Theorem cjmuli 8039

Description: Complex conjugate distributes over multiplication. Proposition 10-3.4(c) of [Gleason] p. 133.

Hypotheses

Ref	Expression
cjcji.1	|- A e. CC
readdi.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
cjmuli	|- (*` (A x. B)) = ((*` A) x. (*` B))

Proof of Theorem cjmuli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcji.1	. . . . . . . . 9 |- A e. CC
2	1	recli 8015	. . . . . . . 8 |- (Re` A) e. RR
3	2	recni 6467	. . . . . . 7 |- (Re` A) e. CC
4		readdi.2	. . . . . . . . 9 |- B e. CC
5	4	recli 8015	. . . . . . . 8 |- (Re` B) e. RR
6	5	recni 6467	. . . . . . 7 |- (Re` B) e. CC
7	3, 6	mulcli 6474	. . . . . 6 |- ((Re` A) x. (Re` B)) e. CC
8	1	imcli 8016	. . . . . . . 8 |- (Im` A) e. RR
9	8	recni 6467	. . . . . . 7 |- (Im` A) e. CC
10	4	imcli 8016	. . . . . . . 8 |- (Im` B) e. RR
11	10	recni 6467	. . . . . . 7 |- (Im` B) e. CC
12	9, 11	mulcli 6474	. . . . . 6 |- ((Im` A) x. (Im` B)) e. CC
13	7, 12	subcli 6523	. . . . 5 |- (((Re` A) x. (Re` B)) - ((Im` A) x. (Im` B))) e. CC
14		axicn 6423	. . . . . 6 |- _i e. CC
15	3, 11	mulcli 6474	. . . . . . 7 |- ((Re` A) x. (Im` B)) e. CC
16	9, 6	mulcli 6474	. . . . . . 7 |- ((Im` A) x. (Re` B)) e. CC
17	15, 16	addcli 6473	. . . . . 6 |- (((Re` A) x. (Im` B)) + ((Im` A) x. (Re` B))) e. CC
18	14, 17	mulcli 6474	. . . . 5 |- (_i x. (((Re` A) x. (Im` B)) + ((Im` A) x. (Re` B)))) e. CC
19	13, 18	negsubi 6538	. . . 4 |- ((((Re` A) x. (Re` B)) - ((Im` A) x. (Im` B))) + -u(_i x. (((Re` A) x. (Im` B)) + ((Im` A) x. (Re` B))))) = ((((Re` A) x. (Re` B)) - ((Im` A) x. (Im` B))) - (_i x. (((Re` A) x. (Im` B)) + ((Im` A) x. (Re` B)))))
20	9, 11	mul2negi 6610	. . . . . . 7 |- (-u(Im` A) x. -u(Im` B)) = ((Im` A) x. (Im` B))
21	20	eqcomi 1888	. . . . . 6 |- ((Im` A) x. (Im` B)) = (-u(Im` A) x. -u(Im` B))
22	21	opreq2i 4893	. . . . 5 |- (((Re` A) x. (Re` B)) - ((Im` A) x. (Im` B))) = (((Re` A) x. (Re` B)) - (-u(Im` A) x. -u(Im` B)))
23	14, 17	mulneg2i 6609	. . . . . 6 |- (_i x. -u(((Re` A) x. (Im` B)) + ((Im` A) x. (Re` B)))) = -u(_i x. (((Re` A) x. (Im` B)) + ((Im` A) x. (Re` B))))
24	15, 16	negdii 6611	. . . . . . . 8 |- -u(((Re` A) x. (Im` B)) + ((Im` A) x. (Re` B))) = (-u((Re` A) x. (Im` B)) + -u((Im` A) x. (Re` B)))
25	3, 11	mulneg2i 6609	. . . . . . . . 9 |- ((Re` A) x. -u(Im` B)) = -u((Re` A) x. (Im` B))
26	9, 6	mulneg1i 6608	. . . . . . . . 9 |- (-u(Im` A) x. (Re` B)) = -u((Im` A) x. (Re` B))
27	25, 26	opreq12i 4894	. . . . . . . 8 |- (((Re` A) x. -u(Im` B)) + (-u(Im` A) x. (Re` B))) = (-u((Re` A) x. (Im` B)) + -u((Im` A) x. (Re` B)))
28	24, 27	eqtr4i 1911	. . . . . . 7 |- -u(((Re` A) x. (Im` B)) + ((Im` A) x. (Re` B))) = (((Re` A) x. -u(Im` B)) + (-u(Im` A) x. (Re` B)))
29	28	opreq2i 4893	. . . . . 6 |- (_i x. -u(((Re` A) x. (Im` B)) + ((Im` A) x. (Re` B)))) = (_i x. (((Re` A) x. -u(Im` B)) + (-u(Im` A) x. (Re` B))))
30	23, 29	eqtr3i 1910	. . . . 5 |- -u(_i x. (((Re` A) x. (Im` B)) + ((Im` A) x. (Re` B)))) = (_i x. (((Re` A) x. -u(Im` B)) + (-u(Im` A) x. (Re` B))))
31	22, 30	opreq12i 4894	. . . 4 |- ((((Re` A) x. (Re` B)) - ((Im` A) x. (Im` B))) + -u(_i x. (((Re` A) x. (Im` B)) + ((Im` A) x. (Re` B))))) = ((((Re` A) x. (Re` B)) - (-u(Im` A) x. -u(Im` B))) + (_i x. (((Re` A) x. -u(Im` B)) + (-u(Im` A) x. (Re` B)))))
32	19, 31	eqtr3i 1910	. . 3 |- ((((Re` A) x. (Re` B)) - ((Im` A) x. (Im` B))) - (_i x. (((Re` A) x. (Im` B)) + ((Im` A) x. (Re` B))))) = ((((Re` A) x. (Re` B)) - (-u(Im` A) x. -u(Im` B))) + (_i x. (((Re` A) x. -u(Im` B)) + (-u(Im` A) x. (Re` B)))))
33	1, 4	remuli 8036	. . . 4 |- (Re` (A x. B)) = (((Re` A) x. (Re` B)) - ((Im` A) x. (Im` B)))
34	1, 4	immuli 8037	. . . . 5 |- (Im` (A x. B)) = (((Re` A) x. (Im` B)) + ((Im` A) x. (Re` B)))
35	34	opreq2i 4893	. . . 4 |- (_i x. (Im` (A x. B))) = (_i x. (((Re` A) x. (Im` B)) + ((Im` A) x. (Re` B))))
36	33, 35	opreq12i 4894	. . 3 |- ((Re` (A x. B)) - (_i x. (Im` (A x. B)))) = ((((Re` A) x. (Re` B)) - ((Im` A) x. (Im` B))) - (_i x. (((Re` A) x. (Im` B)) + ((Im` A) x. (Re` B)))))
37	9	negcli 6526	. . . 4 |- -u(Im` A) e. CC
38	11	negcli 6526	. . . 4 |- -u(Im` B) e. CC
39	3, 37, 6, 38	crmuli 7990	. . 3 |- (((Re` A) + (_i x. -u(Im` A))) x. ((Re` B) + (_i x. -u(Im` B)))) = ((((Re` A) x. (Re` B)) - (-u(Im` A) x. -u(Im` B))) + (_i x. (((Re` A) x. -u(Im` B)) + (-u(Im` A) x. (Re` B)))))
40	32, 36, 39	3eqtr4i 1921	. 2 |- ((Re` (A x. B)) - (_i x. (Im` (A x. B)))) = (((Re` A) + (_i x. -u(Im` A))) x. ((Re` B) + (_i x. -u(Im` B))))
41	1, 4	mulcli 6474	. . 3 |- (A x. B) e. CC
42		cjval 8013	. . 3 |- ((A x. B) e. CC -> (*` (A x. B)) = ((Re` (A x. B)) - (_i x. (Im` (A x. B)))))
43	41, 42	ax-mp 7	. 2 |- (*` (A x. B)) = ((Re` (A x. B)) - (_i x. (Im` (A x. B))))
44	14, 9	mulcli 6474	. . . . 5 |- (_i x. (Im` A)) e. CC
45	3, 44	negsubi 6538	. . . 4 |- ((Re` A) + -u(_i x. (Im` A))) = ((Re` A) - (_i x. (Im` A)))
46	14, 9	mulneg2i 6609	. . . . 5 |- (_i x. -u(Im` A)) = -u(_i x. (Im` A))
47	46	opreq2i 4893	. . . 4 |- ((Re` A) + (_i x. -u(Im` A))) = ((Re` A) + -u(_i x. (Im` A)))
48		cjval 8013	. . . . 5 |- (A e. CC -> (*` A) = ((Re` A) - (_i x. (Im` A))))
49	1, 48	ax-mp 7	. . . 4 |- (*` A) = ((Re` A) - (_i x. (Im` A)))
50	45, 47, 49	3eqtr4ri 1923	. . 3 |- (*` A) = ((Re` A) + (_i x. -u(Im` A)))
51	14, 11	mulcli 6474	. . . . 5 |- (_i x. (Im` B)) e. CC
52	6, 51	negsubi 6538	. . . 4 |- ((Re` B) + -u(_i x. (Im` B))) = ((Re` B) - (_i x. (Im` B)))
53	14, 11	mulneg2i 6609	. . . . 5 |- (_i x. -u(Im` B)) = -u(_i x. (Im` B))
54	53	opreq2i 4893	. . . 4 |- ((Re` B) + (_i x. -u(Im` B))) = ((Re` B) + -u(_i x. (Im` B)))
55		cjval 8013	. . . . 5 |- (B e. CC -> (*` B) = ((Re` B) - (_i x. (Im` B))))
56	4, 55	ax-mp 7	. . . 4 |- (*` B) = ((Re` B) - (_i x. (Im` B)))
57	52, 54, 56	3eqtr4ri 1923	. . 3 |- (*` B) = ((Re` B) + (_i x. -u(Im` B)))
58	50, 57	opreq12i 4894	. 2 |- ((*` A) x. (*` B)) = (((Re` A) + (_i x. -u(Im` A))) x. ((Re` B) + (_i x. -u(Im` B))))
59	40, 43, 58	3eqtr4i 1921	1 |- (*` (A x. B)) = ((*` A) x. (*` B))

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  -ucneg 6446  Recre 7997  Imcim 7998  *ccj 7999

This theorem is referenced by:  cjmulrcli 8041  cjmul 8063  absmuli 8098  abslem2i 8160  ipasslem10 9840  normlem1 10609  normlem2 10610  pjthlem5 10856  lnopunilem1 11572

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003

Copyright terms: Public domain