MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldllycmp Unicode version
Theorem cldllycmp 17511
Description: A closed subspace of a locally compact space is also locally compact. (The analogous result for open subspaces follows from the more general nllyrest 17502.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldllycmp |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. 𝑛Locally Comp )
Proof of Theorem cldllycmp
Dummy variables u v w x y s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 17489 . . 3 |- ( J e. 𝑛Locally Comp -> J e. Top )
2 resttop 17178 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
31, 2sylan 458 . 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
4 elrest 13610 . . . 4 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x e. ( J ↾t A ) <-> E. u e. J x = ( u i^i A ) ) )
5 simpll 731 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> J e. 𝑛Locally Comp )
6 simprl 733 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> u e. J )
7 inss1 3521 . . . . . . . . . . 11 |- ( u i^i A ) C_ u
8 simprr 734 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> y e. ( u i^i A ) )
97, 8sseldi 3306 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> y e. u )
10 nlly2i 17492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ u e. J /\ y e. u ) -> E. s e. ~P u E. w e. J ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) )
115, 6, 9, 10syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> E. s e. ~P u E. w e. J ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) )
123ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
131ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> J e. Top )
14 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> A e. ( Clsd ` J ) )
15 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> w e. J )
16 elrestr 13611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( Clsd ` J ) /\ w e. J ) -> ( w i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( w i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
18 simprr1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. w )
19 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u i^i A ) C_ A
20 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. ( u i^i A ) )
2119, 20sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. A )
22 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( w i^i A ) <-> ( y e. w /\ y e. A ) )
2318, 21, 22sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. ( w i^i A ) )
24 opnneip 17138 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( w i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ y e. ( w i^i A ) ) -> ( w i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
2512, 17, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( w i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
26 simprr2 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> w C_ s )
27 ssrin 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w C_ s -> ( w i^i A ) C_ ( s i^i A ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( w i^i A ) C_ ( s i^i A ) )
29 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s i^i A ) C_ A
30 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. J = U. J
3130cldss 17048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> A C_ U. J )
3214, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> A C_ U. J )
3330restuni 17180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
3413, 32, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
3529, 34syl5sseq 3356 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ U. ( J ↾t A ) )
36 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t A )
3736ssnei2 17135 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( w i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) ) /\ ( ( w i^i A ) C_ ( s i^i A ) /\ ( s i^i A ) C_ U. ( J ↾t A ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
3812, 25, 28, 35, 37syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
39 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> s e. ~P u )
4039elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> s C_ u )
41 ssrin 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s C_ u -> ( s i^i A ) C_ ( u i^i A ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ ( u i^i A ) )
43 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- s e. _V
4443inex1 4304 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s i^i A ) e. _V
4544elpw 3765 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s i^i A ) e. ~P ( u i^i A ) <-> ( s i^i A ) C_ ( u i^i A ) )
4642, 45sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ~P ( u i^i A ) )
47 elin 3490 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s i^i A ) e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) <-> ( ( s i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) /\ ( s i^i A ) e. ~P ( u i^i A ) ) )
4838, 46, 47sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) )
4929a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ A )
50 restabs 17183 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ ( s i^i A ) C_ A /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
5113, 49, 14, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
52 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s i^i A ) C_ s
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ s )
54 restabs 17183 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ ( s i^i A ) C_ s /\ s e. ~P u ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
5513, 53, 39, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
5651, 55eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) )
57 simprr3 1007 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( J ↾t s ) e. Comp )
58 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s i^i A ) = ( A i^i s )
59 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A i^i s ) = ( A i^i s )
60 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = A -> ( v i^i s ) = ( A i^i s ) )
6160eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = A -> ( ( A i^i s ) = ( v i^i s ) <-> ( A i^i s ) = ( A i^i s ) ) )
6261rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ ( A i^i s ) = ( A i^i s ) ) -> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) )
6314, 59, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) )
64 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> u e. J )
65 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. J -> u C_ U. J )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> u C_ U. J )
6740, 66sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> s C_ U. J )
6830restcld 17190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ s C_ U. J ) -> ( ( A i^i s ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) <-> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) ) )
6913, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( A i^i s ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) <-> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) ) )
7063, 69mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( A i^i s ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) )
7158, 70syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) )
72 cmpcld 17419 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J ↾t s ) e. Comp /\ ( s i^i A ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp )
7357, 71, 72syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp )
7456, 73eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp )
75 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( s i^i A ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t v ) = ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) )
7675eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( s i^i A ) -> ( ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp <-> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp ) )
7776rspcev 3012 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s i^i A ) e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) /\ ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
7848, 74, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
7978expr 599 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( s e. ~P u /\ w e. J ) ) -> ( ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8079rexlimdvva 2797 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> ( E. s e. ~P u E. w e. J ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8111, 80mpd 15 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
8281anassrs 630 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ u e. J ) /\ y e. ( u i^i A ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
8382ralrimiva 2749 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ u e. J ) -> A. y e. ( u i^i A ) E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
84 pweq 3762 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( u i^i A ) -> ~P x = ~P ( u i^i A ) )
8584ineq2d 3502 . . . . . . . 8 |- ( x = ( u i^i A ) -> ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) = ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) )
8685rexeqdv 2871 . . . . . . 7 |- ( x = ( u i^i A ) -> ( E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp <-> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8786raleqbi1dv 2872 . . . . . 6 |- ( x = ( u i^i A ) -> ( A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp <-> A. y e. ( u i^i A ) E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8883, 87syl5ibrcom 214 . . . . 5 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ u e. J ) -> ( x = ( u i^i A ) -> A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8988rexlimdva 2790 . . . 4 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( E. u e. J x = ( u i^i A ) -> A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
904, 89sylbid 207 . . 3 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x e. ( J ↾t A ) -> A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
9190ralrimiv 2748 . 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A. x e. ( J ↾t A ) A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
92 isnlly 17485 . 2 |- ( ( J ↾t A ) e. 𝑛Locally Comp <-> ( ( J ↾t A ) e. Top /\ A. x e. ( J ↾t A ) A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
933, 91, 92sylanbrc 646 1 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. 𝑛Locally Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   i^i cin 3279   C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603   Topctop 16913   Clsdccld 17035   neicnei 17116   Compccmp 17403  𝑛Locally cnlly 17481
This theorem is referenced by:  rellycmp  18935
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-nei 17117  df-cmp 17404  df-nlly 17483
  Copyright terms: Public domain W3C validator