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Theorem circum 30313
Description: The circumference of a circle of radius  R, defined as the limit as  n  ~~> +oo of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is  ( (
2  x.  pi )  x.  R ). (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
circum.1  |-  A  =  ( ( 2  x.  pi )  /  n
)
circum.2  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  n )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
circum.3  |-  R  e.  RR
Assertion
Ref Expression
circum  |-  P  ~~>  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )
Distinct variable group:    R, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)

Proof of Theorem circum
Dummy variables  y 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11194 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10968 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 pirp 23402 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
4 nnrp 11311 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
5 rpdivcl 11325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  n )  e.  RR+ )
63, 4, 5sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  n )  e.  RR+ )
76rprene0d 11349 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( pi  /  n
)  e.  RR  /\  ( pi  /  n
)  =/=  0 ) )
8 eldifsn 4122 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  n )  e.  ( RR  \  { 0 } )  <-> 
( ( pi  /  n )  e.  RR  /\  ( pi  /  n
)  =/=  0 ) )
97, 8sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  n )  e.  ( RR  \  {
0 } ) )
109adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
pi  /  n )  e.  ( RR  \  {
0 } ) )
11 eqidd 2423 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) )
12 eqidd 2423 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) )  =  ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) ) )
13 fveq2 5877 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( pi  /  n )  ->  ( sin `  y )  =  ( sin `  (
pi  /  n )
) )
14 id 23 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( pi  /  n )  ->  y  =  ( pi  /  n ) )
1513, 14oveq12d 6319 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( pi  /  n )  ->  (
( sin `  y
)  /  y )  =  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) )
1610, 11, 12, 15fmptco 6067 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi 
/  n ) )  /  ( pi  /  n ) ) ) )
17 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) )
1817, 9fmpti 6056 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) : NN --> ( RR 
\  { 0 } )
19 pire 23399 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
2019recni 9655 . . . . . . 7  |-  pi  e.  CC
21 divcnv 13898 . . . . . . 7  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) )  ~~>  0 )
2220, 21mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n
) )  ~~>  0 )
23 sinccvg 30312 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n
) ) : NN --> ( RR  \  { 0 } )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) )  ~~>  0 )  -> 
( ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) )  ~~>  1 )
2418, 22, 23sylancr 667 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) )  ~~>  1 )
2516, 24eqbrtrrd 4443 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) )  ~~>  1 )
26 2re 10679 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2726, 19remulcli 9657 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
28 circum.3 . . . . . . 7  |-  R  e.  RR
2927, 28remulcli 9657 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  e.  RR
3029recni 9655 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  e.  CC
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( 2  x.  pi )  x.  R
)  e.  CC )
32 circum.2 . . . . . 6  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  n )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
33 nnex 10615 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
3433mptex 6147 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  n )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )  e. 
_V
3532, 34eqeltri 2506 . . . . 5  |-  P  e. 
_V
3635a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  P  e.  _V )
37 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } ) 
|->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  =  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } ) 
|->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )
38 eldifi 3587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  y  e.  RR )
3938resincld 14184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  ( sin `  y
)  e.  RR )
40 eldifsni 4123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  y  =/=  0
)
4139, 38, 40redivcld 10435 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  ( ( sin `  y )  /  y
)  e.  RR )
4237, 41fmpti 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } ) 
|->  ( ( sin `  y
)  /  y ) ) : ( RR 
\  { 0 } ) --> RR
43 fco 5752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) ) : ( RR  \  { 0 } ) --> RR  /\  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) : NN --> ( RR 
\  { 0 } ) )  ->  (
( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR )
4442, 18, 43mp2an 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( RR 
\  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y
) )  o.  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR
4516trud 1446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( RR 
\  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y
) )  o.  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) )
4645feq1i 5734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) ) : NN --> RR )
4744, 46mpbi 211 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi 
/  n ) )  /  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR
4847ffvelrni 6032 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  e.  RR )
4948adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  e.  RR )
5049recnd 9669 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  e.  CC )
5126recni 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
5320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  pi  e.  CC )
54 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
5554adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
56 nnne0 10642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
5756adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  =/=  0 )
5852, 53, 55, 57divassd 10418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  pi )  /  k )  =  ( 2  x.  (
pi  /  k )
) )
5958oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 )  =  ( ( 2  x.  ( pi  / 
k ) )  / 
2 ) )
60 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
61 nndivre 10645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( pi  /  k
)  e.  RR )
6219, 60, 61sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  e.  RR )
6362recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  e.  CC )
64 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  2  =/=  0 )
6663, 52, 65divcan3d 10388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  (
pi  /  k )
)  /  2 )  =  ( pi  / 
k ) )
6759, 66eqtrd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 )  =  ( pi  / 
k ) )
6867fveq2d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
pi  /  k )
) )
6962resincld 14184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( pi  / 
k ) )  e.  RR )
7069recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( pi  / 
k ) )  e.  CC )
71 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
7271adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR+ )
73 rpdivcl 11325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  k  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  k )  e.  RR+ )
743, 72, 73sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  e.  RR+ )
7574rpne0d 11346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  =/=  0 )
7670, 63, 75divcan2d 10385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( pi  /  k
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  k )
) )
7768, 76eqtr4d 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) )  =  ( ( pi  / 
k )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
7877oveq2d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  / 
k )  /  2
) ) )  =  ( R  x.  (
( pi  /  k
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) ) ) )
7928recni 9655 . . . . . . . . . 10  |-  R  e.  CC
8079a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  R  e.  CC )
81 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
pi  /  n )  =  ( pi  / 
k ) )
8281fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( sin `  ( pi  /  n ) )  =  ( sin `  (
pi  /  k )
) )
8382, 81oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) )  =  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )
84 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi 
/  n ) )  /  ( pi  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) )
85 ovex 6329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) )  e. 
_V
8683, 84, 85fvmpt 5960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  =  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )
8786adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  =  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )
8887, 50eqeltrrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) )  e.  CC )
8980, 63, 88mulassd 9666 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( R  x.  (
pi  /  k )
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( R  x.  ( ( pi  / 
k )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) ) )
9078, 89eqtr4d 2466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  / 
k )  /  2
) ) )  =  ( ( R  x.  ( pi  /  k
) )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
9190oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  k )  x.  (
( R  x.  (
pi  /  k )
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) ) ) )
92 mulcl 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  CC )
9351, 55, 92sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
94 mulcl 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CC  /\  ( pi  /  k
)  e.  CC )  ->  ( R  x.  ( pi  /  k
) )  e.  CC )
9579, 63, 94sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( pi  /  k ) )  e.  CC )
9693, 95, 88mulassd 9666 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( pi  /  k ) ) )  x.  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )  =  ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( R  x.  ( pi 
/  k ) )  x.  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) ) ) )
9752, 55, 80, 63mul4d 9845 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  R )  x.  ( k  x.  (
pi  /  k )
) ) )
9853, 55, 57divcan2d 10385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( pi 
/  k ) )  =  pi )
9998oveq2d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  ( k  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  R )  x.  pi ) )
10052, 80, 53mul32d 9843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R ) )
10199, 100eqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  ( k  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R ) )
10297, 101eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R ) )
103102oveq1d 6316 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( pi  /  k ) ) )  x.  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) ) )
10491, 96, 1033eqtr2d 2469 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
105 oveq2 6309 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
106 circum.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( ( 2  x.  pi )  /  n
)
107 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  pi )  /  n )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  k
) )
108106, 107syl5eq 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  A  =  ( ( 2  x.  pi )  / 
k ) )
109108oveq1d 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  / 
k )  /  2
) )
110109fveq2d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) )
111110oveq2d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  =  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) )
112105, 111oveq12d 6319 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) ) )
113 ovex 6329 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) )  e.  _V
114112, 32, 113fvmpt 5960 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( P `  k )  =  ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) ) )
115114adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  =  ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) ) )
11687oveq2d 6317 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  x.  R
)  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  ( ( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
117104, 115, 1163eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) ) `  k
) ) )
1181, 2, 25, 31, 36, 50, 117climmulc2 13687 . . 3  |-  ( T. 
->  P  ~~>  ( (
( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  1 ) )
119118trud 1446 . 2  |-  P  ~~>  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  1 )
12030mulid1i 9645 . 2  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  1 )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )
121119, 120breqtri 4444 1  |-  P  ~~>  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1868    =/= wne 2618   _Vcvv 3081    \ cdif 3433   {csn 3996   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479    o. ccom 4853   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    x. cmul 9544    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   RR+crp 11302    ~~> cli 13535   sincsin 14103   picpi 14106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-sum 13740  df-ef 14108  df-sin 14110  df-cos 14111  df-pi 14113  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808
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