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Theorem cidfval 14619
Description: Each object in a category has an associated identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cidfval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
cidfval.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
cidfval.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
cidfval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
cidfval.i  |-  .1.  =  ( Id `  C )
Assertion
Ref Expression
cidfval  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, y, B    C, f,
g, x, y    .x. , f,
g, x, y    f, H, g, x, y    ph, f,
g, x, y
Allowed substitution hints:    .1. ( x, y, f, g)

Proof of Theorem cidfval
Dummy variables  b 
c  h  o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cidfval.i . 2  |-  .1.  =  ( Id `  C )
2 cidfval.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
3 fvex 5706 . . . . . 6  |-  ( Base `  c )  e.  _V
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( Base `  c )  e. 
_V )
5 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  ( Base `  c )  =  ( Base `  C
) )
6 cidfval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  C
)
75, 6syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( Base `  c )  =  B )
8 fvex 5706 . . . . . . 7  |-  ( Hom  `  c )  e.  _V
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  ->  ( Hom  `  c
)  e.  _V )
10 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  ->  c  =  C )
1110fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  ->  ( Hom  `  c
)  =  ( Hom  `  C ) )
12 cidfval.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
1311, 12syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  ->  ( Hom  `  c
)  =  H )
14 fvex 5706 . . . . . . . 8  |-  (comp `  c )  e.  _V
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  ->  (comp `  c )  e.  _V )
16 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  ->  c  =  C )
1716fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  ->  (comp `  c )  =  (comp `  C ) )
18 cidfval.o . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (comp `  C )
1917, 18syl6eqr 2493 . . . . . . 7  |-  ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  ->  (comp `  c )  =  .x.  )
20 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  b  =  B )
21 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  h  =  H )
2221oveqd 6113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
x h x )  =  ( x H x ) )
2321oveqd 6113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
y h x )  =  ( y H x ) )
24 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  o  =  .x.  )
2524oveqd 6113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  ( <. y ,  x >. o x )  =  (
<. y ,  x >.  .x.  x ) )
2625oveqd 6113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
g ( <. y ,  x >. o x ) f )  =  ( g ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f ) )
2726eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
( g ( <.
y ,  x >. o x ) f )  =  f  <->  ( g
( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f ) )
2823, 27raleqbidv 2936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  ( A. f  e.  (
y h x ) ( g ( <.
y ,  x >. o x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f ) )
2921oveqd 6113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
x h y )  =  ( x H y ) )
3024oveqd 6113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  ( <. x ,  x >. o y )  =  (
<. x ,  x >.  .x.  y ) )
3130oveqd 6113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g ) )
3231eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
( f ( <.
x ,  x >. o y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
3329, 32raleqbidv 2936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  ( A. f  e.  (
x h y ) ( f ( <.
x ,  x >. o y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
3428, 33anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f )  <->  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) )
3520, 34raleqbidv 2936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  ( A. y  e.  b 
( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) )
3622, 35riotaeqbidv 6060 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  ( iota_ g  e.  ( x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  (
y h x ) ( g ( <.
y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f ) )  =  (
iota_ g  e.  (
x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) )
3720, 36mpteq12dv 4375 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
x  e.  b  |->  (
iota_ g  e.  (
x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
3815, 19, 37csbied2 3320 . . . . . 6  |-  ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  ->  [_ (comp `  c )  /  o ]_ ( x  e.  b 
|->  ( iota_ g  e.  ( x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
399, 13, 38csbied2 3320 . . . . 5  |-  ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  ->  [_ ( Hom  `  c
)  /  h ]_ [_ (comp `  c )  /  o ]_ (
x  e.  b  |->  (
iota_ g  e.  (
x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
404, 7, 39csbied2 3320 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  [_ ( Base `  c )  / 
b ]_ [_ ( Hom  `  c )  /  h ]_ [_ (comp `  c
)  /  o ]_ ( x  e.  b  |->  ( iota_ g  e.  ( x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
41 df-cid 14612 . . . 4  |-  Id  =  ( c  e.  Cat  |->  [_ ( Base `  c
)  /  b ]_ [_ ( Hom  `  c
)  /  h ]_ [_ (comp `  c )  /  o ]_ (
x  e.  b  |->  (
iota_ g  e.  (
x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f ) ) ) )
42 fvex 5706 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  e.  _V
436, 42eqeltri 2513 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
4443mptex 5953 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) )  e.  _V
4540, 41, 44fvmpt 5779 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Id `  C )  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
462, 45syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
471, 46syl5eq 2487 1  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977   [_csb 3293   <.cop 3888    e. cmpt 4355   ` cfv 5423   iota_crio 6056  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   Hom chom 14254  compcco 14255   Catccat 14607   Idccid 14608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-cid 14612
This theorem is referenced by:  cidval  14620  cidfn  14622  catidd  14623  cidpropd  14654
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