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Theorem circum 27166
Description: The circumference of a circle of radius  R, defined as the limit as  n  ~~> +oo of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is  ( (
2  x.  pi )  x.  R ). (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
circum.1  |-  A  =  ( ( 2  x.  pi )  /  n
)
circum.2  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  n )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
circum.3  |-  R  e.  RR
Assertion
Ref Expression
circum  |-  P  ~~>  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )
Distinct variable group:    R, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)

Proof of Theorem circum
Dummy variables  y 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10884 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10664 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
4 pire 21806 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
5 pipos 21808 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
64, 5elrpii 10982 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
7 nnrp 10988 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
8 rpdivcl 11001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  n )  e.  RR+ )
96, 7, 8sylancr 656 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  n )  e.  RR+ )
109rprene0d 11023 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( pi  /  n
)  e.  RR  /\  ( pi  /  n
)  =/=  0 ) )
11 eldifsn 3988 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  n )  e.  ( RR  \  { 0 } )  <-> 
( ( pi  /  n )  e.  RR  /\  ( pi  /  n
)  =/=  0 ) )
1210, 11sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  n )  e.  ( RR  \  {
0 } ) )
1312adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
pi  /  n )  e.  ( RR  \  {
0 } ) )
14 eqidd 2434 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) )
15 eqidd 2434 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) )  =  ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) ) )
16 fveq2 5679 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( pi  /  n )  ->  ( sin `  y )  =  ( sin `  (
pi  /  n )
) )
17 id 22 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( pi  /  n )  ->  y  =  ( pi  /  n ) )
1816, 17oveq12d 6098 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( pi  /  n )  ->  (
( sin `  y
)  /  y )  =  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) )
1913, 14, 15, 18fmptco 5863 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi 
/  n ) )  /  ( pi  /  n ) ) ) )
20 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) )
2120, 12fmpti 5854 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) : NN --> ( RR 
\  { 0 } )
224recni 9386 . . . . . . 7  |-  pi  e.  CC
23 divcnv 13299 . . . . . . 7  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) )  ~~>  0 )
2422, 23mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n
) )  ~~>  0 )
25 sinccvg 27165 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n
) ) : NN --> ( RR  \  { 0 } )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) )  ~~>  0 )  -> 
( ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) )  ~~>  1 )
2621, 24, 25sylancr 656 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) )  ~~>  1 )
2719, 26eqbrtrrd 4302 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) )  ~~>  1 )
28 2re 10379 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2928, 4remulcli 9388 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
30 circum.3 . . . . . . 7  |-  R  e.  RR
3129, 30remulcli 9388 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  e.  RR
3231recni 9386 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  e.  CC
3332a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( 2  x.  pi )  x.  R
)  e.  CC )
34 circum.2 . . . . . 6  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  n )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
35 nnex 10316 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
3635mptex 5935 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  n )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )  e. 
_V
3734, 36eqeltri 2503 . . . . 5  |-  P  e. 
_V
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  P  e.  _V )
39 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } ) 
|->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  =  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } ) 
|->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )
40 eldifi 3466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  y  e.  RR )
4140resincld 13410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  ( sin `  y
)  e.  RR )
42 eldifsni 3989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  y  =/=  0
)
4341, 40, 42redivcld 10147 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  ( ( sin `  y )  /  y
)  e.  RR )
4439, 43fmpti 5854 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } ) 
|->  ( ( sin `  y
)  /  y ) ) : ( RR 
\  { 0 } ) --> RR
45 fco 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) ) : ( RR  \  { 0 } ) --> RR  /\  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) : NN --> ( RR 
\  { 0 } ) )  ->  (
( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR )
4644, 21, 45mp2an 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( RR 
\  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y
) )  o.  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR
4719trud 1371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( RR 
\  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y
) )  o.  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) )
4847feq1i 5539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) ) : NN --> RR )
4946, 48mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi 
/  n ) )  /  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR
5049ffvelrni 5830 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  e.  RR )
5150adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  e.  RR )
5251recnd 9400 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  e.  CC )
5328recni 9386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
5522a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  pi  e.  CC )
56 nncn 10318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
5756adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
58 nnne0 10342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
5958adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  =/=  0 )
6054, 55, 57, 59divassd 10130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  pi )  /  k )  =  ( 2  x.  (
pi  /  k )
) )
6160oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 )  =  ( ( 2  x.  ( pi  / 
k ) )  / 
2 ) )
62 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
63 nndivre 10345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( pi  /  k
)  e.  RR )
644, 62, 63sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  e.  RR )
6564recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  e.  CC )
66 2ne0 10402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  2  =/=  0 )
6865, 54, 67divcan3d 10100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  (
pi  /  k )
)  /  2 )  =  ( pi  / 
k ) )
6961, 68eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 )  =  ( pi  / 
k ) )
7069fveq2d 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
pi  /  k )
) )
7164resincld 13410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( pi  / 
k ) )  e.  RR )
7271recnd 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( pi  / 
k ) )  e.  CC )
73 nnrp 10988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
7473adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR+ )
75 rpdivcl 11001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  k  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  k )  e.  RR+ )
766, 74, 75sylancr 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  e.  RR+ )
7776rpne0d 11020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  =/=  0 )
7872, 65, 77divcan2d 10097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( pi  /  k
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  k )
) )
7970, 78eqtr4d 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) )  =  ( ( pi  / 
k )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
8079oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  / 
k )  /  2
) ) )  =  ( R  x.  (
( pi  /  k
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) ) ) )
8130recni 9386 . . . . . . . . . . 11  |-  R  e.  CC
8281a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  R  e.  CC )
83 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
pi  /  n )  =  ( pi  / 
k ) )
8483fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( sin `  ( pi  /  n ) )  =  ( sin `  (
pi  /  k )
) )
8584, 83oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) )  =  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )
86 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi 
/  n ) )  /  ( pi  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) )
87 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) )  e. 
_V
8885, 86, 87fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  =  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )
8988adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  =  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )
9089, 52eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) )  e.  CC )
9182, 65, 90mulassd 9397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( R  x.  (
pi  /  k )
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( R  x.  ( ( pi  / 
k )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) ) )
9280, 91eqtr4d 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  / 
k )  /  2
) ) )  =  ( ( R  x.  ( pi  /  k
) )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
9392oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  k )  x.  (
( R  x.  (
pi  /  k )
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) ) ) )
94 mulcl 9354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  CC )
9553, 57, 94sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
96 mulcl 9354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CC  /\  ( pi  /  k
)  e.  CC )  ->  ( R  x.  ( pi  /  k
) )  e.  CC )
9781, 65, 96sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( pi  /  k ) )  e.  CC )
9895, 97, 90mulassd 9397 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( pi  /  k ) ) )  x.  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )  =  ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( R  x.  ( pi 
/  k ) )  x.  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) ) ) )
9993, 98eqtr4d 2468 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  (
pi  /  k )
) )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
10054, 57, 82, 65mul4d 9569 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  R )  x.  ( k  x.  (
pi  /  k )
) ) )
10155, 57, 59divcan2d 10097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( pi 
/  k ) )  =  pi )
102101oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  ( k  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  R )  x.  pi ) )
10354, 82, 55mul32d 9567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R ) )
104102, 103eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  ( k  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R ) )
105100, 104eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R ) )
106105oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( pi  /  k ) ) )  x.  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) ) )
10799, 106eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
108 oveq2 6088 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
109 circum.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( ( 2  x.  pi )  /  n
)
110 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  pi )  /  n )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  k
) )
111109, 110syl5eq 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  A  =  ( ( 2  x.  pi )  / 
k ) )
112111oveq1d 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  / 
k )  /  2
) )
113112fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) )
114113oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  =  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) )
115108, 114oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) ) )
116 ovex 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) )  e.  _V
117115, 34, 116fvmpt 5762 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( P `  k )  =  ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) ) )
118117adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  =  ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) ) )
11989oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  x.  R
)  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  ( ( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
120107, 118, 1193eqtr4d 2475 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) ) `  k
) ) )
1211, 3, 27, 33, 38, 52, 120climmulc2 13098 . . 3  |-  ( T. 
->  P  ~~>  ( (
( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  1 ) )
122121trud 1371 . 2  |-  P  ~~>  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  1 )
12332mulid1i 9376 . 2  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  1 )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )
124122, 123breqtri 4303 1  |-  P  ~~>  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1362   T. wtru 1363    e. wcel 1755    =/= wne 2596   _Vcvv 2962    \ cdif 3313   {csn 3865   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    o. ccom 4831   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    x. cmul 9275    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   ZZcz 10634   RR+crp 10979    ~~> cli 12946   sincsin 13332   picpi 13335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336  df-sin 13338  df-cos 13339  df-pi 13341  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184
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