Theorem clatp0cl 26276

Description: The poset zero of a complete lattice belongs to its base. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatp0cl.b	|- B = ( Base ` W )
clatp0cl.0	|- .0. = ( 0. ` W )

Assertion

Ref	Expression
clatp0cl	|- ( W e. CLat -> .0. e. B )

Proof of Theorem clatp0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatp0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` W )
2		eqid 2454	. . 3 |- ( glb ` W ) = ( glb ` W )
3		clatp0cl.0	. . 3 |- .0. = ( 0. ` W )
4	1, 2, 3	p0val 15329	. 2 |- ( W e. CLat -> .0. = ( ( glb ` W ) ` B ) )
5		ssid 3482	. . 3 |- B C_ B
6	1, 2	clatglbcl 15402	. . 3 |- ( ( W e. CLat /\ B C_ B ) -> ( ( glb ` W ) ` B ) e. B )
7	5, 6	mpan2 671	. 2 |- ( W e. CLat -> ( ( glb ` W ) ` B ) e. B )
8	4, 7	eqeltrd 2542	1 |- ( W e. CLat -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   C_ wss 3435   ` cfv 5525   Basecbs 14291   glbcglb 15231   0.cp0 15325   CLatccla 15395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-lub 15262  df-glb 15263  df-p0 15327  df-clat 15396

This theorem is referenced by: (None)