MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglble Structured version   Unicode version

Theorem clatglble 15872
Description: The greatest lower bound is the least element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
clatglb.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
clatglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
clatglble  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  X  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  X )

Proof of Theorem clatglble
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 clatglb.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 clatglb.g . 2  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 simp1 994 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  X  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
51, 3clatglbcl2 15862 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  S  e.  dom  G )
653adant3 1014 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  X  e.  S )  ->  S  e.  dom  G )
7 simp3 996 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  S )
81, 2, 3, 4, 6, 7glble 15747 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  X  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    C_ wss 3389   class class class wbr 4367   dom cdm 4913   ` cfv 5496   Basecbs 14634   lecple 14709   glbcglb 15689   CLatccla 15854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-glb 15722  df-clat 15855
This theorem is referenced by:  clatleglb  15873  clatglbss  15874  diaglbN  37195  diaintclN  37198  dibglbN  37306  dibintclN  37307  dihglblem2N  37434  dihglblem4  37437  dihglbcpreN  37440  dochvalr  37497
  Copyright terms: Public domain W3C validator