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Theorem cjreb 11883
Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjreb  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( * `  A )  =  A ) )

Proof of Theorem cjreb
StepHypRef Expression
1 recl 11870 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21recnd 9070 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 9005 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
4 imcl 11871 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
54recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
6 mulcl 9030 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
82, 7negsubd 9373 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
9 mulneg2 9427 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )
103, 5, 9sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
1110oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  + 
-u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
12 remim 11877 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
138, 11, 123eqtr4rd 2447 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) )
14 replim 11876 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
1513, 14eqeq12d 2418 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  A
)  =  A  <->  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) )
165negcld 9354 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  CC )
17 mulcl 9030 . . . 4  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u ( Im `  A
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) )  e.  CC )
183, 16, 17sylancr 645 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  e.  CC )
192, 18, 7addcand 9225 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) )  =  ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  <-> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
20 eqcom 2406 . . . 4  |-  ( -u ( Im `  A )  =  ( Im `  A )  <->  ( Im `  A )  =  -u ( Im `  A ) )
215eqnegd 9691 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  -u (
Im `  A )  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
2220, 21syl5bb 249 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( Im `  A
)  =  ( Im
`  A )  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
23 ine0 9425 . . . . . 6  |-  _i  =/=  0
243, 23pm3.2i 442 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )
26 mulcan 9615 . . . 4  |-  ( (
-u ( Im `  A )  e.  CC  /\  ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )  ->  ( (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) )  <->  -u ( Im `  A )  =  ( Im `  A ) ) )
2716, 5, 25, 26syl3anc 1184 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) )  <->  -u ( Im
`  A )  =  ( Im `  A
) ) )
28 reim0b 11879 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
2922, 27, 283bitr4d 277 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) )  <->  A  e.  RR ) )
3015, 19, 293bitrrd 272 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( * `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   -ucneg 9248   *ccj 11856   Recre 11857   Imcim 11858
This theorem is referenced by:  cjre  11899  cjmulrcl  11904  cjrebi  11934  cjrebd  11962  hire  22549
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861
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