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Theorem cidpropd 15663
Description: Two structures with the same base, hom-sets and composition operation have the same identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catpropd.1  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  D ) )
catpropd.2  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
catpropd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
catpropd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
Assertion
Ref Expression
cidpropd  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( Id
`  D ) )

Proof of Theorem cidpropd
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catpropd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  D ) )
21homfeqbas 15649 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  C
)  =  ( Base `  D ) )
32adantr 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Base `  C )  =  (
Base `  D )
)
4 eqid 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
5 eqid 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
6 eqid 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
71ad4antr 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( Hom f  `  C
)  =  ( Hom f  `  D ) )
8 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
9 simpllr 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
104, 5, 6, 7, 8, 9homfeqval 15650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( y
( Hom  `  C ) x )  =  ( y ( Hom  `  D
) x ) )
11 eqid 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
12 eqid 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
131ad5antr 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  ( Hom f  `  C
)  =  ( Hom f  `  D ) )
14 catpropd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
1514ad5antr 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
16 simplr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
17 simp-4r 782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
18 simpr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )
19 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )
204, 5, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 17, 18, 19comfeqval 15661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  ( g
( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  ( g (
<. y ,  x >. (comp `  D ) x ) f ) )
2120eqeq1d 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )  ->  ( (
g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  <->  ( g
( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f ) )
2210, 21raleqbidva 3014 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y ( Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f ) )
234, 5, 6, 7, 9, 8homfeqval 15650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( x
( Hom  `  C ) y )  =  ( x ( Hom  `  D
) y ) )
247adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  ( Hom f  `  C
)  =  ( Hom f  `  D ) )
2514ad5antr 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
269adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
27 simplr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
28 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )
29 simpr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )
304, 5, 11, 12, 24, 25, 26, 26, 27, 28, 29comfeqval 15661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  ( f
( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  ( f (
<. x ,  x >. (comp `  D ) y ) g ) )
3130eqeq1d 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) )  ->  ( (
f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) )
3223, 31raleqbidva 3014 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) )
3322, 32anbi12d 722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( ( A. f  e.  (
y ( Hom  `  C
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f )  <-> 
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
3433ralbidva 2835 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
3534riotabidva 6292 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
361ad2antrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  D ) )
37 simpr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
384, 5, 6, 36, 37, 37homfeqval 15650 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
x ( Hom  `  C
) x )  =  ( x ( Hom  `  D ) x ) )
392ad2antrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  D
) )
4039raleqdv 3004 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y ( Hom  `  D
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D
) y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y ( Hom  `  D
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D
) y ) g )  =  f ) ) )
4138, 40riotaeqbidv 6279 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
( Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  D ) x ) A. y  e.  (
Base `  D )
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
4235, 41eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  D ) x ) A. y  e.  (
Base `  D )
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
433, 42mpteq12dva 4493 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  (
Base `  D )  |->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
( Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
44 simpr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  C  e. 
Cat )
45 eqid 2461 . . . 4  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
464, 5, 11, 44, 45cidfval 15630 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  C )  =  ( x  e.  (
Base `  C )  |->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) ) ) )
47 eqid 2461 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
48 catpropd.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
49 catpropd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
501, 14, 48, 49catpropd 15662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  <->  D  e.  Cat ) )
5150biimpa 491 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  D  e. 
Cat )
52 eqid 2461 . . . 4  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
5347, 6, 12, 51, 52cidfval 15630 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  D )  =  ( x  e.  (
Base `  D )  |->  ( iota_ g  e.  ( x ( Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
( Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
( Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
5443, 46, 533eqtr4d 2505 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  C )  =  ( Id `  D
) )
55 simpr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  C  e.  Cat )
56 cidffn 15632 . . . . . . 7  |-  Id  Fn  Cat
57 fndm 5696 . . . . . . 7  |-  ( Id  Fn  Cat  ->  dom  Id  =  Cat )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  Id  =  Cat
5958eleq2i 2531 . . . . 5  |-  ( C  e.  dom  Id  <->  C  e.  Cat )
6055, 59sylnibr 311 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  C  e.  dom  Id )
61 ndmfv 5911 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  dom  Id  ->  ( Id `  C
)  =  (/) )
6260, 61syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  C )  =  (/) )
6358eleq2i 2531 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  dom  Id  <->  D  e.  Cat )
6450, 63syl6bbr 271 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  <->  D  e.  dom  Id ) )
6564notbid 300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  C  e. 
Cat 
<->  -.  D  e.  dom  Id ) )
6665biimpa 491 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  D  e.  dom  Id )
67 ndmfv 5911 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  dom  Id  ->  ( Id `  D
)  =  (/) )
6866, 67syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  D )  =  (/) )
6962, 68eqtr4d 2498 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  C )  =  ( Id `  D
) )
7054, 69pm2.61dan 805 1  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( Id
`  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   (/)c0 3742   <.cop 3985    |-> cmpt 4474   dom cdm 4852    Fn wfn 5595   ` cfv 5600   iota_crio 6275  (class class class)co 6314   Basecbs 15169   Hom chom 15249  compcco 15250   Catccat 15618   Idccid 15619   Hom f chomf 15620  compfccomf 15621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-cat 15622  df-cid 15623  df-homf 15624  df-comf 15625
This theorem is referenced by:  funcpropd  15853  curfpropd  16166
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