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Theorem cidpropd 15198
Description: Two structures with the same base, hom-sets and composition operation have the same identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catpropd.1  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  D ) )
catpropd.2  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
catpropd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
catpropd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
Assertion
Ref Expression
cidpropd  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( Id
`  D ) )

Proof of Theorem cidpropd
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catpropd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  D ) )
21homfeqbas 15184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  C
)  =  ( Base `  D ) )
32adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Base `  C )  =  (
Base `  D )
)
4 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
5 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
6 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
71ad4antr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( Hom f  `  C
)  =  ( Hom f  `  D ) )
8 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
9 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
104, 5, 6, 7, 8, 9homfeqval 15185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( y
( Hom  `  C ) x )  =  ( y ( Hom  `  D
) x ) )
11 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
12 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
131ad5antr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  ( Hom f  `  C
)  =  ( Hom f  `  D ) )
14 catpropd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
1514ad5antr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
16 simplr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
17 simp-4r 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
18 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )
19 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )
204, 5, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 17, 18, 19comfeqval 15196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  ( g
( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  ( g (
<. y ,  x >. (comp `  D ) x ) f ) )
2120eqeq1d 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  ( (
g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  <->  ( g
( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f ) )
2210, 21raleqbidva 3067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y ( Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f ) )
234, 5, 6, 7, 9, 8homfeqval 15185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( x
( Hom  `  C ) y )  =  ( x ( Hom  `  D
) y ) )
247adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  ( Hom f  `  C
)  =  ( Hom f  `  D ) )
2514ad5antr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
269adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
27 simplr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
28 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )
29 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )
304, 5, 11, 12, 24, 25, 26, 26, 27, 28, 29comfeqval 15196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  ( f
( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  ( f (
<. x ,  x >. (comp `  D ) y ) g ) )
3130eqeq1d 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  ( (
f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) )
3223, 31raleqbidva 3067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) )
3322, 32anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( ( A. f  e.  (
y ( Hom  `  C
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f )  <-> 
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
3433ralbidva 2890 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
3534riotabidva 6248 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
361ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  D ) )
37 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
384, 5, 6, 36, 37, 37homfeqval 15185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
x ( Hom  `  C
) x )  =  ( x ( Hom  `  D ) x ) )
392ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  D
) )
4039raleqdv 3057 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y ( Hom  `  D
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D
) y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y ( Hom  `  D
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D
) y ) g )  =  f ) ) )
4138, 40riotaeqbidv 6235 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
( Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  D ) x ) A. y  e.  (
Base `  D )
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
4235, 41eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  D ) x ) A. y  e.  (
Base `  D )
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
433, 42mpteq12dva 4516 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  (
Base `  D )  |->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
( Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
44 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  C  e. 
Cat )
45 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
464, 5, 11, 44, 45cidfval 15165 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  C )  =  ( x  e.  (
Base `  C )  |->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) ) ) )
47 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
48 catpropd.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
49 catpropd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
501, 14, 48, 49catpropd 15197 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  <->  D  e.  Cat ) )
5150biimpa 482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  D  e. 
Cat )
52 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
5347, 6, 12, 51, 52cidfval 15165 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  D )  =  ( x  e.  (
Base `  D )  |->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
( Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
5443, 46, 533eqtr4d 2505 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  C )  =  ( Id `  D
) )
55 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  C  e.  Cat )
56 cidffn 15167 . . . . . . 7  |-  Id  Fn  Cat
57 fndm 5662 . . . . . . 7  |-  ( Id  Fn  Cat  ->  dom  Id  =  Cat )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  Id  =  Cat
5958eleq2i 2532 . . . . 5  |-  ( C  e.  dom  Id  <->  C  e.  Cat )
6055, 59sylnibr 303 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  C  e.  dom  Id )
61 ndmfv 5872 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  dom  Id  ->  ( Id `  C
)  =  (/) )
6260, 61syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  C )  =  (/) )
6358eleq2i 2532 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  dom  Id  <->  D  e.  Cat )
6450, 63syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  <->  D  e.  dom  Id ) )
6564notbid 292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  C  e. 
Cat 
<->  -.  D  e.  dom  Id ) )
6665biimpa 482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  D  e.  dom  Id )
67 ndmfv 5872 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  dom  Id  ->  ( Id `  D
)  =  (/) )
6866, 67syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  D )  =  (/) )
6962, 68eqtr4d 2498 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  C )  =  ( Id `  D
) )
7054, 69pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( Id
`  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   (/)c0 3783   <.cop 4022    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988    Fn wfn 5565   ` cfv 5570   iota_crio 6231  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   Hom chom 14795  compcco 14796   Catccat 15153   Idccid 15154   Hom f chomf 15155  compfccomf 15156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-cat 15157  df-cid 15158  df-homf 15159  df-comf 15160
This theorem is referenced by:  funcpropd  15388  curfpropd  15701
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