Theorem clatp0cl 28124

Description: The poset zero of a complete lattice belongs to its base. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatp0cl.b	|- B = ( Base ` W )
clatp0cl.0	|- .0. = ( 0. ` W )

Assertion

Ref	Expression
clatp0cl	|- ( W e. CLat -> .0. e. B )

Proof of Theorem clatp0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatp0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` W )
2		eqid 2404	. . 3 |- ( glb ` W ) = ( glb ` W )
3		clatp0cl.0	. . 3 |- .0. = ( 0. ` W )
4	1, 2, 3	p0val 15997	. 2 |- ( W e. CLat -> .0. = ( ( glb ` W ) ` B ) )
5		ssid 3463	. . 3 |- B C_ B
6	1, 2	clatglbcl 16070	. . 3 |- ( ( W e. CLat /\ B C_ B ) -> ( ( glb ` W ) ` B ) e. B )
7	5, 6	mpan2 671	. 2 |- ( W e. CLat -> ( ( glb ` W ) ` B ) e. B )
8	4, 7	eqeltrd 2492	1 |- ( W e. CLat -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1407   e. wcel 1844   C_ wss 3416   ` cfv 5571   Basecbs 14843   glbcglb 15898   0.cp0 15993   CLatccla 16063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-lub 15930  df-glb 15931  df-p0 15995  df-clat 16064

This theorem is referenced by: (None)