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Theorem cjreb 12611
Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjreb  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( * `  A )  =  A ) )

Proof of Theorem cjreb
StepHypRef Expression
1 recl 12598 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21recnd 9411 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 9340 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
4 imcl 12599 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
54recnd 9411 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
6 mulcl 9365 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
82, 7negsubd 9724 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
9 mulneg2 9781 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )
103, 5, 9sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
1110oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  + 
-u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
12 remim 12605 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
138, 11, 123eqtr4rd 2485 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) )
14 replim 12604 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
1513, 14eqeq12d 2456 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  A
)  =  A  <->  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) )
165negcld 9705 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  CC )
17 mulcl 9365 . . . 4  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u ( Im `  A
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) )  e.  CC )
183, 16, 17sylancr 663 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  e.  CC )
192, 18, 7addcand 9571 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) )  =  ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  <-> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
20 eqcom 2444 . . . 4  |-  ( -u ( Im `  A )  =  ( Im `  A )  <->  ( Im `  A )  =  -u ( Im `  A ) )
215eqnegd 10051 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  -u (
Im `  A )  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
2220, 21syl5bb 257 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( Im `  A
)  =  ( Im
`  A )  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
23 ine0 9779 . . . . . 6  |-  _i  =/=  0
243, 23pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )
26 mulcan 9972 . . . 4  |-  ( (
-u ( Im `  A )  e.  CC  /\  ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )  ->  ( (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) )  <->  -u ( Im `  A )  =  ( Im `  A ) ) )
2716, 5, 25, 26syl3anc 1218 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) )  <->  -u ( Im
`  A )  =  ( Im `  A
) ) )
28 reim0b 12607 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
2922, 27, 283bitr4d 285 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) )  <->  A  e.  RR ) )
3015, 19, 293bitrrd 280 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( * `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   RRcr 9280   0cc0 9281   _ici 9283    + caddc 9284    x. cmul 9286    - cmin 9594   -ucneg 9595   *ccj 12584   Recre 12585   Imcim 12586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-2 10379  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589
This theorem is referenced by:  cjre  12627  cjmulrcl  12632  cjrebi  12662  cjrebd  12690  hire  24495
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