MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjcj Structured version   Unicode version

Theorem cjcj 13182
Description: The conjugate of the conjugate is the original complex number. Proposition 10-3.4(e) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjcj  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem cjcj
StepHypRef Expression
1 cjcl 13147 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
2 recj 13166 . . . . 5  |-  ( ( * `  A )  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Re `  (
* `  A )
) )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Re `  (
* `  A )
) )
4 recj 13166 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  A ) )  =  ( Re `  A
) )
53, 4eqtrd 2470 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Re `  A
) )
6 imcj 13174 . . . . . 6  |-  ( ( * `  A )  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  ( * `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( * `  A
) ) )
71, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  ( * `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( * `  A
) ) )
8 imcj 13174 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  A ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
98negeqd 9868 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( * `  A ) )  = 
-u -u ( Im `  A ) )
10 imcl 13153 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
1110recnd 9668 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
1211negnegd 9976 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u (
Im `  A )  =  ( Im `  A ) )
139, 12eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( * `  A ) )  =  ( Im `  A
) )
147, 13eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Im `  A
) )
1514oveq2d 6321 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  ( * `  (
* `  A )
) ) )  =  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )
165, 15oveq12d 6323 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  (
* `  ( * `  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( * `
 ( * `  A ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
17 cjcl 13147 . . 3  |-  ( ( * `  A )  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  e.  CC )
18 replim 13158 . . 3  |-  ( ( * `  ( * `
 A ) )  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  ( ( Re `  ( * `  (
* `  A )
) )  +  ( _i  x.  ( Im
`  ( * `  ( * `  A
) ) ) ) ) )
191, 17, 183syl 18 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  ( ( Re `  ( * `  (
* `  A )
) )  +  ( _i  x.  ( Im
`  ( * `  ( * `  A
) ) ) ) ) )
20 replim 13158 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2116, 19, 203eqtr4d 2480 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   _ici 9540    + caddc 9541    x. cmul 9543   -ucneg 9860   *ccj 13138   Recre 13139   Imcim 13140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-2 10668  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143
This theorem is referenced by:  cjmulrcl  13186  cjreim2  13203  cj11  13204  cjcji  13213  cjcjd  13241  abscj  13321  sqabsadd  13324  sqabssub  13325  cnsrng  18937  plycjlem  23098  dipassr2  26333  his52  26575  cnvbramul  27603
  Copyright terms: Public domain W3C validator