Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circum Structured version   Unicode version

Theorem circum 28865
 Description: The circumference of a circle of radius , defined as the limit as of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is . (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
circum.1
circum.2
circum.3
Assertion
Ref Expression
circum
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem circum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11129 . . . 4
2 1z 10906 . . . . 5
32a1i 11 . . . 4
4 pire 22718 . . . . . . . . . . 11
5 pipos 22720 . . . . . . . . . . 11
64, 5elrpii 11235 . . . . . . . . . 10
7 nnrp 11241 . . . . . . . . . 10
8 rpdivcl 11254 . . . . . . . . . 10
96, 7, 8sylancr 663 . . . . . . . . 9
109rprene0d 11276 . . . . . . . 8
11 eldifsn 4158 . . . . . . . 8
1210, 11sylibr 212 . . . . . . 7
1312adantl 466 . . . . . 6
14 eqidd 2468 . . . . . 6
15 eqidd 2468 . . . . . 6
16 fveq2 5872 . . . . . . 7
17 id 22 . . . . . . 7
1816, 17oveq12d 6313 . . . . . 6
1913, 14, 15, 18fmptco 6065 . . . . 5
20 eqid 2467 . . . . . . 7
2120, 12fmpti 6055 . . . . . 6
224recni 9620 . . . . . . 7
23 divcnv 13645 . . . . . . 7
2422, 23mp1i 12 . . . . . 6
25 sinccvg 28864 . . . . . 6
2621, 24, 25sylancr 663 . . . . 5
2719, 26eqbrtrrd 4475 . . . 4
28 2re 10617 . . . . . . . 8
2928, 4remulcli 9622 . . . . . . 7
30 circum.3 . . . . . . 7
3129, 30remulcli 9622 . . . . . 6
3231recni 9620 . . . . 5
3332a1i 11 . . . 4
34 circum.2 . . . . . 6
35 nnex 10554 . . . . . . 7
3635mptex 6142 . . . . . 6
3734, 36eqeltri 2551 . . . . 5
3837a1i 11 . . . 4
39 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
40 eldifi 3631 . . . . . . . . . . . 12
4140resincld 13756 . . . . . . . . . . 11
42 eldifsni 4159 . . . . . . . . . . 11
4341, 40, 42redivcld 10384 . . . . . . . . . 10
4439, 43fmpti 6055 . . . . . . . . 9
45 fco 5747 . . . . . . . . 9
4644, 21, 45mp2an 672 . . . . . . . 8
4719trud 1388 . . . . . . . . 9
4847feq1i 5729 . . . . . . . 8
4946, 48mpbi 208 . . . . . . 7
5049ffvelrni 6031 . . . . . 6
5150adantl 466 . . . . 5
5251recnd 9634 . . . 4
5328recni 9620 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
5522a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
56 nncn 10556 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5756adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 nnne0 10580 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
6054, 55, 57, 59divassd 10367 . . . . . . . . . . . . . 14
6160oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13
62 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 nndivre 10583 . . . . . . . . . . . . . . . 16
644, 62, 63sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . 14
66 2ne0 10640 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
6865, 54, 67divcan3d 10337 . . . . . . . . . . . . 13
6961, 68eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12
7069fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11
7164resincld 13756 . . . . . . . . . . . . 13
7271recnd 9634 . . . . . . . . . . . 12
73 nnrp 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
75 rpdivcl 11254 . . . . . . . . . . . . . 14
766, 74, 75sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
7776rpne0d 11273 . . . . . . . . . . . 12
7872, 65, 77divcan2d 10334 . . . . . . . . . . 11
7970, 78eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10
8079oveq2d 6311 . . . . . . . . 9
8130recni 9620 . . . . . . . . . . 11
8281a1i 11 . . . . . . . . . 10
83 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14
8584, 83oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . 13
86 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13
87 ovex 6320 . . . . . . . . . . . . 13
8885, 86, 87fvmpt 5957 . . . . . . . . . . . 12
8988adantl 466 . . . . . . . . . . 11
9089, 52eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . 10
9182, 65, 90mulassd 9631 . . . . . . . . 9
9280, 91eqtr4d 2511 . . . . . . . 8
9392oveq2d 6311 . . . . . . 7
94 mulcl 9588 . . . . . . . . 9
9553, 57, 94sylancr 663 . . . . . . . 8
96 mulcl 9588 . . . . . . . . 9
9781, 65, 96sylancr 663 . . . . . . . 8
9895, 97, 90mulassd 9631 . . . . . . 7
9993, 98eqtr4d 2511 . . . . . 6
10054, 57, 82, 65mul4d 9803 . . . . . . . 8
10155, 57, 59divcan2d 10334 . . . . . . . . . 10
102101oveq2d 6311 . . . . . . . . 9
10354, 82, 55mul32d 9801 . . . . . . . . 9
104102, 103eqtrd 2508 . . . . . . . 8
105100, 104eqtrd 2508 . . . . . . 7
106105oveq1d 6310 . . . . . 6
10799, 106eqtrd 2508 . . . . 5
108 oveq2 6303 . . . . . . . 8
109 circum.1 . . . . . . . . . . . 12
110 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . 12
111109, 110syl5eq 2520 . . . . . . . . . . 11
112111oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10
113112fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
114113oveq2d 6311 . . . . . . . 8
115108, 114oveq12d 6313 . . . . . . 7
116 ovex 6320 . . . . . . 7
117115, 34, 116fvmpt 5957 . . . . . 6
118117adantl 466 . . . . 5
11989oveq2d 6311 . . . . 5
120107, 118, 1193eqtr4d 2518 . . . 4
1211, 3, 27, 33, 38, 52, 120climmulc2 13439 . . 3
122121trud 1388 . 2
12332mulid1i 9610 . 2
124122, 123breqtri 4476 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 369   wceq 1379   wtru 1380   wcel 1767   wne 2662  cvv 3118   cdif 3478  csn 4033   class class class wbr 4453   cmpt 4511   ccom 5009  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cr 9503  cc0 9504  c1 9505   cmul 9509   cdiv 10218  cn 10548  c2 10597  cz 10876  crp 11232   cli 13287  csin 13678  cpi 13681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator