Theorem cjvalt 6764

Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132.

Assertion

Ref	Expression
cjvalt	|- (A e. CC -> (*` A) = ((Re` A) - (i x. (Im` A))))

Proof of Theorem cjvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3730	. . 3 |- (x = A -> (Re` x) = (Re` A))
2		fveq2 3730	. . . 4 |- (x = A -> (Im` x) = (Im` A))
3	2	opreq2d 3982	. . 3 |- (x = A -> (i x. (Im` x)) = (i x. (Im` A)))
4	1, 3	opreq12d 3984	. 2 |- (x = A -> ((Re` x) - (i x. (Im` x))) = ((Re` A) - (i x. (Im` A))))
5		df-cj 6754	. 2 |- * = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = ((Re` x) - (i x. (Im` x))))}
6		oprex 3989	. 2 |- ((Re` A) - (i x. (Im` A))) e. V
7	4, 5, 6	fvopab4 3786	1 |- (A e. CC -> (*` A) = ((Re` A) - (i x. (Im` A))))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  ici 5248   x. cmul 5251   - cmin 5304  Recre 6748  Imcim 6749  *ccj 6750

This theorem is referenced by:  cjclt 6765  cjcj 6778  cjreb 6781  recj 6782  imcj 6783  cjadd 6788  cjmul 6789  cjneg 6797  addcj 6798  recjt 6818  imcjt 6819  cji 6827  cj11t 6830  cjcncf 7278

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-opr 3971  df-cj 6754

Copyright terms: Public domain