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Theorem cldllycmp 20441
Description: A closed subspace of a locally compact space is also locally compact. (The analogous result for open subspaces follows from the more general nllyrest 20432.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldllycmp  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( Jt  A
)  e. 𝑛Locally  Comp )

Proof of Theorem cldllycmp
Dummy variables  u  v  w  x  y 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 20419 . . 3  |-  ( J  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  J  e.  Top )
2 resttop 20107 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( Jt  A )  e.  Top )
31, 2sylan 473 . 2  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( Jt  A
)  e.  Top )
4 elrest 15285 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( x  e.  ( Jt  A )  <->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  A ) ) )
5 simpll 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  J  e. 𝑛Locally  Comp )
6 simprl 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  u  e.  J
)
7 inss1 3688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  i^i  A )  C_  u
8 simprr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  y  e.  ( u  i^i  A ) )
97, 8sseldi 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  y  e.  u
)
10 nlly2i 20422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  u  e.  J  /\  y  e.  u
)  ->  E. s  e.  ~P  u E. w  e.  J  ( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp )
)
115, 6, 9, 10syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  u E. w  e.  J  ( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. 
Comp ) )
123ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( Jt  A )  e.  Top )
131ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  J  e.  Top )
14 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  A  e.  ( Clsd `  J ) )
15 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  w  e.  J )
16 elrestr 15286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( Clsd `  J )  /\  w  e.  J )  ->  (
w  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( w  i^i  A
)  e.  ( Jt  A ) )
18 simprr1 1053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  w )
19 inss2 3689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  i^i  A )  C_  A
20 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  ( u  i^i  A ) )
2119, 20sseldi 3468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  A )
2218, 21elind 3656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  ( w  i^i  A ) )
23 opnneip 20066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  ( w  i^i  A
)  e.  ( Jt  A )  /\  y  e.  ( w  i^i  A
) )  ->  (
w  i^i  A )  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) )
2412, 17, 22, 23syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( w  i^i  A
)  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  {
y } ) )
25 simprr2 1054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  w  C_  s )
26 ssrin 3693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
C_  s  ->  (
w  i^i  A )  C_  ( s  i^i  A
) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( w  i^i  A
)  C_  ( s  i^i  A ) )
28 inss2 3689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  i^i  A )  C_  A
29 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. J  =  U. J
3029cldss 19975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A  C_  U. J
)
3114, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  A  C_  U. J )
3229restuni 20109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
3313, 31, 32syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
3428, 33syl5sseq 3518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  U. ( Jt  A ) )
35 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
3635ssnei2 20063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  (
w  i^i  A )  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) )  /\  ( ( w  i^i  A ) 
C_  ( s  i^i 
A )  /\  (
s  i^i  A )  C_ 
U. ( Jt  A ) ) )  ->  (
s  i^i  A )  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) )
3712, 24, 27, 34, 36syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  {
y } ) )
38 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
s  e.  ~P u
)
3938elpwid 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
s  C_  u )
40 ssrin 3693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s 
C_  u  ->  (
s  i^i  A )  C_  ( u  i^i  A
) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  ( u  i^i  A ) )
42 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  s  e. 
_V
4342inex1 4566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  i^i  A )  e. 
_V
4443elpw 3991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  i^i  A )  e.  ~P ( u  i^i  A )  <->  ( s  i^i  A )  C_  (
u  i^i  A )
)
4541, 44sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ~P (
u  i^i  A )
)
4637, 45elind 3656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) )
4728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  A )
48 restabs 20112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( s  i^i  A
)  C_  A  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i  A ) ) )
4913, 47, 14, 48syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i  A ) ) )
50 inss1 3688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  i^i  A )  C_  s
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  s )
52 restabs 20112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( s  i^i  A
)  C_  s  /\  s  e.  ~P u
)  ->  ( ( Jt  s )t  ( s  i^i 
A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i 
A ) ) )
5313, 51, 38, 52syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  s )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i  A ) ) )
5449, 53eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( ( Jt  s )t  ( s  i^i 
A ) ) )
55 simprr3 1055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( Jt  s )  e. 
Comp )
56 incom 3661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  i^i  A )  =  ( A  i^i  s
)
57 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  i^i  s )  =  ( A  i^i  s
)
58 ineq1 3663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  A  ->  (
v  i^i  s )  =  ( A  i^i  s ) )
5958eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  A  ->  (
( A  i^i  s
)  =  ( v  i^i  s )  <->  ( A  i^i  s )  =  ( A  i^i  s ) ) )
6059rspcev 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( A  i^i  s )  =  ( A  i^i  s
) )  ->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) )
6114, 57, 60sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  E. v  e.  ( Clsd `  J ) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) )
62 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  u  e.  J )
63 elssuni 4251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  J  ->  u  C_ 
U. J )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  u  C_  U. J )
6539, 64sstrd 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
s  C_  U. J )
6629restcld 20119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  C_  U. J )  ->  ( ( A  i^i  s )  e.  ( Clsd `  ( Jt  s ) )  <->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) ) )
6713, 65, 66syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( A  i^i  s )  e.  (
Clsd `  ( Jt  s
) )  <->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) ) )
6861, 67mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( A  i^i  s
)  e.  ( Clsd `  ( Jt  s ) ) )
6956, 68syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ( Clsd `  ( Jt  s ) ) )
70 cmpcld 20348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Jt  s )  e. 
Comp  /\  ( s  i^i 
A )  e.  (
Clsd `  ( Jt  s
) ) )  -> 
( ( Jt  s )t  ( s  i^i  A ) )  e.  Comp )
7155, 69, 70syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  s )t  ( s  i^i  A ) )  e.  Comp )
7254, 71eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  e.  Comp )
73 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( s  i^i 
A )  ->  (
( Jt  A )t  v )  =  ( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) ) )
7473eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( s  i^i 
A )  ->  (
( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp  <->  ( ( Jt  A )t  ( s  i^i 
A ) )  e. 
Comp ) )
7574rspcev 3188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  i^i  A
)  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) )  /\  ( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A
) )  e.  Comp )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
7646, 72, 75syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
7776expr 618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( s  e.  ~P u  /\  w  e.  J
) )  ->  (
( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. 
Comp )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
7877rexlimdvva 2931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  ( E. s  e.  ~P  u E. w  e.  J  ( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
7911, 78mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
8079anassrs 652 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  u  e.  J
)  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
8180ralrimiva 2846 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  ( u  i^i  A
) E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
82 pweq 3988 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  ~P x  =  ~P (
u  i^i  A )
)
8382ineq2d 3670 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x )  =  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  {
y } )  i^i 
~P ( u  i^i 
A ) ) )
8483rexeqdv 3039 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  ( E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp  <->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8584raleqbi1dv 3040 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  ( A. y  e.  x  E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp  <->  A. y  e.  ( u  i^i  A
) E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8681, 85syl5ibrcom 225 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  u  e.  J )  ->  (
x  =  ( u  i^i  A )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8786rexlimdva 2924 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
A )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
884, 87sylbid 218 . . 3  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( x  e.  ( Jt  A )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8988ralrimiv 2844 . 2  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  A. x  e.  ( Jt  A ) A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
90 isnlly 20415 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e. 𝑛Locally  Comp  <->  ( ( Jt  A )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  ( Jt  A ) A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
913, 89, 90sylanbrc 668 1  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( Jt  A
)  e. 𝑛Locally  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   {csn 4002   U.cuni 4222   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ↾t crest 15278   Topctop 19848   Clsdccld 19962   neicnei 20044   Compccmp 20332  𝑛Locally cnlly 20411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-fin 7581  df-fi 7931  df-rest 15280  df-topgen 15301  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cld 19965  df-nei 20045  df-cmp 20333  df-nlly 20413
This theorem is referenced by:  rellycmp  21881
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