Theorem clatleglb 16903

Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound."

Hypotheses

Ref	Expression
clatglb.b	|- B = (base` K)
clatglb.l	|- L = (le` K)
clatglb.g	|- G = (glb` K)

Assertion

Ref	Expression
clatleglb	|- ((K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B) -> (XL(G` S) <-> A.y e. S XLy))

Distinct variable groups:   y,B   y,G   y,K   y,L   y,S   y,X

Proof of Theorem clatleglb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglb.b	. . . . . . 7 |- B = (base` K)
2		clatglb.l	. . . . . . 7 |- L = (le` K)
3		clatglb.g	. . . . . . 7 |- G = (glb` K)
4	1, 2, 3	clatglble 16902	. . . . . 6 |- ((K e. CLat /\ S C_ B /\ y e. S) -> (G` S)Ly)
5	4	3expa 1067	. . . . 5 |- (((K e. CLat /\ S C_ B) /\ y e. S) -> (G` S)Ly)
6	5	3adantl2 1033	. . . 4 |- (((K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B) /\ y e. S) -> (G` S)Ly)
7		simpl1 879	. . . . . 6 |- (((K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B) /\ y e. S) -> K e. CLat)
8		clatlat 16893	. . . . . 6 |- (K e. CLat -> K e. LatNEW)
9	7, 8	syl 12	. . . . 5 |- (((K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B) /\ y e. S) -> K e. LatNEW)
10		simpl2 880	. . . . 5 |- (((K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B) /\ y e. S) -> X e. B)
11	1, 3	clatglbcl 16891	. . . . . . 7 |- ((K e. CLat /\ S C_ B) -> (G` S) e. B)
12	11	3adant2 895	. . . . . 6 |- ((K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B) -> (G` S) e. B)
13	12	adantr 425	. . . . 5 |- (((K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B) /\ y e. S) -> (G` S) e. B)
14		ssel 2615	. . . . . . 7 |- (S C_ B -> (y e. S -> y e. B))
15	14	3ad2ant3 899	. . . . . 6 |- ((K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B) -> (y e. S -> y e. B))
16	15	imp 377	. . . . 5 |- (((K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B) /\ y e. S) -> y e. B)
17	1, 2	lattr 16858	. . . . 5 |- ((K e. LatNEW /\ (X e. B /\ (G` S) e. B /\ y e. B)) -> ((XL(G` S) /\ (G` S)Ly) -> XLy))
18	9, 10, 13, 16, 17	syl13anc 1102	. . . 4 |- (((K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B) /\ y e. S) -> ((XL(G` S) /\ (G` S)Ly) -> XLy))
19	6, 18	mpan2d 766	. . 3 |- (((K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B) /\ y e. S) -> (XL(G` S) -> XLy))
20	19	r19.21adva 2182	. 2 |- ((K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B) -> (XL(G` S) -> A.y e. S XLy))
21	1, 2, 3	clatglb 16901	. . . . . . 7 |- ((K e. CLat /\ S C_ B) -> (A.y e. S (G` S)Ly /\ A.z e. B (A.y e. S zLy -> zL(G` S))))
22	21	simprd 352	. . . . . 6 |- ((K e. CLat /\ S C_ B) -> A.z e. B (A.y e. S zLy -> zL(G` S)))
23		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- (z = X -> (zLy <-> XLy))
24	23	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (z = X -> (A.y e. S zLy <-> A.y e. S XLy))
25		breq1 3341	. . . . . . . 8 |- (z = X -> (zL(G` S) <-> XL(G` S)))
26	24, 25	imbi12d 688	. . . . . . 7 |- (z = X -> ((A.y e. S zLy -> zL(G` S)) <-> (A.y e. S XLy -> XL(G` S))))
27	26	rcla4cv 2377	. . . . . 6 |- (A.z e. B (A.y e. S zLy -> zL(G` S)) -> (X e. B -> (A.y e. S XLy -> XL(G` S))))
28	22, 27	syl 12	. . . . 5 |- ((K e. CLat /\ S C_ B) -> (X e. B -> (A.y e. S XLy -> XL(G` S))))
29	28	ex 402	. . . 4 |- (K e. CLat -> (S C_ B -> (X e. B -> (A.y e. S XLy -> XL(G` S)))))
30	29	com23 36	. . 3 |- (K e. CLat -> (X e. B -> (S C_ B -> (A.y e. S XLy -> XL(G` S)))))
31	30	3imp 1061	. 2 |- ((K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B) -> (A.y e. S XLy -> XL(G` S)))
32	20, 31	impbid 574	1 |- ((K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B) -> (XL(G` S) <-> A.y e. S XLy))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  lecple 16759  glbcglb 16765  LatNEWclat 16834  CLatccla 16835

This theorem is referenced by:  pmapglbx 17251

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-pge 16792  df-glb 16800  df-join 16801  df-meet 16802  df-lat 16847  df-clat 16848

Copyright terms: Public domain