MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjre Structured version   Unicode version

Theorem cjre 12716
Description: A real number equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
cjre  |-  ( A  e.  RR  ->  (
* `  A )  =  A )

Proof of Theorem cjre
StepHypRef Expression
1 recn 9459 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 cjreb 12700 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( * `  A )  =  A ) )
32biimpd 207 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  ->  ( * `  A )  =  A ) )
41, 3mpcom 36 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (
* `  A )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1757   ` cfv 5502   CCcc 9367   RRcr 9368   *ccj 12673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-2 10467  df-cj 12676  df-re 12677  df-im 12678
This theorem is referenced by:  cjexp  12727  cj0  12735  cjreim  12737  cjred  12803  absre  12878  absresq  12879  resinval  13507  recosval  13508  recrng  18146  rrxcph  20998  plyreres  21851  1cubrlem  22338  atandmcj  22406  atancj  22407  atanrecl  22408  dchrinv  22702  rpvmasum2  22863  dipcj  24233  hisubcomi  24627  normlem9  24641  bcseqi  24643  lnophmlem2  25542  hmopm  25546
  Copyright terms: Public domain W3C validator