Theorem cidfval 13856

Description: Each object in a category has an associated identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cidfval.b	|- B = ( Base ` C )
cidfval.h	|- H = ( Hom ` C )
cidfval.o	|- .x. = (comp ` C )
cidfval.c	|- ( ph -> C e. Cat )
cidfval.i	|- .1. = ( Id ` C )

Assertion

Ref	Expression
cidfval	|- ( ph -> .1. = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, y, B   C, f, g, x, y   .x. , f, g, x, y   f, H, g, x, y   ph, f, g, x, y

Allowed substitution hints:   .1. ( x, y, f, g)

Proof of Theorem cidfval

Dummy variables b c h o are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cidfval.i	. 2 |- .1. = ( Id ` C )
2		cidfval.c	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
3		fvex 5701	. . . . . 6 |- ( Base ` c ) e. _V
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( c = C -> ( Base ` c ) e. _V )
5		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( Base ` c ) = ( Base ` C ) )
6		cidfval.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` C )
7	5, 6	syl6eqr 2454	. . . . 5 |- ( c = C -> ( Base ` c ) = B )
8		fvex 5701	. . . . . . 7 |- ( Hom ` c ) e. _V
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> ( Hom ` c ) e. _V )
10		simpl 444	. . . . . . . 8 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> c = C )
11	10	fveq2d 5691	. . . . . . 7 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> ( Hom ` c ) = ( Hom ` C ) )
12		cidfval.h	. . . . . . 7 |- H = ( Hom ` C )
13	11, 12	syl6eqr 2454	. . . . . 6 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> ( Hom ` c ) = H )
14		fvex 5701	. . . . . . . 8 |- (comp ` c ) e. _V
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> (comp ` c ) e. _V )
16		simpll 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> c = C )
17	16	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> (comp ` c ) = (comp ` C ) )
18		cidfval.o	. . . . . . . 8 |- .x. = (comp ` C )
19	17, 18	syl6eqr 2454	. . . . . . 7 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> (comp ` c ) = .x. )
20		simpllr 736	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> b = B )
21		simplr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> h = H )
22	21	oveqd 6057	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( x h x ) = ( x H x ) )
23	21	oveqd 6057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( y h x ) = ( y H x ) )
24		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> o = .x. )
25	24	oveqd 6057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( <. y , x >. o x ) = ( <. y , x >. .x. x ) )
26	25	oveqd 6057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) )
27	26	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f <-> ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) )
28	23, 27	raleqbidv 2876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f <-> A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) )
29	21	oveqd 6057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( x h y ) = ( x H y ) )
30	24	oveqd 6057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( <. x , x >. o y ) = ( <. x , x >. .x. y ) )
31	30	oveqd 6057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) )
32	31	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f <-> ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) )
33	29, 32	raleqbidv 2876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f <-> A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) )
34	28, 33	anbi12d 692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) <-> ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) )
35	20, 34	raleqbidv 2876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) <-> A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) )
36	22, 35	riotaeqbidv 6511	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) = ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) )
37	20, 36	mpteq12dv 4247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
38	15, 19, 37	csbied2 3254	. . . . . 6 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
39	9, 13, 38	csbied2 3254	. . . . 5 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> [_ ( Hom ` c ) / h ]_ [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
40	4, 7, 39	csbied2 3254	. . . 4 |- ( c = C -> [_ ( Base ` c ) / b ]_ [_ ( Hom ` c ) / h ]_ [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
41		df-cid 13849	. . . 4 |- Id = ( c e. Cat |-> [_ ( Base ` c ) / b ]_ [_ ( Hom ` c ) / h ]_ [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) )
42		fvex 5701	. . . . . 6 |- ( Base ` C ) e. _V
43	6, 42	eqeltri 2474	. . . . 5 |- B e. _V
44	43	mptex 5925	. . . 4 |- ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) e. _V
45	40, 41, 44	fvmpt 5765	. . 3 |- ( C e. Cat -> ( Id ` C ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
46	2, 45	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( Id ` C ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
47	1, 46	syl5eq 2448	1 |- ( ph -> .1. = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [_csb 3211   <.cop 3777   e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   iota_crio 6501   Basecbs 13424   Hom chom 13495  compcco 13496   Catccat 13844   Idccid 13845

This theorem is referenced by:  cidval  13857  cidfn  13859  catidd  13860  cidpropd  13891

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-riota 6508  df-cid 13849