Theorem clatlat 16893

Description: A complete lattice is a lattice.

Assertion

Ref	Expression
clatlat	|- (K e. CLat -> K e. LatNEW)

Proof of Theorem clatlat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfpair 3522	. . . . . . . . . 10 |- {x, y} e. _V
2		sseq1 2637	. . . . . . . . . . 11 |- (s = {x, y} -> (s C_ (base` K) <-> {x, y} C_ (base` K)))
3		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- (s = {x, y} -> ((lub` K)` s) = ((lub` K)` {x, y}))
4	3	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . 12 |- (s = {x, y} -> (((lub` K)` s) e. (base` K) <-> ((lub` K)` {x, y}) e. (base` K)))
5		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- (s = {x, y} -> ((glb` K)` s) = ((glb` K)` {x, y}))
6	5	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . 12 |- (s = {x, y} -> (((glb` K)` s) e. (base` K) <-> ((glb` K)` {x, y}) e. (base` K)))
7	4, 6	anbi12d 690	. . . . . . . . . . 11 |- (s = {x, y} -> ((((lub` K)` s) e. (base` K) /\ ((glb` K)` s) e. (base` K)) <-> (((lub` K)` {x, y}) e. (base` K) /\ ((glb` K)` {x, y}) e. (base` K))))
8	2, 7	imbi12d 688	. . . . . . . . . 10 |- (s = {x, y} -> ((s C_ (base` K) -> (((lub` K)` s) e. (base` K) /\ ((glb` K)` s) e. (base` K))) <-> ({x, y} C_ (base` K) -> (((lub` K)` {x, y}) e. (base` K) /\ ((glb` K)` {x, y}) e. (base` K)))))
9	1, 8	cla4v 2370	. . . . . . . . 9 |- (A.s(s C_ (base` K) -> (((lub` K)` s) e. (base` K) /\ ((glb` K)` s) e. (base` K))) -> ({x, y} C_ (base` K) -> (((lub` K)` {x, y}) e. (base` K) /\ ((glb` K)` {x, y}) e. (base` K))))
10	9	imp 377	. . . . . . . 8 |- ((A.s(s C_ (base` K) -> (((lub` K)` s) e. (base` K) /\ ((glb` K)` s) e. (base` K))) /\ {x, y} C_ (base` K)) -> (((lub` K)` {x, y}) e. (base` K) /\ ((glb` K)` {x, y}) e. (base` K)))
11		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
12		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
13	11, 12	prss 3138	. . . . . . . 8 |- ((x e. (base` K) /\ y e. (base` K)) <-> {x, y} C_ (base` K))
14	10, 13	sylan2b 501	. . . . . . 7 |- ((A.s(s C_ (base` K) -> (((lub` K)` s) e. (base` K) /\ ((glb` K)` s) e. (base` K))) /\ (x e. (base` K) /\ y e. (base` K))) -> (((lub` K)` {x, y}) e. (base` K) /\ ((glb` K)` {x, y}) e. (base` K)))
15	14	3adant1 894	. . . . . 6 |- ((K e. PosetNEW /\ A.s(s C_ (base` K) -> (((lub` K)` s) e. (base` K) /\ ((glb` K)` s) e. (base` K))) /\ (x e. (base` K) /\ y e. (base` K))) -> (((lub` K)` {x, y}) e. (base` K) /\ ((glb` K)` {x, y}) e. (base` K)))
16		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- (base` K) = (base` K)
17		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- (lub` K) = (lub` K)
18		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- (join` K) = (join` K)
19	16, 17, 18	joinval 16815	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. PosetNEW /\ x e. (base` K) /\ y e. (base` K)) -> (x(join` K)y) = ((lub` K)` {x, y}))
20	19	eleq1d 1963	. . . . . . . . 9 |- ((K e. PosetNEW /\ x e. (base` K) /\ y e. (base` K)) -> ((x(join` K)y) e. (base` K) <-> ((lub` K)` {x, y}) e. (base` K)))
21		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- (glb` K) = (glb` K)
22		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- (meet` K) = (meet` K)
23	16, 21, 22	meetval 16822	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. PosetNEW /\ x e. (base` K) /\ y e. (base` K)) -> (x(meet` K)y) = ((glb` K)` {x, y}))
24	23	eleq1d 1963	. . . . . . . . 9 |- ((K e. PosetNEW /\ x e. (base` K) /\ y e. (base` K)) -> ((x(meet` K)y) e. (base` K) <-> ((glb` K)` {x, y}) e. (base` K)))
25	20, 24	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- ((K e. PosetNEW /\ x e. (base` K) /\ y e. (base` K)) -> (((x(join` K)y) e. (base` K) /\ (x(meet` K)y) e. (base` K)) <-> (((lub` K)` {x, y}) e. (base` K) /\ ((glb` K)` {x, y}) e. (base` K))))
26	25	3expb 1068	. . . . . . 7 |- ((K e. PosetNEW /\ (x e. (base` K) /\ y e. (base` K))) -> (((x(join` K)y) e. (base` K) /\ (x(meet` K)y) e. (base` K)) <-> (((lub` K)` {x, y}) e. (base` K) /\ ((glb` K)` {x, y}) e. (base` K))))
27	26	3adant2 895	. . . . . 6 |- ((K e. PosetNEW /\ A.s(s C_ (base` K) -> (((lub` K)` s) e. (base` K) /\ ((glb` K)` s) e. (base` K))) /\ (x e. (base` K) /\ y e. (base` K))) -> (((x(join` K)y) e. (base` K) /\ (x(meet` K)y) e. (base` K)) <-> (((lub` K)` {x, y}) e. (base` K) /\ ((glb` K)` {x, y}) e. (base` K))))
28	15, 27	mpbird 213	. . . . 5 |- ((K e. PosetNEW /\ A.s(s C_ (base` K) -> (((lub` K)` s) e. (base` K) /\ ((glb` K)` s) e. (base` K))) /\ (x e. (base` K) /\ y e. (base` K))) -> ((x(join` K)y) e. (base` K) /\ (x(meet` K)y) e. (base` K)))
29	28	3exp 1066	. . . 4 |- (K e. PosetNEW -> (A.s(s C_ (base` K) -> (((lub` K)` s) e. (base` K) /\ ((glb` K)` s) e. (base` K))) -> ((x e. (base` K) /\ y e. (base` K)) -> ((x(join` K)y) e. (base` K) /\ (x(meet` K)y) e. (base` K)))))
30	29	r19.21advv 2184	. . 3 |- (K e. PosetNEW -> (A.s(s C_ (base` K) -> (((lub` K)` s) e. (base` K) /\ ((glb` K)` s) e. (base` K))) -> A.x e. (base` K)A.y e. (base` K)((x(join` K)y) e. (base` K) /\ (x(meet` K)y) e. (base` K))))
31	30	imdistani 491	. 2 |- ((K e. PosetNEW /\ A.s(s C_ (base` K) -> (((lub` K)` s) e. (base` K) /\ ((glb` K)` s) e. (base` K)))) -> (K e. PosetNEW /\ A.x e. (base` K)A.y e. (base` K)((x(join` K)y) e. (base` K) /\ (x(meet` K)y) e. (base` K))))
32	16, 17, 21	isclat 16888	. 2 |- (K e. CLat <-> (K e. PosetNEW /\ A.s(s C_ (base` K) -> (((lub` K)` s) e. (base` K) /\ ((glb` K)` s) e. (base` K)))))
33	16, 18, 22	islat 16849	. 2 |- (K e. LatNEW <-> (K e. PosetNEW /\ A.x e. (base` K)A.y e. (base` K)((x(join` K)y) e. (base` K) /\ (x(meet` K)y) e. (base` K))))
34	31, 32, 33	3imtr4i 236	1 |- (K e. CLat -> K e. LatNEW)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  {cpr 3045  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  PosetNEWcpo 16760  lubclub 16764  glbcglb 16765  joincjn 16766  meetcmee 16767  LatNEWclat 16834  CLatccla 16835

This theorem is referenced by:  lubel 16898  lubun 16899  lubunNEW 16900  clatleglb 16903

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-join 16801  df-meet 16802  df-lat 16847  df-clat 16848

Copyright terms: Public domain