MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglbcl Structured version   Unicode version

Theorem clatglbcl 16311
Description: Any subset of the base set has a GLB in a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglbcl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
clatglbcl.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
clatglbcl  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )

Proof of Theorem clatglbcl
StepHypRef Expression
1 clatglbcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2429 . . 3  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 clatglbcl.g . . 3  |-  G  =  ( glb `  K
)
41, 2, 3clatlem 16308 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  (
( ( lub `  K
) `  S )  e.  B  /\  ( G `  S )  e.  B ) )
54simprd 464 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    C_ wss 3442   ` cfv 5601   Basecbs 15084   lubclub 16138   glbcglb 16139   CLatccla 16304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-lub 16171  df-glb 16172  df-clat 16305
This theorem is referenced by:  clatleglb  16323  clatglbss  16324  clatp0cl  28270  glbconN  32651  pmapglbx  33043  diaglbN  34332  diaintclN  34335  dibglbN  34443  dibintclN  34444  dihglblem2N  34571  dihglblem3N  34572  dihglblem4  34574  dihglbcpreN  34577  dihglblem6  34617  dihintcl  34621  dochval2  34629  dochcl  34630  dochvalr  34634  dochss  34642
  Copyright terms: Public domain W3C validator