MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjcncf Structured version   Unicode version

Theorem cjcncf 21235
Description: Complex conjugate is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjcncf  |-  *  e.  ( CC -cn-> CC )

Proof of Theorem cjcncf
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjf 12903 . 2  |-  * : CC --> CC
2 cjcn2 13388 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( * `  w
)  -  ( * `
 x ) ) )  <  y ) )
32rgen2 2889 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( * `  w
)  -  ( * `
 x ) ) )  <  y )
4 ssid 3523 . . 3  |-  CC  C_  CC
5 elcncf2 21221 . . 3  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
*  e.  ( CC
-cn-> CC )  <->  ( * : CC --> CC  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( * `  w
)  -  ( * `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
64, 4, 5mp2an 672 . 2  |-  ( *  e.  ( CC -cn-> CC )  <->  ( * : CC --> CC  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( * `  w
)  -  ( * `
 x ) ) )  <  y ) ) )
71, 3, 6mpbir2an 918 1  |-  *  e.  ( CC -cn-> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491    < clt 9629    - cmin 9806   RR+crp 11221   *ccj 12895   abscabs 13033   -cn->ccncf 21207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-cncf 21209
This theorem is referenced by:  dvcjbr  22179
  Copyright terms: Public domain W3C validator