 cmpcld 20410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Jt  s )  e. 
Comp  /\  ( s  i^i 
A )  e.  (
Clsd `  ( Jt  s
) ) )  -> 
( ( Jt  s )t  ( s  i^i  A ) )  e.  Comp )
7155, 69, 70syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  s )t  ( s  i^i  A ) )  e.  Comp )
7254, 71eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  e.  Comp )
73 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( s  i^i 
A )  ->  (
( Jt  A )t  v )  =  ( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) ) )
7473eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( s  i^i 
A )  ->  (
( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp  <->  ( ( Jt  A )t  ( s  i^i 
A ) )  e. 
Comp ) )
7574rspcev 3149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  i^i  A
)  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) )  /\  ( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A
) )  e.  Comp )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
7646, 72, 75syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
7776expr 619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( s  e.  ~P u  /\  w  e.  J
) )  ->  (
( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. 
Comp )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
7877rexlimdvva 2885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  ( E. s  e.  ~P  u E. w  e.  J  ( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
7911, 78mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
8079anassrs 653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  u  e.  J
)  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
8180ralrimiva 2801 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  ( u  i^i  A
) E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
82 pweq 3953 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  ~P x  =  ~P (
u  i^i  A )
)
8382ineq2d 3633 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x )  =  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  {
y } )  i^i 
~P ( u  i^i 
A ) ) )
8483rexeqdv 2993 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  ( E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp  <->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8584raleqbi1dv 2994 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  ( A. y  e.  x  E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp  <->  A. y  e.  ( u  i^i  A
) E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8681, 85syl5ibrcom 226 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  u  e.  J )  ->  (
x  =  ( u  i^i  A )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8786rexlimdva 2878 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
A )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
884, 87sylbid 219 . . 3  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( x  e.  ( Jt  A )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8988ralrimiv 2799 . 2  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  A. x  e.  ( Jt  A ) A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
90 isnlly 20477 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e. 𝑛Locally  Comp  <->  ( ( Jt  A )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  ( Jt  A ) A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
913, 89, 90sylanbrc 669 1  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( Jt  A
)  e. 𝑛Locally  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3402    C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   {csn 3967   U.cuni 4197   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ↾t crest 15312   Topctop 19910   Clsdccld 20024   neicnei 20106   Compccmp 20394  𝑛Locally cnlly 20473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-fin 7570  df-fi 7922  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cld 20027  df-nei 20107  df-cmp 20395  df-nlly 20475
This theorem is referenced by:  rellycmp  21978
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