Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatl Structured version   Unicode version

Theorem clatl 15620
 Description: A complete lattice is a lattice. (Contributed by NM, 18-Sep-2011.) TODO: use eqrelrdv2 5108 to shorten proof and eliminate joindmss 15511 and meetdmss 15525?
Assertion
Ref Expression
clatl

Proof of Theorem clatl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . . 7
2 eqid 2467 . . . . . . 7
3 simpl 457 . . . . . . 7
41, 2, 3joindmss 15511 . . . . . 6
5 relxp 5116 . . . . . . . 8
65a1i 11 . . . . . . 7
7 opelxp 5035 . . . . . . . . . . . 12
8 vex 3121 . . . . . . . . . . . . 13
9 vex 3121 . . . . . . . . . . . . 13
108, 9prss 4187 . . . . . . . . . . . 12
117, 10sylbb 197 . . . . . . . . . . 11
12 prex 4695 . . . . . . . . . . . 12
1312elpw 4022 . . . . . . . . . . 11
1411, 13sylibr 212 . . . . . . . . . 10
15 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10
1614, 15syl5ibr 221 . . . . . . . . 9
1716adantl 466 . . . . . . . 8
18 eqid 2467 . . . . . . . . 9
198a1i 11 . . . . . . . . 9
209a1i 11 . . . . . . . . 9
2118, 2, 3, 19, 20joindef 15508 . . . . . . . 8
2217, 21sylibrd 234 . . . . . . 7
236, 22relssdv 5101 . . . . . 6
244, 23eqssd 3526 . . . . 5
2524ex 434 . . . 4
26 eqid 2467 . . . . . . 7
27 simpl 457 . . . . . . 7
281, 26, 27meetdmss 15525 . . . . . 6
295a1i 11 . . . . . . 7
30 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10
3114, 30syl5ibr 221 . . . . . . . . 9
3231adantl 466 . . . . . . . 8
33 eqid 2467 . . . . . . . . 9
348a1i 11 . . . . . . . . 9
359a1i 11 . . . . . . . . 9
3633, 26, 27, 34, 35meetdef 15522 . . . . . . . 8
3732, 36sylibrd 234 . . . . . . 7
3829, 37relssdv 5101 . . . . . 6
3928, 38eqssd 3526 . . . . 5
4039ex 434 . . . 4
4125, 40anim12d 563 . . 3
4241imdistani 690 . 2
431, 18, 33isclat 15613 . 2
441, 2, 26islat 15551 . 2
4542, 43, 443imtr4i 266 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3118   wss 3481  cpw 4016  cpr 4035  cop 4039   cxp 5003   cdm 5005   wrel 5010  cfv 5594  cbs 14507  cpo 15444  club 15446  cglb 15447  cjn 15448  cmee 15449  clat 15549  ccla 15611 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-oprab 6299  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-lat 15550  df-clat 15612 This theorem is referenced by:  lubel  15626  lubun  15627  clatleglb  15630
 Copyright terms: Public domain W3C validator