MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldcls Structured version   Unicode version

Theorem cldcls 18781
Description: A closed subset equals its own closure. (Contributed by NM, 15-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
cldcls  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =  S )

Proof of Theorem cldcls
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cldrcl 18765 . . 3  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2454 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
32cldss 18768 . . 3  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
42clsval 18776 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
51, 3, 4syl2anc 661 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J )  |  S  C_  x } )
6 intmin 4259 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  =  S
)
75, 6eqtrd 2495 1  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803    C_ wss 3439   U.cuni 4202   |^|cint 4239   ` cfv 5529   Topctop 18633   Clsdccld 18755   clsccl 18757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-top 18638  df-cld 18758  df-cls 18760
This theorem is referenced by:  iscld3  18803  clsss2  18811  cncls2  19012  lmcld  19042  fclscmp  19738  metnrmlem1a  20569  lebnumlem1  20668  cmetss  20960  minveclem4  21054  hauseqcn  26490
  Copyright terms: Public domain W3C validator