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Theorem cju 10528
Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cju  |-  ( A  e.  CC  ->  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem cju
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 9588 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A  =  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) )
2 recn 9578 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
3 ax-icn 9547 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
4 recn 9578 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
5 mulcl 9572 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( _i  x.  z
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR  ->  (
_i  x.  z )  e.  CC )
7 subcl 9815 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( _i  x.  z
)  e.  CC )  ->  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  e.  CC )
82, 6, 7syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  -  (
_i  x.  z )
)  e.  CC )
92adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
106adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  z
)  e.  CC )
119, 10, 9ppncand 9966 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  +  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( y  +  y ) )
12 readdcl 9571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  +  y )  e.  RR )
1312anidms 645 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  y )  e.  RR )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  +  y )  e.  RR )
1511, 14eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  +  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) )  e.  RR )
169, 10, 10pnncand 9965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( ( _i  x.  z )  +  ( _i  x.  z ) ) )
173a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  _i  e.  CC )
184adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  CC )
1917, 18, 18adddid 9616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
z  +  z ) )  =  ( ( _i  x.  z )  +  ( _i  x.  z ) ) )
2016, 19eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) )
2120oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) ) )
2218, 18addcld 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  +  z )  e.  CC )
23 mulass 9576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
z  +  z )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) ) )
243, 3, 23mp3an12 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  +  z )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( z  +  z ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
z  +  z ) ) ) )
2522, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( z  +  z ) ) ) )
2621, 25eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( z  +  z ) ) )
27 ixi 10174 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
28 1re 9591 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
2928renegcli 9876 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  RR
3027, 29eqeltri 2551 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
31 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
3231, 31readdcld 9619 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  +  z )  e.  RR )
33 remulcl 9573 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  _i )  e.  RR  /\  (
z  +  z )  e.  RR )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  e.  RR )
3430, 32, 33sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
z  +  z ) )  e.  RR )
3526, 34eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR )
36 oveq2 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  (
_i  x.  z )
) ) )
3736eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  +  x
)  e.  RR  <->  ( (
y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  ( _i  x.  z
) ) )  e.  RR ) )
38 oveq2 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  (
_i  x.  z )
) ) )
3938oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
_i  x.  ( (
y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  =  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) ) ) )
4039eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  (
y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR ) )
4137, 40anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  -  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR )  <-> 
( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  (
_i  x.  z )
) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR ) ) )
4241rspcev 3214 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  -  (
_i  x.  z )
)  e.  CC  /\  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  ( y  -  (
_i  x.  z )
) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  ( y  -  ( _i  x.  z ) ) ) )  e.  RR ) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) )
438, 15, 35, 42syl12anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  E. x  e.  CC  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) )
44 oveq1 6289 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  ( A  +  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x ) )
4544eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( A  +  x
)  e.  RR  <->  ( (
y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR ) )
46 oveq1 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  ( A  -  x )  =  ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )
4746oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  =  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) ) )
4847eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( ( y  +  ( _i  x.  z
) )  -  x
) )  e.  RR ) )
4945, 48anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) ) )
5049rexbidv 2973 . . . . 5  |-  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  ( E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <->  E. x  e.  CC  ( ( ( y  +  ( _i  x.  z ) )  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
( y  +  ( _i  x.  z ) )  -  x ) )  e.  RR ) ) )
5143, 50syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A  =  ( y  +  ( _i  x.  z ) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) ) )
5251rexlimivv 2960 . . 3  |-  ( E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A  =  ( y  +  ( _i  x.  z
) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )
531, 52syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )
54 an4 822 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  <->  ( (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( A  +  y
)  e.  RR )  /\  ( ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) ) )
55 resubcl 9879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( A  +  y
)  e.  RR )  ->  ( ( A  +  x )  -  ( A  +  y
) )  e.  RR )
56 pnpcan 9854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( A  +  x
)  -  ( A  +  y ) )  =  ( x  -  y ) )
57563expb 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( ( A  +  x )  -  ( A  +  y ) )  =  ( x  -  y
) )
5857eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( A  +  x
)  -  ( A  +  y ) )  e.  RR  <->  ( x  -  y )  e.  RR ) )
5955, 58syl5ib 219 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( A  +  y
)  e.  RR )  ->  ( x  -  y )  e.  RR ) )
60 resubcl 9879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  ( A  -  y ) )  -  ( _i  x.  ( A  -  x )
) )  e.  RR )
6160ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  ( A  -  y ) )  -  ( _i  x.  ( A  -  x )
) )  e.  RR )
623a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  _i  e.  CC )
63 subcl 9815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  -  y
)  e.  CC )
6463adantrl 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( A  -  y )  e.  CC )
65 subcl 9815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( A  -  x
)  e.  CC )
6665adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( A  -  x )  e.  CC )
6762, 64, 66subdid 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( _i  x.  ( ( A  -  y )  -  ( A  -  x )
) )  =  ( ( _i  x.  ( A  -  y )
)  -  ( _i  x.  ( A  -  x ) ) ) )
68 nnncan1 9851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( A  -  y
)  -  ( A  -  x ) )  =  ( x  -  y ) )
69683com23 1202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( A  -  y
)  -  ( A  -  x ) )  =  ( x  -  y ) )
70693expb 1197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( ( A  -  y )  -  ( A  -  x ) )  =  ( x  -  y
) )
7170oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( _i  x.  ( ( A  -  y )  -  ( A  -  x )
) )  =  ( _i  x.  ( x  -  y ) ) )
7267, 71eqtr3d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
_i  x.  ( A  -  y ) )  -  ( _i  x.  ( A  -  x
) ) )  =  ( _i  x.  (
x  -  y ) ) )
7372eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( _i  x.  ( A  -  y )
)  -  ( _i  x.  ( A  -  x ) ) )  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  RR ) )
7461, 73syl5ib 219 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  RR ) )
7559, 74anim12d 563 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( A  +  y )  e.  RR )  /\  ( ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( x  -  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR ) ) )
76 rimul 10523 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR )  ->  ( x  -  y )  =  0 )
7776a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( x  -  y
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  (
x  -  y ) )  e.  RR )  ->  ( x  -  y )  =  0 ) )
78 subeq0 9841 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x  -  y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
7978biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( x  -  y )  =  0  ->  x  =  y ) )
8079adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
x  -  y )  =  0  ->  x  =  y ) )
8175, 77, 803syld 55 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( A  +  y )  e.  RR )  /\  ( ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
)
8254, 81syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
)
8382ralrimivva 2885 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( ( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
)
84 oveq2 6290 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +  x )  =  ( A  +  y ) )
8584eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +  x
)  e.  RR  <->  ( A  +  y )  e.  RR ) )
86 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  -  x )  =  ( A  -  y ) )
8786oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  =  ( _i  x.  ( A  -  y )
) )
8887eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( A  -  y
) )  e.  RR ) )
8985, 88anbi12d 710 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y )
)  e.  RR ) ) )
9089reu4 3297 . 2  |-  ( E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( E. x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( ( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  /\  ( ( A  +  y )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  y ) )  e.  RR ) )  ->  x  =  y )
) )
9153, 83, 90sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  CC  ->  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   E!wreu 2816  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   _ici 9490    + caddc 9491    x. cmul 9493    - cmin 9801   -ucneg 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203
This theorem is referenced by:  cjth  12893  cjf  12894  remim  12907
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