MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjneg Structured version   Unicode version

Theorem cjneg 12991
Description: Complex conjugate of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjneg  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  -u ( * `  A ) )

Proof of Theorem cjneg
StepHypRef Expression
1 recl 12954 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21recnd 9639 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 9568 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
4 imcl 12955 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
54recnd 9639 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
6 mulcl 9593 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 663 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
82, 7neg2subd 9967 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( Re `  A
)  -  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  -  ( Re `  A ) ) )
9 reneg 12969 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
10 imneg 12977 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )
1110oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  -u A ) )  =  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) )
12 mulneg2 10015 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )
133, 5, 12sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
1411, 13eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  -u A ) )  = 
-u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
159, 14oveq12d 6314 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  -u A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  -u A ) ) )  =  ( -u (
Re `  A )  -  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
162, 7negsubdi2d 9966 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  -  ( Re `  A ) ) )
178, 15, 163eqtr4d 2508 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  -u A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  -u A ) ) )  =  -u ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
18 negcl 9839 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
19 remim 12961 . . 3  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( * `  -u A
)  =  ( ( Re `  -u A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  -u A ) ) ) )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  ( ( Re
`  -u A )  -  ( _i  x.  (
Im `  -u A ) ) ) )
21 remim 12961 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2221negeqd 9833 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
* `  A )  =  -u ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2317, 20, 223eqtr4d 2508 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  -u ( * `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   _ici 9511    x. cmul 9514    - cmin 9824   -ucneg 9825   *ccj 12940   Recre 12941   Imcim 12942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-2 10615  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945
This theorem is referenced by:  cjsub  12993  cjnegi  13026  cjnegd  13055  absneg  13121
  Copyright terms: Public domain W3C validator