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Theorem cjadd 13056
Description: Complex conjugate distributes over addition. Proposition 10-3.4(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjadd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  +  B )
)  =  ( ( * `  A )  +  ( * `  B ) ) )

Proof of Theorem cjadd
StepHypRef Expression
1 readd 13041 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) ) )
2 imadd 13049 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) )
32oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  +  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) )
4 ax-icn 9540 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
6 imcl 13026 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
76adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
87recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
9 imcl 13026 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
109adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
1110recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
125, 8, 11adddid 9609 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
133, 12eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  +  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
141, 13oveq12d 6288 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  +  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  +  B
) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
15 recl 13025 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
1615adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
1716recnd 9611 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
18 recl 13025 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1918adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
2019recnd 9611 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
21 mulcl 9565 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
224, 8, 21sylancr 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
23 mulcl 9565 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
244, 11, 23sylancr 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
2517, 20, 22, 24addsub4d 9969 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( Re `  B
) )  -  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
2614, 25eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  +  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  +  B
) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re `  B
)  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
27 addcl 9563 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
28 remim 13032 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  (
* `  ( A  +  B ) )  =  ( ( Re `  ( A  +  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  +  B
) ) ) ) )
2927, 28syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Re `  ( A  +  B ) )  -  ( _i  x.  ( Im `  ( A  +  B ) ) ) ) )
30 remim 13032 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
31 remim 13032 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  (
* `  B )  =  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
3230, 31oveqan12d 6289 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  +  ( * `  B ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
3326, 29, 323eqtr4d 2505 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  +  B )
)  =  ( ( * `  A )  +  ( * `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9796   *ccj 13011   Recre 13012   Imcim 13013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-2 10590  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016
This theorem is referenced by:  cjsub  13064  cjreim  13075  cjaddi  13103  cjaddd  13135  sqabsadd  13197  sqreulem  13274  fsumcj  13706  efcj  13909  cnsrng  18647  atancj  23438  his7  26205  sigaraf  32309
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