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Theorem cldllycmp 20503
Description: A closed subspace of a locally compact space is also locally compact. (The analogous result for open subspaces follows from the more general nllyrest 20494.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldllycmp |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. 𝑛Locally Comp )
Proof of Theorem cldllycmp
Dummy variables u v w x y s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 20481 . . 3 |- ( J e. 𝑛Locally Comp -> J e. Top )
2 resttop 20169 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
31, 2sylan 474 . 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
4 elrest 15319 . . . 4 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x e. ( J ↾t A ) <-> E. u e. J x = ( u i^i A ) ) )
5 simpll 759 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> J e. 𝑛Locally Comp )
6 simprl 763 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> u e. J )
7 inss1 3651 . . . . . . . . . . 11 |- ( u i^i A ) C_ u
8 simprr 765 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> y e. ( u i^i A ) )
97, 8sseldi 3429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> y e. u )
10 nlly2i 20484 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ u e. J /\ y e. u ) -> E. s e. ~P u E. w e. J ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) )
115, 6, 9, 10syl3anc 1267 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> E. s e. ~P u E. w e. J ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) )
123ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
131ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> J e. Top )
14 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> A e. ( Clsd ` J ) )
15 simprlr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> w e. J )
16 elrestr 15320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( Clsd ` J ) /\ w e. J ) -> ( w i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( w i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
18 simprr1 1055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. w )
19 inss2 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u i^i A ) C_ A
20 simplrr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. ( u i^i A ) )
2119, 20sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. A )
2218, 21elind 3617 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. ( w i^i A ) )
23 opnneip 20128 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( w i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ y e. ( w i^i A ) ) -> ( w i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
2412, 17, 22, 23syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( w i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
25 simprr2 1056 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> w C_ s )
26 ssrin 3656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w C_ s -> ( w i^i A ) C_ ( s i^i A ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( w i^i A ) C_ ( s i^i A ) )
28 inss2 3652 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s i^i A ) C_ A
29 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. J = U. J
3029cldss 20037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> A C_ U. J )
3114, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> A C_ U. J )
3229restuni 20171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
3313, 31, 32syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
3428, 33syl5sseq 3479 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ U. ( J ↾t A ) )
35 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t A )
3635ssnei2 20125 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( w i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) ) /\ ( ( w i^i A ) C_ ( s i^i A ) /\ ( s i^i A ) C_ U. ( J ↾t A ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
3712, 24, 27, 34, 36syl22anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
38 simprll 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> s e. ~P u )
3938elpwid 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> s C_ u )
40 ssrin 3656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s C_ u -> ( s i^i A ) C_ ( u i^i A ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ ( u i^i A ) )
42 vex 3047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- s e. _V
4342inex1 4543 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s i^i A ) e. _V
4443elpw 3956 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s i^i A ) e. ~P ( u i^i A ) <-> ( s i^i A ) C_ ( u i^i A ) )
4541, 44sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ~P ( u i^i A ) )
4637, 45elind 3617 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) )
4728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ A )
48 restabs 20174 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ ( s i^i A ) C_ A /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
4913, 47, 14, 48syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
50 inss1 3651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s i^i A ) C_ s
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ s )
52 restabs 20174 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ ( s i^i A ) C_ s /\ s e. ~P u ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
5313, 51, 38, 52syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
5449, 53eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) )
55 simprr3 1057 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( J ↾t s ) e. Comp )
56 incom 3624 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s i^i A ) = ( A i^i s )
57 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A i^i s ) = ( A i^i s )
58 ineq1 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = A -> ( v i^i s ) = ( A i^i s ) )
5958eqeq2d 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = A -> ( ( A i^i s ) = ( v i^i s ) <-> ( A i^i s ) = ( A i^i s ) ) )
6059rspcev 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ ( A i^i s ) = ( A i^i s ) ) -> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) )
6114, 57, 60sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) )
62 simplrl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> u e. J )
63 elssuni 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. J -> u C_ U. J )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> u C_ U. J )
6539, 64sstrd 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> s C_ U. J )
6629restcld 20181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ s C_ U. J ) -> ( ( A i^i s ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) <-> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) ) )
6713, 65, 66syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( A i^i s ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) <-> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) ) )
6861, 67mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( A i^i s ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) )
6956, 68syl5eqel 2532 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) )
70 cmpcld 20410 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J ↾t s ) e. Comp /\ ( s i^i A ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp )
7155, 69, 70syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp )
7254, 71eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp )
73 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( s i^i A ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t v ) = ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) )
7473eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( s i^i A ) -> ( ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp <-> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp ) )
7574rspcev 3149 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s i^i A ) e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) /\ ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
7646, 72, 75syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
7776expr 619 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( s e. ~P u /\ w e. J ) ) -> ( ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
7877rexlimdvva 2885 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> ( E. s e. ~P u E. w e. J ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
7911, 78mpd 15 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
8079anassrs 653 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ u e. J ) /\ y e. ( u i^i A ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
8180ralrimiva 2801 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ u e. J ) -> A. y e. ( u i^i A ) E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
82 pweq 3953 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( u i^i A ) -> ~P x = ~P ( u i^i A ) )
8382ineq2d 3633 . . . . . . . 8 |- ( x = ( u i^i A ) -> ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) = ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) )
8483rexeqdv 2993 . . . . . . 7 |- ( x = ( u i^i A ) -> ( E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp <-> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8584raleqbi1dv 2994 . . . . . 6 |- ( x = ( u i^i A ) -> ( A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp <-> A. y e. ( u i^i A ) E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8681, 85syl5ibrcom 226 . . . . 5 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ u e. J ) -> ( x = ( u i^i A ) -> A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8786rexlimdva 2878 . . . 4 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( E. u e. J x = ( u i^i A ) -> A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
884, 87sylbid 219 . . 3 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x e. ( J ↾t A ) -> A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8988ralrimiv 2799 . 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A. x e. ( J ↾t A ) A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
90 isnlly 20477 . 2 |- ( ( J ↾t A ) e. 𝑛Locally Comp <-> ( ( J ↾t A ) e. Top /\ A. x e. ( J ↾t A ) A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
913, 89, 90sylanbrc 669 1 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. 𝑛Locally Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   i^i cin 3402   C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   {csn 3967   U.cuni 4197   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ↾t crest 15312   Topctop 19910   Clsdccld 20024   neicnei 20106   Compccmp 20394  𝑛Locally cnlly 20473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-fin 7570  df-fi 7922  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cld 20027  df-nei 20107  df-cmp 20395  df-nlly 20475
This theorem is referenced by:  rellycmp  21978
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