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Theorem cldllycmp 20441
Description: A closed subspace of a locally compact space is also locally compact. (The analogous result for open subspaces follows from the more general nllyrest 20432.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldllycmp |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. 𝑛Locally Comp )
Proof of Theorem cldllycmp
Dummy variables u v w x y s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 20419 . . 3 |- ( J e. 𝑛Locally Comp -> J e. Top )
2 resttop 20107 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
31, 2sylan 473 . 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
4 elrest 15285 . . . 4 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x e. ( J ↾t A ) <-> E. u e. J x = ( u i^i A ) ) )
5 simpll 758 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> J e. 𝑛Locally Comp )
6 simprl 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> u e. J )
7 inss1 3688 . . . . . . . . . . 11 |- ( u i^i A ) C_ u
8 simprr 764 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> y e. ( u i^i A ) )
97, 8sseldi 3468 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> y e. u )
10 nlly2i 20422 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ u e. J /\ y e. u ) -> E. s e. ~P u E. w e. J ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) )
115, 6, 9, 10syl3anc 1264 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> E. s e. ~P u E. w e. J ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) )
123ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
131ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> J e. Top )
14 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> A e. ( Clsd ` J ) )
15 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> w e. J )
16 elrestr 15286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( Clsd ` J ) /\ w e. J ) -> ( w i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( w i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
18 simprr1 1053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. w )
19 inss2 3689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u i^i A ) C_ A
20 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. ( u i^i A ) )
2119, 20sseldi 3468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. A )
2218, 21elind 3656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. ( w i^i A ) )
23 opnneip 20066 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( w i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ y e. ( w i^i A ) ) -> ( w i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
2412, 17, 22, 23syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( w i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
25 simprr2 1054 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> w C_ s )
26 ssrin 3693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w C_ s -> ( w i^i A ) C_ ( s i^i A ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( w i^i A ) C_ ( s i^i A ) )
28 inss2 3689 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s i^i A ) C_ A
29 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. J = U. J
3029cldss 19975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> A C_ U. J )
3114, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> A C_ U. J )
3229restuni 20109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
3313, 31, 32syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
3428, 33syl5sseq 3518 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ U. ( J ↾t A ) )
35 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t A )
3635ssnei2 20063 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( w i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) ) /\ ( ( w i^i A ) C_ ( s i^i A ) /\ ( s i^i A ) C_ U. ( J ↾t A ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
3712, 24, 27, 34, 36syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) )
38 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> s e. ~P u )
3938elpwid 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> s C_ u )
40 ssrin 3693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s C_ u -> ( s i^i A ) C_ ( u i^i A ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ ( u i^i A ) )
42 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- s e. _V
4342inex1 4566 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s i^i A ) e. _V
4443elpw 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s i^i A ) e. ~P ( u i^i A ) <-> ( s i^i A ) C_ ( u i^i A ) )
4541, 44sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ~P ( u i^i A ) )
4637, 45elind 3656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) )
4728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ A )
48 restabs 20112 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ ( s i^i A ) C_ A /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
4913, 47, 14, 48syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
50 inss1 3688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s i^i A ) C_ s
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) C_ s )
52 restabs 20112 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ ( s i^i A ) C_ s /\ s e. ~P u ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
5313, 51, 38, 52syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( J ↾t ( s i^i A ) ) )
5449, 53eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) = ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) )
55 simprr3 1055 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( J ↾t s ) e. Comp )
56 incom 3661 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s i^i A ) = ( A i^i s )
57 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A i^i s ) = ( A i^i s )
58 ineq1 3663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = A -> ( v i^i s ) = ( A i^i s ) )
5958eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = A -> ( ( A i^i s ) = ( v i^i s ) <-> ( A i^i s ) = ( A i^i s ) ) )
6059rspcev 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ ( A i^i s ) = ( A i^i s ) ) -> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) )
6114, 57, 60sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) )
62 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> u e. J )
63 elssuni 4251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. J -> u C_ U. J )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> u C_ U. J )
6539, 64sstrd 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> s C_ U. J )
6629restcld 20119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ s C_ U. J ) -> ( ( A i^i s ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) <-> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) ) )
6713, 65, 66syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( A i^i s ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) <-> E. v e. ( Clsd ` J ) ( A i^i s ) = ( v i^i s ) ) )
6861, 67mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( A i^i s ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) )
6956, 68syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s i^i A ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) )
70 cmpcld 20348 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J ↾t s ) e. Comp /\ ( s i^i A ) e. ( Clsd ` ( J ↾t s ) ) ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp )
7155, 69, 70syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t s ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp )
7254, 71eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp )
73 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( s i^i A ) -> ( ( J ↾t A ) ↾t v ) = ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) )
7473eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( s i^i A ) -> ( ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp <-> ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp ) )
7574rspcev 3188 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s i^i A ) e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) /\ ( ( J ↾t A ) ↾t ( s i^i A ) ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
7646, 72, 75syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( ( s e. ~P u /\ w e. J ) /\ ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
7776expr 618 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) /\ ( s e. ~P u /\ w e. J ) ) -> ( ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
7877rexlimdvva 2931 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> ( E. s e. ~P u E. w e. J ( y e. w /\ w C_ s /\ ( J ↾t s ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
7911, 78mpd 15 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( u e. J /\ y e. ( u i^i A ) ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
8079anassrs 652 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ u e. J ) /\ y e. ( u i^i A ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
8180ralrimiva 2846 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ u e. J ) -> A. y e. ( u i^i A ) E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
82 pweq 3988 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( u i^i A ) -> ~P x = ~P ( u i^i A ) )
8382ineq2d 3670 . . . . . . . 8 |- ( x = ( u i^i A ) -> ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) = ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) )
8483rexeqdv 3039 . . . . . . 7 |- ( x = ( u i^i A ) -> ( E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp <-> E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8584raleqbi1dv 3040 . . . . . 6 |- ( x = ( u i^i A ) -> ( A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp <-> A. y e. ( u i^i A ) E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P ( u i^i A ) ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8681, 85syl5ibrcom 225 . . . . 5 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) /\ u e. J ) -> ( x = ( u i^i A ) -> A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8786rexlimdva 2924 . . . 4 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( E. u e. J x = ( u i^i A ) -> A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
884, 87sylbid 218 . . 3 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x e. ( J ↾t A ) -> A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
8988ralrimiv 2844 . 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> A. x e. ( J ↾t A ) A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp )
90 isnlly 20415 . 2 |- ( ( J ↾t A ) e. 𝑛Locally Comp <-> ( ( J ↾t A ) e. Top /\ A. x e. ( J ↾t A ) A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t A ) ↾t v ) e. Comp ) )
913, 89, 90sylanbrc 668 1 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ A e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t A ) e. 𝑛Locally Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   i^i cin 3441   C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   {csn 4002   U.cuni 4222   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ↾t crest 15278   Topctop 19848   Clsdccld 19962   neicnei 20044   Compccmp 20332  𝑛Locally cnlly 20411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-fin 7581  df-fi 7931  df-rest 15280  df-topgen 15301  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cld 19965  df-nei 20045  df-cmp 20333  df-nlly 20413
This theorem is referenced by:  rellycmp  21881
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