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Theorem cju 10323
Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cju  |-  ( A  e.  CC  ->  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem cju
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 9387 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A  =  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) )
2 recn 9377 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
3 ax-icn 9346 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
4 recn 9377 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
5 mulcl 9371 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( _i  x.  z
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR  ->  (
_i  x.  z )  e.  CC )
7 subcl 9614 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( _i  x.  z
)  e.  CC )  ->  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  e.  CC )
82, 6, 7syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  -  (
_i  x.  z )
)  e.  CC )
92adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
106adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  z
)  e.  CC )
119, 10, 9ppncand 9764 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  +  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( y  +  y ) )
12 readdcl 9370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  +  y )  e.  RR )
1312anidms 645 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  y )  e.  RR )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  +  y )  e.  RR )
1511, 14eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  +  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) )  e.  RR )
169, 10, 10pnncand 9763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( ( _i  x.  z )  +  ( _i  x.  z ) ) )
173a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  _i  e.  CC )
184adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  CC )
1917, 18, 18adddid 9415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
z  +  z ) )  =  ( ( _i  x.  z )  +  ( _i  x.  z ) ) )
2016, 19eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) )
2120oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) ) )
2218, 18addcld 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  +  z )  e.  CC )
23 mulass 9375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
z  +  z )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) ) )
243, 3, 23mp3an12 1304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  +  z )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( z  +  z ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
z  +  z ) ) ) )
2522, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) ) )
2621, 25eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( z  +  z ) ) )
27 ixi 9970 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
28 1re 9390 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
2928renegcli 9675 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  RR
3027, 29eqeltri 2513 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
31 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
3231, 31readdcld 9418 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  +  z )  e.  RR )
33 remulcl 9372 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  _i )  e.  RR  /\  (
z  +  z )  e.  RR )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  e.  RR )
3430, 32, 33sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  e.  RR )
3526, 34eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR )
36 oveq2 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  (
_i  x.  z )
) ) )
3736eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  +  x
)  e.  RR  <->  ( (
y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  ( _i  x.  z
) ) )  e.  RR ) )
38 oveq2 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  (
_i  x.  z )
) ) )
3938oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
_i  x.  ( (
y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  =  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) ) ) )
4039eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR ) )
4137, 40anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR )  <-> 
( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  (
_i  x.  z )
) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR ) ) )
4241rspcev 3078 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  -  (
_i  x.  z )
)  e.  CC  /\  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  (
_i  x.  z )
) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR ) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) )
438, 15, 35, 42syl12anc 1216 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  E. x  e.  CC  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) )
44 oveq1 6103 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  ( A  +  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x ) )
4544eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( A  +  x
)  e.  RR  <->  ( (
y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR ) )
46 oveq1 6103 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  ( A  -  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )
4746oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  =  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) ) )
4847eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  x
) )  e.  RR ) )
4945, 48anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) ) )
5049rexbidv 2741 . . . . 5  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  ( E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <->  E. x  e.  CC  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) ) )
5143, 50syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z ) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) ) )
5251rexlimivv 2851 . . 3  |-  ( E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )
531, 52syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )
54 an4 820 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  <->  ( (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( A  +  y
)  e.  RR )  /\  ( ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) ) )
55 resubcl 9678 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( A  +  y
)  e.  RR )  ->  ( ( A  +  x )  -  ( A  +  y
) )  e.  RR )
56 pnpcan 9653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( A  +  x
)  -  ( A  +  y ) )  =  ( x  -  y ) )
57563expb 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( ( A  +  x )  -  ( A  +  y ) )  =  ( x  -  y
) )
5857eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( A  +  x
)  -  ( A  +  y ) )  e.  RR  <->  ( x  -  y )  e.  RR ) )
5955, 58syl5ib 219 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( A  +  y
)  e.  RR )  ->  ( x  -  y )  e.  RR ) )
60 resubcl 9678 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  ( A  -  y ) )  -  ( _i  x.  ( A  -  x )
) )  e.  RR )
6160ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  ( A  -  y ) )  -  ( _i  x.  ( A  -  x )
) )  e.  RR )
623a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  _i  e.  CC )
63 subcl 9614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  -  y
)  e.  CC )
6463adantrl 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( A  -  y )  e.  CC )
65 subcl 9614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( A  -  x
)  e.  CC )
6665adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( A  -  x )  e.  CC )
6762, 64, 66subdid 9805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( _i  x.  ( ( A  -  y )  -  ( A  -  x )
) )  =  ( ( _i  x.  ( A  -  y )
)  -  ( _i  x.  ( A  -  x ) ) ) )
68 nnncan1 9650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( A  -  y
)  -  ( A  -  x ) )  =  ( x  -  y ) )
69683com23 1193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( A  -  y
)  -  ( A  -  x ) )  =  ( x  -  y ) )
70693expb 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( ( A  -  y )  -  ( A  -  x ) )  =  ( x  -  y
) )
7170oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( _i  x.  ( ( A  -  y )  -  ( A  -  x )
) )  =  ( _i  x.  ( x  -  y ) ) )
7267, 71eqtr3d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
_i  x.  ( A  -  y ) )  -  ( _i  x.  ( A  -  x
) ) )  =  ( _i  x.  (
x  -  y ) ) )
7372eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( _i  x.  ( A  -  y )
)  -  ( _i  x.  ( A  -  x ) ) )  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  RR ) )
7461, 73syl5ib 219 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  RR ) )
7559, 74anim12d 563 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( A  +  y )  e.  RR )  /\  ( ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( x  -  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR ) ) )
76 rimul 10318 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR )  ->  ( x  -  y )  =  0 )
7776a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( x  -  y
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR )  ->  ( x  -  y )  =  0 ) )
78 subeq0 9640 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x  -  y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
7978biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x  -  y )  =  0  ->  x  =  y ) )
8079adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
x  -  y )  =  0  ->  x  =  y ) )
8175, 77, 803syld 55 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( A  +  y )  e.  RR )  /\  ( ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
)
8254, 81syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
)
8382ralrimivva 2813 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( ( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
)
84 oveq2 6104 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +  x )  =  ( A  +  y ) )
8584eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +  x
)  e.  RR  <->  ( A  +  y )  e.  RR ) )
86 oveq2 6104 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  -  x )  =  ( A  -  y ) )
8786oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  =  ( _i  x.  ( A  -  y )
) )
8887eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( A  -  y
) )  e.  RR ) )
8985, 88anbi12d 710 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR ) ) )
9089reu4 3158 . 2  |-  ( E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( ( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
) )
9153, 83, 90sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  CC  ->  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   E!wreu 2722  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288   _ici 9289    + caddc 9290    x. cmul 9292    - cmin 9600   -ucneg 9601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999
This theorem is referenced by:  cjth  12597  cjf  12598  remim  12611
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