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Theorem clatleglb 15311
Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
clatglb.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
clatglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
clatleglb  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( X  .<_  ( G `  S )  <->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
Distinct variable groups:    y, B    y, G    y, K    y,  .<_   
y, S    y, X

Proof of Theorem clatleglb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 clatglb.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 clatglb.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( glb `  K
)
41, 2, 3clatglble 15310 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  y )
543expa 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S
)  ->  ( G `  S )  .<_  y )
653adantl2 1145 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S
)  .<_  y )
7 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
8 clatl 15301 . . . . . 6  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
10 simpl2 992 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  X  e.  B )
111, 3clatglbcl 15299 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
12113adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S
)  e.  B )
14 ssel 3365 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  B  ->  (
y  e.  S  -> 
y  e.  B ) )
15143ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  (
y  e.  S  -> 
y  e.  B ) )
1615imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
171, 2lattr 15241 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  ( G `  S
)  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .<_  ( G `  S )  /\  ( G `  S )  .<_  y )  ->  X  .<_  y ) )
189, 10, 13, 16, 17syl13anc 1220 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( ( X  .<_  ( G `  S )  /\  ( G `  S )  .<_  y )  ->  X  .<_  y ) )
196, 18mpan2d 674 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( X  .<_  ( G `
 S )  ->  X  .<_  y ) )
2019ralrimdva 2821 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( X  .<_  ( G `  S )  ->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
211, 2, 3clatglb 15309 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( A. y  e.  S  ( G `  S ) 
.<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
2221simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) )
23 breq1 4310 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  y  <->  X  .<_  y ) )
2423ralbidv 2750 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
25 breq1 4310 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  ( G `  S )  <->  X  .<_  ( G `  S ) ) )
2624, 25imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  ( G `  S ) )  <->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S ) ) ) )
2726rspccv 3085 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S
) )  ->  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) )
2822, 27syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) )
2928ex 434 . . . 4  |-  ( K  e.  CLat  ->  ( S 
C_  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) ) )
3029com23 78 . . 3  |-  ( K  e.  CLat  ->  ( X  e.  B  ->  ( S  C_  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) ) )
31303imp 1181 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) )
3220, 31impbid 191 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( X  .<_  ( G `  S )  <->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2730    C_ wss 3343   class class class wbr 4307   ` cfv 5433   Basecbs 14189   lecple 14260   glbcglb 15128   Latclat 15230   CLatccla 15292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-oprab 6110  df-poset 15131  df-lub 15159  df-glb 15160  df-join 15161  df-meet 15162  df-lat 15231  df-clat 15293
This theorem is referenced by:  clatglbss  15312  pmapglbx  33432  diaglbN  34719  dihglblem2N  34958  dihglbcpreN  34964  dihglblem6  35004  dochvalr  35021
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