Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circum Structured version   Unicode version

Theorem circum 30313
 Description: The circumference of a circle of radius , defined as the limit as of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is . (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
circum.1
circum.2
circum.3
Assertion
Ref Expression
circum
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem circum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11194 . . . 4
2 1zzd 10968 . . . 4
3 pirp 23402 . . . . . . . . . 10
4 nnrp 11311 . . . . . . . . . 10
5 rpdivcl 11325 . . . . . . . . . 10
63, 4, 5sylancr 667 . . . . . . . . 9
76rprene0d 11349 . . . . . . . 8
8 eldifsn 4122 . . . . . . . 8
97, 8sylibr 215 . . . . . . 7
109adantl 467 . . . . . 6
11 eqidd 2423 . . . . . 6
12 eqidd 2423 . . . . . 6
13 fveq2 5877 . . . . . . 7
14 id 23 . . . . . . 7
1513, 14oveq12d 6319 . . . . . 6
1610, 11, 12, 15fmptco 6067 . . . . 5
17 eqid 2422 . . . . . . 7
1817, 9fmpti 6056 . . . . . 6
19 pire 23399 . . . . . . . 8
2019recni 9655 . . . . . . 7
21 divcnv 13898 . . . . . . 7
2220, 21mp1i 13 . . . . . 6
23 sinccvg 30312 . . . . . 6
2418, 22, 23sylancr 667 . . . . 5
2516, 24eqbrtrrd 4443 . . . 4
26 2re 10679 . . . . . . . 8
2726, 19remulcli 9657 . . . . . . 7
28 circum.3 . . . . . . 7
2927, 28remulcli 9657 . . . . . 6
3029recni 9655 . . . . 5
3130a1i 11 . . . 4
32 circum.2 . . . . . 6
33 nnex 10615 . . . . . . 7
3433mptex 6147 . . . . . 6
3532, 34eqeltri 2506 . . . . 5
3635a1i 11 . . . 4
37 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
38 eldifi 3587 . . . . . . . . . . . 12
3938resincld 14184 . . . . . . . . . . 11
40 eldifsni 4123 . . . . . . . . . . 11
4139, 38, 40redivcld 10435 . . . . . . . . . 10
4237, 41fmpti 6056 . . . . . . . . 9
43 fco 5752 . . . . . . . . 9
4442, 18, 43mp2an 676 . . . . . . . 8
4516trud 1446 . . . . . . . . 9
4645feq1i 5734 . . . . . . . 8
4744, 46mpbi 211 . . . . . . 7
4847ffvelrni 6032 . . . . . 6
4948adantl 467 . . . . 5
5049recnd 9669 . . . 4
5126recni 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
5320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
54 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14
56 nnne0 10642 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14
5852, 53, 55, 57divassd 10418 . . . . . . . . . . . . 13
5958oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . 12
60 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15
61 nndivre 10645 . . . . . . . . . . . . . . 15
6219, 60, 61sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14
6362recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13
64 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . . 14
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
6663, 52, 65divcan3d 10388 . . . . . . . . . . . 12
6759, 66eqtrd 2463 . . . . . . . . . . 11
6867fveq2d 5881 . . . . . . . . . 10
6962resincld 14184 . . . . . . . . . . . 12
7069recnd 9669 . . . . . . . . . . 11
71 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . . 14
7271adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13
73 rpdivcl 11325 . . . . . . . . . . . . 13
743, 72, 73sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12
7574rpne0d 11346 . . . . . . . . . . 11
7670, 63, 75divcan2d 10385 . . . . . . . . . 10
7768, 76eqtr4d 2466 . . . . . . . . 9
7877oveq2d 6317 . . . . . . . 8
7928recni 9655 . . . . . . . . . 10
8079a1i 11 . . . . . . . . 9
81 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . . 14
8281fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13
8382, 81oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . 12
84 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12
85 ovex 6329 . . . . . . . . . . . 12
8683, 84, 85fvmpt 5960 . . . . . . . . . . 11
8786adantl 467 . . . . . . . . . 10
8887, 50eqeltrrd 2511 . . . . . . . . 9
8980, 63, 88mulassd 9666 . . . . . . . 8
9078, 89eqtr4d 2466 . . . . . . 7
9190oveq2d 6317 . . . . . 6
92 mulcl 9623 . . . . . . . 8
9351, 55, 92sylancr 667 . . . . . . 7
94 mulcl 9623 . . . . . . . 8
9579, 63, 94sylancr 667 . . . . . . 7
9693, 95, 88mulassd 9666 . . . . . 6
9752, 55, 80, 63mul4d 9845 . . . . . . . 8
9853, 55, 57divcan2d 10385 . . . . . . . . . 10
9998oveq2d 6317 . . . . . . . . 9
10052, 80, 53mul32d 9843 . . . . . . . . 9
10199, 100eqtrd 2463 . . . . . . . 8
10297, 101eqtrd 2463 . . . . . . 7
103102oveq1d 6316 . . . . . 6
10491, 96, 1033eqtr2d 2469 . . . . 5
105 oveq2 6309 . . . . . . . 8
106 circum.1 . . . . . . . . . . . 12
107 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . 12
108106, 107syl5eq 2475 . . . . . . . . . . 11
109108oveq1d 6316 . . . . . . . . . 10
110109fveq2d 5881 . . . . . . . . 9
111110oveq2d 6317 . . . . . . . 8
112105, 111oveq12d 6319 . . . . . . 7
113 ovex 6329 . . . . . . 7
114112, 32, 113fvmpt 5960 . . . . . 6
115114adantl 467 . . . . 5
11687oveq2d 6317 . . . . 5
117104, 115, 1163eqtr4d 2473 . . . 4
1181, 2, 25, 31, 36, 50, 117climmulc2 13687 . . 3
119118trud 1446 . 2
12030mulid1i 9645 . 2
121119, 120breqtri 4444 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 370   wceq 1437   wtru 1438   wcel 1868   wne 2618  cvv 3081   cdif 3433  csn 3996   class class class wbr 4420   cmpt 4479   ccom 4853  wf 5593  cfv 5597  (class class class)co 6301  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   cmul 9544   cdiv 10269  cn 10609  c2 10659  crp 11302   cli 13535  csin 14103  cpi 14106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-sum 13740  df-ef 14108  df-sin 14110  df-cos 14111  df-pi 14113  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator