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Theorem cldllycmp 20587
Description: A closed subspace of a locally compact space is also locally compact. (The analogous result for open subspaces follows from the more general nllyrest 20578.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldllycmp  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( Jt  A
)  e. 𝑛Locally  Comp )

Proof of Theorem cldllycmp
Dummy variables  u  v  w  x  y 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 20565 . . 3  |-  ( J  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  J  e.  Top )
2 resttop 20253 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( Jt  A )  e.  Top )
31, 2sylan 479 . 2  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( Jt  A
)  e.  Top )
4 elrest 15404 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( x  e.  ( Jt  A )  <->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  A ) ) )
5 simpll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  J  e. 𝑛Locally  Comp )
6 simprl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  u  e.  J
)
7 inss1 3643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  i^i  A )  C_  u
8 simprr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  y  e.  ( u  i^i  A ) )
97, 8sseldi 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  y  e.  u
)
10 nlly2i 20568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  u  e.  J  /\  y  e.  u
)  ->  E. s  e.  ~P  u E. w  e.  J  ( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp )
)
115, 6, 9, 10syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  u E. w  e.  J  ( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. 
Comp ) )
123ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( Jt  A )  e.  Top )
131ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  J  e.  Top )
14 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  A  e.  ( Clsd `  J ) )
15 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  w  e.  J )
16 elrestr 15405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( Clsd `  J )  /\  w  e.  J )  ->  (
w  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( w  i^i  A
)  e.  ( Jt  A ) )
18 simprr1 1078 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  w )
19 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  i^i  A )  C_  A
20 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  ( u  i^i  A ) )
2119, 20sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  A )
2218, 21elind 3609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  ( w  i^i  A ) )
23 opnneip 20212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  ( w  i^i  A
)  e.  ( Jt  A )  /\  y  e.  ( w  i^i  A
) )  ->  (
w  i^i  A )  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) )
2412, 17, 22, 23syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( w  i^i  A
)  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  {
y } ) )
25 simprr2 1079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  w  C_  s )
26 ssrin 3648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
C_  s  ->  (
w  i^i  A )  C_  ( s  i^i  A
) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( w  i^i  A
)  C_  ( s  i^i  A ) )
28 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  i^i  A )  C_  A
29 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. J  =  U. J
3029cldss 20121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A  C_  U. J
)
3114, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  A  C_  U. J )
3229restuni 20255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
3313, 31, 32syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
3428, 33syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  U. ( Jt  A ) )
35 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
3635ssnei2 20209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  (
w  i^i  A )  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) )  /\  ( ( w  i^i  A ) 
C_  ( s  i^i 
A )  /\  (
s  i^i  A )  C_ 
U. ( Jt  A ) ) )  ->  (
s  i^i  A )  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) )
3712, 24, 27, 34, 36syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  {
y } ) )
38 simprll 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
s  e.  ~P u
)
3938elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
s  C_  u )
40 ssrin 3648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s 
C_  u  ->  (
s  i^i  A )  C_  ( u  i^i  A
) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  ( u  i^i  A ) )
42 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  s  e. 
_V
4342inex1 4537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  i^i  A )  e. 
_V
4443elpw 3948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  i^i  A )  e.  ~P ( u  i^i  A )  <->  ( s  i^i  A )  C_  (
u  i^i  A )
)
4541, 44sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ~P (
u  i^i  A )
)
4637, 45elind 3609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) )
4728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  A )
48 restabs 20258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( s  i^i  A
)  C_  A  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i  A ) ) )
4913, 47, 14, 48syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i  A ) ) )
50 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  i^i  A )  C_  s
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  s )
52 restabs 20258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( s  i^i  A
)  C_  s  /\  s  e.  ~P u
)  ->  ( ( Jt  s )t  ( s  i^i 
A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i 
A ) ) )
5313, 51, 38, 52syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  s )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i  A ) ) )
5449, 53eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( ( Jt  s )t  ( s  i^i 
A ) ) )
55 simprr3 1080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( Jt  s )  e. 
Comp )
56 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  i^i  A )  =  ( A  i^i  s
)
57 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  i^i  s )  =  ( A  i^i  s
)
58 ineq1 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  A  ->  (
v  i^i  s )  =  ( A  i^i  s ) )
5958eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  A  ->  (
( A  i^i  s
)  =  ( v  i^i  s )  <->  ( A  i^i  s )  =  ( A  i^i  s ) ) )
6059rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( A  i^i  s )  =  ( A  i^i  s
) )  ->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) )
6114, 57, 60sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  E. v  e.  ( Clsd `  J ) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) )
62 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  u  e.  J )
63 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  J  ->  u  C_ 
U. J )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  u  C_  U. J )
6539, 64sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
s  C_  U. J )
6629restcld 20265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  C_  U. J )  ->  ( ( A  i^i  s )  e.  ( Clsd `  ( Jt  s ) )  <->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) ) )
6713, 65, 66syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( A  i^i  s )  e.  (
Clsd `  ( Jt  s
) )  <->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) ) )
6861, 67mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( A  i^i  s
)  e.  ( Clsd `  ( Jt  s ) ) )
6956, 68syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ( Clsd `  ( Jt  s ) ) )
70 cmpcld 20494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Jt  s )  e. 
Comp  /\  ( s  i^i 
A )  e.  (
Clsd `  ( Jt  s
) ) )  -> 
( ( Jt  s )t  ( s  i^i  A ) )  e.  Comp )
7155, 69, 70syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  s )t  ( s  i^i  A ) )  e.  Comp )
7254, 71eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  e.  Comp )
73 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( s  i^i 
A )  ->  (
( Jt  A )t  v )  =  ( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) ) )
7473eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( s  i^i 
A )  ->  (
( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp  <->  ( ( Jt  A )t  ( s  i^i 
A ) )  e. 
Comp ) )
7574rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  i^i  A
)  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) )  /\  ( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A
) )  e.  Comp )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
7646, 72, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
7776expr 626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( s  e.  ~P u  /\  w  e.  J
) )  ->  (
( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. 
Comp )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
7877rexlimdvva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  ( E. s  e.  ~P  u E. w  e.  J  ( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
7911, 78mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
8079anassrs 660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  u  e.  J
)  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
8180ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  ( u  i^i  A
) E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
82 pweq 3945 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  ~P x  =  ~P (
u  i^i  A )
)
8382ineq2d 3625 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x )  =  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  {
y } )  i^i 
~P ( u  i^i 
A ) ) )
8483rexeqdv 2980 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  ( E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp  <->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8584raleqbi1dv 2981 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  ( A. y  e.  x  E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp  <->  A. y  e.  ( u  i^i  A
) E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8681, 85syl5ibrcom 230 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  u  e.  J )  ->  (
x  =  ( u  i^i  A )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8786rexlimdva 2871 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
A )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
884, 87sylbid 223 . . 3  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( x  e.  ( Jt  A )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8988ralrimiv 2808 . 2  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  A. x  e.  ( Jt  A ) A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
90 isnlly 20561 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e. 𝑛Locally  Comp  <->  ( ( Jt  A )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  ( Jt  A ) A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
913, 89, 90sylanbrc 677 1  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( Jt  A
)  e. 𝑛Locally  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994   Clsdccld 20108   neicnei 20190   Compccmp 20478  𝑛Locally cnlly 20557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-nei 20191  df-cmp 20479  df-nlly 20559
This theorem is referenced by:  rellycmp  22063
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