MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldcss Structured version   Unicode version

Theorem cldcss 21981
Description: Corollary of the Projection Theorem: A topologically closed subspace is algebraically closed in Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cldcss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cldcss.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
cldcss.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
cldcss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
cldcss  |-  ( W  e.  CHil  ->  ( U  e.  C  <->  ( U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )

Proof of Theorem cldcss
StepHypRef Expression
1 hlphl 21930 . . . 4  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. 
PreHil )
2 cldcss.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
3 cldcss.l . . . . 5  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
42, 3csslss 18848 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  U  e.  C )  ->  U  e.  L )
51, 4sylan 471 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  C )  ->  U  e.  L )
6 hlcph 21929 . . . 4  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e.  CPreHil )
7 cldcss.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
82, 7csscld 21814 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  U  e.  C )  ->  U  e.  ( Clsd `  J
) )
96, 8sylan 471 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  C )  ->  U  e.  ( Clsd `  J
) )
105, 9jca 532 . 2  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  C )  ->  ( U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) ) )
1113ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  W  e.  PreHil )
12 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( proj `  W )  =  (
proj `  W )
1312, 2pjcss 18873 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  dom  ( proj `  W )  C_  C
)
1411, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  dom  ( proj `  W )  C_  C )
157, 3, 12pjth2 21980 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  e.  dom  ( proj `  W
) )
1614, 15sseldd 3500 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  e.  C )
17163expb 1197 . 2  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  ( U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) ) )  ->  U  e.  C
)
1810, 17impbida 832 1  |-  ( W  e.  CHil  ->  ( U  e.  C  <->  ( U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    C_ wss 3471   dom cdm 5008   ` cfv 5594   Basecbs 14643   TopOpenctopn 14838   LSubSpclss 17704   PreHilcphl 18785   CSubSpccss 18818   projcpj 18857   Clsdccld 19643   CPreHilccph 21738   CHilchl 21898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-cntz 16481  df-lsm 16782  df-pj1 16783  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-cring 17327  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-dvr 17458  df-rnghom 17490  df-drng 17524  df-subrg 17553  df-staf 17620  df-srng 17621  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lmhm 17794  df-lvec 17875  df-sra 17944  df-rgmod 17945  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-phl 18787  df-ipf 18788  df-ocv 18820  df-css 18821  df-pj 18860  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-t1 19941  df-haus 19942  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-flim 20565  df-fcls 20567  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-nm 21228  df-ngp 21229  df-tng 21230  df-nlm 21232  df-cncf 21507  df-clm 21688  df-cph 21740  df-tch 21741  df-cfil 21819  df-cmet 21821  df-cms 21899  df-bn 21900  df-hl 21901
This theorem is referenced by:  cldcss2  21982
  Copyright terms: Public domain W3C validator