Theorem cidfval 15093

Description: Each object in a category has an associated identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cidfval.b	|- B = ( Base ` C )
cidfval.h	|- H = ( Hom ` C )
cidfval.o	|- .x. = (comp ` C )
cidfval.c	|- ( ph -> C e. Cat )
cidfval.i	|- .1. = ( Id ` C )

Assertion

Ref	Expression
cidfval	|- ( ph -> .1. = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, y, B   C, f, g, x, y   .x. , f, g, x, y   f, H, g, x, y   ph, f, g, x, y

Allowed substitution hints:   .1. ( x, y, f, g)

Proof of Theorem cidfval

Dummy variables b c h o are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cidfval.i	. 2 |- .1. = ( Id ` C )
2		cidfval.c	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
3		fvex 5882	. . . . . 6 |- ( Base ` c ) e. _V
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( c = C -> ( Base ` c ) e. _V )
5		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( Base ` c ) = ( Base ` C ) )
6		cidfval.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` C )
7	5, 6	syl6eqr 2516	. . . . 5 |- ( c = C -> ( Base ` c ) = B )
8		fvex 5882	. . . . . . 7 |- ( Hom ` c ) e. _V
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> ( Hom ` c ) e. _V )
10		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> c = C )
11	10	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> ( Hom ` c ) = ( Hom ` C ) )
12		cidfval.h	. . . . . . 7 |- H = ( Hom ` C )
13	11, 12	syl6eqr 2516	. . . . . 6 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> ( Hom ` c ) = H )
14		fvex 5882	. . . . . . . 8 |- (comp ` c ) e. _V
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> (comp ` c ) e. _V )
16		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> c = C )
17	16	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> (comp ` c ) = (comp ` C ) )
18		cidfval.o	. . . . . . . 8 |- .x. = (comp ` C )
19	17, 18	syl6eqr 2516	. . . . . . 7 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> (comp ` c ) = .x. )
20		simpllr 760	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> b = B )
21		simplr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> h = H )
22	21	oveqd 6313	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( x h x ) = ( x H x ) )
23	21	oveqd 6313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( y h x ) = ( y H x ) )
24		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> o = .x. )
25	24	oveqd 6313	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( <. y , x >. o x ) = ( <. y , x >. .x. x ) )
26	25	oveqd 6313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) )
27	26	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f <-> ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) )
28	23, 27	raleqbidv 3068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f <-> A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) )
29	21	oveqd 6313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( x h y ) = ( x H y ) )
30	24	oveqd 6313	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( <. x , x >. o y ) = ( <. x , x >. .x. y ) )
31	30	oveqd 6313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) )
32	31	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f <-> ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) )
33	29, 32	raleqbidv 3068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f <-> A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) )
34	28, 33	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) <-> ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) )
35	20, 34	raleqbidv 3068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) <-> A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) )
36	22, 35	riotaeqbidv 6261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) = ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) )
37	20, 36	mpteq12dv 4535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
38	15, 19, 37	csbied2 3458	. . . . . 6 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
39	9, 13, 38	csbied2 3458	. . . . 5 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> [_ ( Hom ` c ) / h ]_ [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
40	4, 7, 39	csbied2 3458	. . . 4 |- ( c = C -> [_ ( Base ` c ) / b ]_ [_ ( Hom ` c ) / h ]_ [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
41		df-cid 15086	. . . 4 |- Id = ( c e. Cat |-> [_ ( Base ` c ) / b ]_ [_ ( Hom ` c ) / h ]_ [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) )
42		fvex 5882	. . . . . 6 |- ( Base ` C ) e. _V
43	6, 42	eqeltri 2541	. . . . 5 |- B e. _V
44	43	mptex 6144	. . . 4 |- ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) e. _V
45	40, 41, 44	fvmpt 5956	. . 3 |- ( C e. Cat -> ( Id ` C ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
46	2, 45	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( Id ` C ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
47	1, 46	syl5eq 2510	1 |- ( ph -> .1. = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   [_csb 3430   <.cop 4038   |-> cmpt 4515   ` cfv 5594   iota_crio 6257  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   Hom chom 14723  compcco 14724   Catccat 15081   Idccid 15082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-cid 15086

This theorem is referenced by:  cidval  15094  cidfn  15096  catidd  15097  cidpropd  15126