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Theorem cldllycmp 20587
 Description: A closed subspace of a locally compact space is also locally compact. (The analogous result for open subspaces follows from the more general nllyrest 20578.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldllycmp 𝑛Locally t 𝑛Locally

Proof of Theorem cldllycmp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 20565 . . 3 𝑛Locally
2 resttop 20253 . . 3 t
31, 2sylan 479 . 2 𝑛Locally t
4 elrest 15404 . . . 4 𝑛Locally t
5 simpll 768 . . . . . . . . . 10 𝑛Locally 𝑛Locally
6 simprl 772 . . . . . . . . . 10 𝑛Locally
7 inss1 3643 . . . . . . . . . . 11
8 simprr 774 . . . . . . . . . . 11 𝑛Locally
97, 8sseldi 3416 . . . . . . . . . 10 𝑛Locally
10 nlly2i 20568 . . . . . . . . . 10 𝑛Locally t
115, 6, 9, 10syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 𝑛Locally t
123ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t t
131ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
14 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
15 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
16 elrestr 15405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t
1713, 14, 15, 16syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t t
18 simprr1 1078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
19 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛Locally t
2119, 20sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
2218, 21elind 3609 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t
23 opnneip 20212 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t t
2412, 17, 22, 23syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t t
25 simprr2 1079 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t
26 ssrin 3648 . . . . . . . . . . . . . . 15
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t
28 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3029cldss 20121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3114, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
3229restuni 20255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t
3313, 31, 32syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t t
3428, 33syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t t
35 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t
3635ssnei2 20209 . . . . . . . . . . . . . 14 t t t t
3712, 24, 27, 34, 36syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛Locally t t
38 simprll 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
3938elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t
40 ssrin 3648 . . . . . . . . . . . . . . 15
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t
42 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4342inex1 4537 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443elpw 3948 . . . . . . . . . . . . . 14
4541, 44sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛Locally t
4637, 45elind 3609 . . . . . . . . . . . 12 𝑛Locally t t
4728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t
48 restabs 20258 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t t
4913, 47, 14, 48syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t t t t
50 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t
52 restabs 20258 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t t
5313, 51, 38, 52syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t t t t
5449, 53eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛Locally t t t t t
55 simprr3 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t t
56 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58 ineq1 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5958eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6059rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6114, 57, 60sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
62 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛Locally t
63 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛Locally t
6539, 64sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛Locally t
6629restcld 20265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t
6713, 65, 66syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t t
6861, 67mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t t
6956, 68syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t t
70 cmpcld 20494 . . . . . . . . . . . . . 14 t t t t
7155, 69, 70syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛Locally t t t
7254, 71eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12 𝑛Locally t t t
73 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14 t t t t
7473eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13 t t t t
7574rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12 t t t t t t
7646, 72, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 𝑛Locally t t t t
7776expr 626 . . . . . . . . . 10 𝑛Locally t t t t
7877rexlimdvva 2878 . . . . . . . . 9 𝑛Locally t t t t
7911, 78mpd 15 . . . . . . . 8 𝑛Locally t t t
8079anassrs 660 . . . . . . 7 𝑛Locally t t t
8180ralrimiva 2809 . . . . . 6 𝑛Locally t t t
82 pweq 3945 . . . . . . . . 9
8382ineq2d 3625 . . . . . . . 8 t t
8483rexeqdv 2980 . . . . . . 7 t t t t t t
8584raleqbi1dv 2981 . . . . . 6 t t t t t t
8681, 85syl5ibrcom 230 . . . . 5 𝑛Locally t t t
8786rexlimdva 2871 . . . 4 𝑛Locally t t t
884, 87sylbid 223 . . 3 𝑛Locally t t t t
8988ralrimiv 2808 . 2 𝑛Locally t t t t
90 isnlly 20561 . 2 t 𝑛Locally t t t t t
913, 89, 90sylanbrc 677 1 𝑛Locally t 𝑛Locally
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757   cin 3389   wss 3390  cpw 3942  csn 3959  cuni 4190  cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397  ctop 19994  ccld 20108  cnei 20190  ccmp 20478  𝑛Locally cnlly 20557 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-nei 20191  df-cmp 20479  df-nlly 20559 This theorem is referenced by:  rellycmp  22063
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