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Theorem circum 29237
Description: The circumference of a circle of radius  R, defined as the limit as  n  ~~> +oo of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is  ( (
2  x.  pi )  x.  R ). (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
circum.1  |-  A  =  ( ( 2  x.  pi )  /  n
)
circum.2  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  n )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
circum.3  |-  R  e.  RR
Assertion
Ref Expression
circum  |-  P  ~~>  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )
Distinct variable group:    R, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)

Proof of Theorem circum
Dummy variables  y 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11141 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10916 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 pirp 22980 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
4 nnrp 11254 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
5 rpdivcl 11267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  n )  e.  RR+ )
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  n )  e.  RR+ )
76rprene0d 11289 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( pi  /  n
)  e.  RR  /\  ( pi  /  n
)  =/=  0 ) )
8 eldifsn 4157 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  n )  e.  ( RR  \  { 0 } )  <-> 
( ( pi  /  n )  e.  RR  /\  ( pi  /  n
)  =/=  0 ) )
97, 8sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  n )  e.  ( RR  \  {
0 } ) )
109adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
pi  /  n )  e.  ( RR  \  {
0 } ) )
11 eqidd 2458 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) )
12 eqidd 2458 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) )  =  ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) ) )
13 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( pi  /  n )  ->  ( sin `  y )  =  ( sin `  (
pi  /  n )
) )
14 id 22 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( pi  /  n )  ->  y  =  ( pi  /  n ) )
1513, 14oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( pi  /  n )  ->  (
( sin `  y
)  /  y )  =  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) )
1610, 11, 12, 15fmptco 6065 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi 
/  n ) )  /  ( pi  /  n ) ) ) )
17 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) )
1817, 9fmpti 6055 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) : NN --> ( RR 
\  { 0 } )
19 pire 22977 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
2019recni 9625 . . . . . . 7  |-  pi  e.  CC
21 divcnv 13677 . . . . . . 7  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) )  ~~>  0 )
2220, 21mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n
) )  ~~>  0 )
23 sinccvg 29236 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n
) ) : NN --> ( RR  \  { 0 } )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) )  ~~>  0 )  -> 
( ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) )  ~~>  1 )
2418, 22, 23sylancr 663 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) )  ~~>  1 )
2516, 24eqbrtrrd 4478 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) )  ~~>  1 )
26 2re 10626 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2726, 19remulcli 9627 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
28 circum.3 . . . . . . 7  |-  R  e.  RR
2927, 28remulcli 9627 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  e.  RR
3029recni 9625 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  e.  CC
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( 2  x.  pi )  x.  R
)  e.  CC )
32 circum.2 . . . . . 6  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  n )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
33 nnex 10562 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
3433mptex 6144 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  n )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )  e. 
_V
3532, 34eqeltri 2541 . . . . 5  |-  P  e. 
_V
3635a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  P  e.  _V )
37 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } ) 
|->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  =  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } ) 
|->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )
38 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  y  e.  RR )
3938resincld 13890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  ( sin `  y
)  e.  RR )
40 eldifsni 4158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  y  =/=  0
)
4139, 38, 40redivcld 10393 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  ( ( sin `  y )  /  y
)  e.  RR )
4237, 41fmpti 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } ) 
|->  ( ( sin `  y
)  /  y ) ) : ( RR 
\  { 0 } ) --> RR
43 fco 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) ) : ( RR  \  { 0 } ) --> RR  /\  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) : NN --> ( RR 
\  { 0 } ) )  ->  (
( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR )
4442, 18, 43mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( RR 
\  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y
) )  o.  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR
4516trud 1404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( RR 
\  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y
) )  o.  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) )
4645feq1i 5729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) ) : NN --> RR )
4744, 46mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi 
/  n ) )  /  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR
4847ffvelrni 6031 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  e.  RR )
4948adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  e.  RR )
5049recnd 9639 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  e.  CC )
5126recni 9625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
5320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  pi  e.  CC )
54 nncn 10564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
56 nnne0 10589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
5756adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  =/=  0 )
5852, 53, 55, 57divassd 10376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  pi )  /  k )  =  ( 2  x.  (
pi  /  k )
) )
5958oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 )  =  ( ( 2  x.  ( pi  / 
k ) )  / 
2 ) )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
61 nndivre 10592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( pi  /  k
)  e.  RR )
6219, 60, 61sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  e.  RR )
6362recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  e.  CC )
64 2ne0 10649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  2  =/=  0 )
6663, 52, 65divcan3d 10346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  (
pi  /  k )
)  /  2 )  =  ( pi  / 
k ) )
6759, 66eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 )  =  ( pi  / 
k ) )
6867fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
pi  /  k )
) )
6962resincld 13890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( pi  / 
k ) )  e.  RR )
7069recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( pi  / 
k ) )  e.  CC )
71 nnrp 11254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR+ )
73 rpdivcl 11267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  k  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  k )  e.  RR+ )
743, 72, 73sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  e.  RR+ )
7574rpne0d 11286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  =/=  0 )
7670, 63, 75divcan2d 10343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( pi  /  k
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  k )
) )
7768, 76eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) )  =  ( ( pi  / 
k )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
7877oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  / 
k )  /  2
) ) )  =  ( R  x.  (
( pi  /  k
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) ) ) )
7928recni 9625 . . . . . . . . . 10  |-  R  e.  CC
8079a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  R  e.  CC )
81 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
pi  /  n )  =  ( pi  / 
k ) )
8281fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( sin `  ( pi  /  n ) )  =  ( sin `  (
pi  /  k )
) )
8382, 81oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) )  =  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )
84 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi 
/  n ) )  /  ( pi  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) )
85 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) )  e. 
_V
8683, 84, 85fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  =  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )
8786adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  =  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )
8887, 50eqeltrrd 2546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) )  e.  CC )
8980, 63, 88mulassd 9636 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( R  x.  (
pi  /  k )
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( R  x.  ( ( pi  / 
k )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) ) )
9078, 89eqtr4d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  / 
k )  /  2
) ) )  =  ( ( R  x.  ( pi  /  k
) )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
9190oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  k )  x.  (
( R  x.  (
pi  /  k )
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) ) ) )
92 mulcl 9593 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  CC )
9351, 55, 92sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
94 mulcl 9593 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CC  /\  ( pi  /  k
)  e.  CC )  ->  ( R  x.  ( pi  /  k
) )  e.  CC )
9579, 63, 94sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( pi  /  k ) )  e.  CC )
9693, 95, 88mulassd 9636 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( pi  /  k ) ) )  x.  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )  =  ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( R  x.  ( pi 
/  k ) )  x.  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) ) ) )
9752, 55, 80, 63mul4d 9809 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  R )  x.  ( k  x.  (
pi  /  k )
) ) )
9853, 55, 57divcan2d 10343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( pi 
/  k ) )  =  pi )
9998oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  ( k  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  R )  x.  pi ) )
10052, 80, 53mul32d 9807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R ) )
10199, 100eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  ( k  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R ) )
10297, 101eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R ) )
103102oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( pi  /  k ) ) )  x.  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) ) )
10491, 96, 1033eqtr2d 2504 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
105 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
106 circum.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( ( 2  x.  pi )  /  n
)
107 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  pi )  /  n )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  k
) )
108106, 107syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  A  =  ( ( 2  x.  pi )  / 
k ) )
109108oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  / 
k )  /  2
) )
110109fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) )
111110oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  =  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) )
112105, 111oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) ) )
113 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) )  e.  _V
114112, 32, 113fvmpt 5956 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( P `  k )  =  ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) ) )
115114adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  =  ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) ) )
11687oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  x.  R
)  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  ( ( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
117104, 115, 1163eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) ) `  k
) ) )
1181, 2, 25, 31, 36, 50, 117climmulc2 13471 . . 3  |-  ( T. 
->  P  ~~>  ( (
( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  1 ) )
119118trud 1404 . 2  |-  P  ~~>  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  1 )
12030mulid1i 9615 . 2  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  1 )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )
121119, 120breqtri 4479 1  |-  P  ~~>  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109    \ cdif 3468   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   RR+crp 11245    ~~> cli 13319   sincsin 13811   picpi 13814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397
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