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Theorem cju 9952
Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cju  |-  ( A  e.  CC  ->  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem cju
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 9043 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A  =  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) )
2 recn 9036 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
3 ax-icn 9005 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
4 recn 9036 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
5 mulcl 9030 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( _i  x.  z
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR  ->  (
_i  x.  z )  e.  CC )
7 subcl 9261 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( _i  x.  z
)  e.  CC )  ->  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  e.  CC )
82, 6, 7syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  -  (
_i  x.  z )
)  e.  CC )
92adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
106adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  z
)  e.  CC )
119, 10, 9ppncand 9407 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  +  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( y  +  y ) )
12 readdcl 9029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  +  y )  e.  RR )
1312anidms 627 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  y )  e.  RR )
1413adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  +  y )  e.  RR )
1511, 14eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  +  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) )  e.  RR )
169, 10, 10pnncand 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( ( _i  x.  z )  +  ( _i  x.  z ) ) )
173a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  _i  e.  CC )
184adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  CC )
1917, 18, 18adddid 9068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
z  +  z ) )  =  ( ( _i  x.  z )  +  ( _i  x.  z ) ) )
2016, 19eqtr4d 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) )
2120oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) ) )
2218, 18addcld 9063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  +  z )  e.  CC )
23 mulass 9034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
z  +  z )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) ) )
243, 3, 23mp3an12 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  +  z )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( z  +  z ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
z  +  z ) ) ) )
2522, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) ) )
2621, 25eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( z  +  z ) ) )
27 ixi 9607 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
28 1re 9046 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
2928renegcli 9318 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  RR
3027, 29eqeltri 2474 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
31 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
3231, 31readdcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  +  z )  e.  RR )
33 remulcl 9031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  _i )  e.  RR  /\  (
z  +  z )  e.  RR )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  e.  RR )
3430, 32, 33sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  e.  RR )
3526, 34eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR )
36 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  (
_i  x.  z )
) ) )
3736eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  +  x
)  e.  RR  <->  ( (
y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  ( _i  x.  z
) ) )  e.  RR ) )
38 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  (
_i  x.  z )
) ) )
3938oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
_i  x.  ( (
y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  =  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) ) ) )
4039eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR ) )
4137, 40anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR )  <-> 
( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  (
_i  x.  z )
) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR ) ) )
4241rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  -  (
_i  x.  z )
)  e.  CC  /\  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  (
_i  x.  z )
) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR ) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) )
438, 15, 35, 42syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  E. x  e.  CC  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) )
44 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  ( A  +  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x ) )
4544eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( A  +  x
)  e.  RR  <->  ( (
y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR ) )
46 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  ( A  -  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )
4746oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  =  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) ) )
4847eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  x
) )  e.  RR ) )
4945, 48anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) ) )
5049rexbidv 2687 . . . . 5  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  ( E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <->  E. x  e.  CC  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) ) )
5143, 50syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z ) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) ) )
5251rexlimivv 2795 . . 3  |-  ( E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )
531, 52syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )
54 an4 798 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  <->  ( (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( A  +  y
)  e.  RR )  /\  ( ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) ) )
55 resubcl 9321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( A  +  y
)  e.  RR )  ->  ( ( A  +  x )  -  ( A  +  y
) )  e.  RR )
56 pnpcan 9296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( A  +  x
)  -  ( A  +  y ) )  =  ( x  -  y ) )
57563expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( ( A  +  x )  -  ( A  +  y ) )  =  ( x  -  y
) )
5857eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( A  +  x
)  -  ( A  +  y ) )  e.  RR  <->  ( x  -  y )  e.  RR ) )
5955, 58syl5ib 211 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( A  +  y
)  e.  RR )  ->  ( x  -  y )  e.  RR ) )
60 resubcl 9321 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  ( A  -  y ) )  -  ( _i  x.  ( A  -  x )
) )  e.  RR )
6160ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  ( A  -  y ) )  -  ( _i  x.  ( A  -  x )
) )  e.  RR )
623a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  _i  e.  CC )
63 subcl 9261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  -  y
)  e.  CC )
6463adantrl 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( A  -  y )  e.  CC )
65 subcl 9261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( A  -  x
)  e.  CC )
6665adantrr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( A  -  x )  e.  CC )
6762, 64, 66subdid 9445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( _i  x.  ( ( A  -  y )  -  ( A  -  x )
) )  =  ( ( _i  x.  ( A  -  y )
)  -  ( _i  x.  ( A  -  x ) ) ) )
68 nnncan1 9293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( A  -  y
)  -  ( A  -  x ) )  =  ( x  -  y ) )
69683com23 1159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( A  -  y
)  -  ( A  -  x ) )  =  ( x  -  y ) )
70693expb 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( ( A  -  y )  -  ( A  -  x ) )  =  ( x  -  y
) )
7170oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( _i  x.  ( ( A  -  y )  -  ( A  -  x )
) )  =  ( _i  x.  ( x  -  y ) ) )
7267, 71eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
_i  x.  ( A  -  y ) )  -  ( _i  x.  ( A  -  x
) ) )  =  ( _i  x.  (
x  -  y ) ) )
7372eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( _i  x.  ( A  -  y )
)  -  ( _i  x.  ( A  -  x ) ) )  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  RR ) )
7461, 73syl5ib 211 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  RR ) )
7559, 74anim12d 547 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( A  +  y )  e.  RR )  /\  ( ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( x  -  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR ) ) )
76 rimul 9947 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR )  ->  ( x  -  y )  =  0 )
7776a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( x  -  y
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR )  ->  ( x  -  y )  =  0 ) )
78 subeq0 9283 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x  -  y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
7978biimpd 199 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x  -  y )  =  0  ->  x  =  y ) )
8079adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
x  -  y )  =  0  ->  x  =  y ) )
8175, 77, 803syld 53 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( A  +  y )  e.  RR )  /\  ( ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
)
8254, 81syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
)
8382ralrimivva 2758 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( ( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
)
84 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +  x )  =  ( A  +  y ) )
8584eleq1d 2470 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +  x
)  e.  RR  <->  ( A  +  y )  e.  RR ) )
86 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  -  x )  =  ( A  -  y ) )
8786oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  =  ( _i  x.  ( A  -  y )
) )
8887eleq1d 2470 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( A  -  y
) )  e.  RR ) )
8985, 88anbi12d 692 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR ) ) )
9089reu4 3088 . 2  |-  ( E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( ( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
) )
9153, 83, 90sylanbrc 646 1  |-  ( A  e.  CC  ->  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   E!wreu 2668  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   -ucneg 9248
This theorem is referenced by:  cjth  11863  cjf  11864  remim  11877
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634
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