Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clatp0cl Structured version   Unicode version

Theorem clatp0cl 28124
Description: The poset zero of a complete lattice belongs to its base. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clatp0cl.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
clatp0cl.0  |-  .0.  =  ( 0. `  W )
Assertion
Ref Expression
clatp0cl  |-  ( W  e.  CLat  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem clatp0cl
StepHypRef Expression
1 clatp0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2404 . . 3  |-  ( glb `  W )  =  ( glb `  W )
3 clatp0cl.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0. `  W )
41, 2, 3p0val 15997 . 2  |-  ( W  e.  CLat  ->  .0.  =  ( ( glb `  W
) `  B )
)
5 ssid 3463 . . 3  |-  B  C_  B
61, 2clatglbcl 16070 . . 3  |-  ( ( W  e.  CLat  /\  B  C_  B )  ->  (
( glb `  W
) `  B )  e.  B )
75, 6mpan2 671 . 2  |-  ( W  e.  CLat  ->  ( ( glb `  W ) `
 B )  e.  B )
84, 7eqeltrd 2492 1  |-  ( W  e.  CLat  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844    C_ wss 3416   ` cfv 5571   Basecbs 14843   glbcglb 15898   0.cp0 15993   CLatccla 16063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-lub 15930  df-glb 15931  df-p0 15995  df-clat 16064
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator