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Theorem circum 25064
Description: The circumference of a circle of radius  R, defined as the limit as  n  ~~>  +oo of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is  ( (
2  x.  pi )  x.  R ). (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
circum.1  |-  A  =  ( ( 2  x.  pi )  /  n
)
circum.2  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  n )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
circum.3  |-  R  e.  RR
Assertion
Ref Expression
circum  |-  P  ~~>  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )
Distinct variable group:    R, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)

Proof of Theorem circum
Dummy variables  y 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 pire 20325 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
5 pipos 20326 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
64, 5elrpii 10571 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
7 nnrp 10577 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
8 rpdivcl 10590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  n )  e.  RR+ )
96, 7, 8sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  n )  e.  RR+ )
109rprene0d 10612 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( pi  /  n
)  e.  RR  /\  ( pi  /  n
)  =/=  0 ) )
11 eldifsn 3887 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  n )  e.  ( RR  \  { 0 } )  <-> 
( ( pi  /  n )  e.  RR  /\  ( pi  /  n
)  =/=  0 ) )
1210, 11sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  n )  e.  ( RR  \  {
0 } ) )
1312adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
pi  /  n )  e.  ( RR  \  {
0 } ) )
14 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) )
15 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) )  =  ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) ) )
16 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( pi  /  n )  ->  ( sin `  y )  =  ( sin `  (
pi  /  n )
) )
17 id 20 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( pi  /  n )  ->  y  =  ( pi  /  n ) )
1816, 17oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( pi  /  n )  ->  (
( sin `  y
)  /  y )  =  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) )
1913, 14, 15, 18fmptco 5860 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi 
/  n ) )  /  ( pi  /  n ) ) ) )
20 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) )
2120, 12fmpti 5851 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) : NN --> ( RR 
\  { 0 } )
224recni 9058 . . . . . . 7  |-  pi  e.  CC
23 divcnv 12588 . . . . . . 7  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) )  ~~>  0 )
2422, 23mp1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n
) )  ~~>  0 )
25 sinccvg 25063 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n
) ) : NN --> ( RR  \  { 0 } )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) )  ~~>  0 )  -> 
( ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) )  ~~>  1 )
2621, 24, 25sylancr 645 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) )  ~~>  1 )
2719, 26eqbrtrrd 4194 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) )  ~~>  1 )
28 2re 10025 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2928, 4remulcli 9060 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
30 circum.3 . . . . . . 7  |-  R  e.  RR
3129, 30remulcli 9060 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  e.  RR
3231recni 9058 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  e.  CC
3332a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( 2  x.  pi )  x.  R
)  e.  CC )
34 circum.2 . . . . . 6  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  n )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
35 nnex 9962 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
3635mptex 5925 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  n )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )  e. 
_V
3734, 36eqeltri 2474 . . . . 5  |-  P  e. 
_V
3837a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  P  e.  _V )
39 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } ) 
|->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  =  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } ) 
|->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )
40 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  y  e.  RR )
4140resincld 12699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  ( sin `  y
)  e.  RR )
42 eldifsni 3888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  y  =/=  0
)
4341, 40, 42redivcld 9798 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  ( ( sin `  y )  /  y
)  e.  RR )
4439, 43fmpti 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } ) 
|->  ( ( sin `  y
)  /  y ) ) : ( RR 
\  { 0 } ) --> RR
45 fco 5559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) ) : ( RR  \  { 0 } ) --> RR  /\  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) : NN --> ( RR 
\  { 0 } ) )  ->  (
( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR )
4644, 21, 45mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( RR 
\  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y
) )  o.  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR
4719trud 1329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( RR 
\  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y
) )  o.  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) )
4847feq1i 5544 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) ) : NN --> RR )
4946, 48mpbi 200 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi 
/  n ) )  /  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR
5049ffvelrni 5828 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  e.  RR )
5150adantl 453 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  e.  RR )
5251recnd 9070 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  e.  CC )
5328recni 9058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
5522a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  pi  e.  CC )
56 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
5756adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
58 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
5958adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  =/=  0 )
6054, 55, 57, 59divassd 9781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  pi )  /  k )  =  ( 2  x.  (
pi  /  k )
) )
6160oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 )  =  ( ( 2  x.  ( pi  / 
k ) )  / 
2 ) )
62 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
63 nndivre 9991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( pi  /  k
)  e.  RR )
644, 62, 63sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  e.  RR )
6564recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  e.  CC )
66 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  2  =/=  0 )
6865, 54, 67divcan3d 9751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  (
pi  /  k )
)  /  2 )  =  ( pi  / 
k ) )
6961, 68eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 )  =  ( pi  / 
k ) )
7069fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
pi  /  k )
) )
7164resincld 12699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( pi  / 
k ) )  e.  RR )
7271recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( pi  / 
k ) )  e.  CC )
73 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
7473adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR+ )
75 rpdivcl 10590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  k  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  k )  e.  RR+ )
766, 74, 75sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  e.  RR+ )
7776rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  =/=  0 )
7872, 65, 77divcan2d 9748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( pi  /  k
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  k )
) )
7970, 78eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) )  =  ( ( pi  / 
k )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
8079oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  / 
k )  /  2
) ) )  =  ( R  x.  (
( pi  /  k
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) ) ) )
8130recni 9058 . . . . . . . . . . 11  |-  R  e.  CC
8281a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  R  e.  CC )
83 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
pi  /  n )  =  ( pi  / 
k ) )
8483fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( sin `  ( pi  /  n ) )  =  ( sin `  (
pi  /  k )
) )
8584, 83oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) )  =  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )
86 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi 
/  n ) )  /  ( pi  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) )
87 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) )  e. 
_V
8885, 86, 87fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  =  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )
8988adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  =  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )
9089, 52eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) )  e.  CC )
9182, 65, 90mulassd 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( R  x.  (
pi  /  k )
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( R  x.  ( ( pi  / 
k )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) ) )
9280, 91eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  / 
k )  /  2
) ) )  =  ( ( R  x.  ( pi  /  k
) )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
9392oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  k )  x.  (
( R  x.  (
pi  /  k )
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) ) ) )
94 mulcl 9030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  CC )
9553, 57, 94sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
96 mulcl 9030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CC  /\  ( pi  /  k
)  e.  CC )  ->  ( R  x.  ( pi  /  k
) )  e.  CC )
9781, 65, 96sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( pi  /  k ) )  e.  CC )
9895, 97, 90mulassd 9067 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( pi  /  k ) ) )  x.  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )  =  ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( R  x.  ( pi 
/  k ) )  x.  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) ) ) )
9993, 98eqtr4d 2439 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  (
pi  /  k )
) )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
10054, 57, 82, 65mul4d 9234 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  R )  x.  ( k  x.  (
pi  /  k )
) ) )
10155, 57, 59divcan2d 9748 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( pi 
/  k ) )  =  pi )
102101oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  ( k  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  R )  x.  pi ) )
10354, 82, 55mul32d 9232 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R ) )
104102, 103eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  ( k  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R ) )
105100, 104eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R ) )
106105oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( pi  /  k ) ) )  x.  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) ) )
10799, 106eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
108 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
109 circum.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( ( 2  x.  pi )  /  n
)
110 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  pi )  /  n )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  k
) )
111109, 110syl5eq 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  A  =  ( ( 2  x.  pi )  / 
k ) )
112111oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  / 
k )  /  2
) )
113112fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) )
114113oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  =  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) )
115108, 114oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) ) )
116 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) )  e.  _V
117115, 34, 116fvmpt 5765 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( P `  k )  =  ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) ) )
118117adantl 453 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  =  ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) ) )
11989oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  x.  R
)  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  ( ( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
120107, 118, 1193eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) ) `  k
) ) )
1211, 3, 27, 33, 38, 52, 120climmulc2 12385 . . 3  |-  (  T. 
->  P  ~~>  ( (
( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  1 ) )
122121trud 1329 . 2  |-  P  ~~>  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  1 )
12332mulid1i 9048 . 2  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  1 )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )
124122, 123breqtri 4195 1  |-  P  ~~>  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    \ cdif 3277   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238   RR+crp 10568    ~~> cli 12233   sincsin 12621   picpi 12624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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