Theorem cidfval 15594

Description: Each object in a category has an associated identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cidfval.b	|- B = ( Base ` C )
cidfval.h	|- H = ( Hom ` C )
cidfval.o	|- .x. = (comp ` C )
cidfval.c	|- ( ph -> C e. Cat )
cidfval.i	|- .1. = ( Id ` C )

Assertion

Ref	Expression
cidfval	|- ( ph -> .1. = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, y, B   C, f, g, x, y   .x. , f, g, x, y   f, H, g, x, y   ph, f, g, x, y

Allowed substitution hints:   .1. ( x, y, f, g)

Proof of Theorem cidfval

Dummy variables b c h o are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cidfval.i	. 2 |- .1. = ( Id ` C )
2		cidfval.c	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
3		fvex 5880	. . . . . 6 |- ( Base ` c ) e. _V
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( c = C -> ( Base ` c ) e. _V )
5		fveq2 5870	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( Base ` c ) = ( Base ` C ) )
6		cidfval.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` C )
7	5, 6	syl6eqr 2505	. . . . 5 |- ( c = C -> ( Base ` c ) = B )
8		fvex 5880	. . . . . . 7 |- ( Hom ` c ) e. _V
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> ( Hom ` c ) e. _V )
10		simpl 459	. . . . . . . 8 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> c = C )
11	10	fveq2d 5874	. . . . . . 7 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> ( Hom ` c ) = ( Hom ` C ) )
12		cidfval.h	. . . . . . 7 |- H = ( Hom ` C )
13	11, 12	syl6eqr 2505	. . . . . 6 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> ( Hom ` c ) = H )
14		fvex 5880	. . . . . . . 8 |- (comp ` c ) e. _V
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> (comp ` c ) e. _V )
16		simpll 761	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> c = C )
17	16	fveq2d 5874	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> (comp ` c ) = (comp ` C ) )
18		cidfval.o	. . . . . . . 8 |- .x. = (comp ` C )
19	17, 18	syl6eqr 2505	. . . . . . 7 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> (comp ` c ) = .x. )
20		simpllr 770	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> b = B )
21		simplr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> h = H )
22	21	oveqd 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( x h x ) = ( x H x ) )
23	21	oveqd 6312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( y h x ) = ( y H x ) )
24		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> o = .x. )
25	24	oveqd 6312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( <. y , x >. o x ) = ( <. y , x >. .x. x ) )
26	25	oveqd 6312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) )
27	26	eqeq1d 2455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f <-> ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) )
28	23, 27	raleqbidv 3003	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f <-> A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) )
29	21	oveqd 6312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( x h y ) = ( x H y ) )
30	24	oveqd 6312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( <. x , x >. o y ) = ( <. x , x >. .x. y ) )
31	30	oveqd 6312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) )
32	31	eqeq1d 2455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f <-> ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) )
33	29, 32	raleqbidv 3003	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f <-> A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) )
34	28, 33	anbi12d 718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) <-> ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) )
35	20, 34	raleqbidv 3003	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) <-> A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) )
36	22, 35	riotaeqbidv 6260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) = ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) )
37	20, 36	mpteq12dv 4484	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
38	15, 19, 37	csbied2 3393	. . . . . 6 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
39	9, 13, 38	csbied2 3393	. . . . 5 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> [_ ( Hom ` c ) / h ]_ [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
40	4, 7, 39	csbied2 3393	. . . 4 |- ( c = C -> [_ ( Base ` c ) / b ]_ [_ ( Hom ` c ) / h ]_ [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
41		df-cid 15587	. . . 4 |- Id = ( c e. Cat |-> [_ ( Base ` c ) / b ]_ [_ ( Hom ` c ) / h ]_ [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) )
42		fvex 5880	. . . . . 6 |- ( Base ` C ) e. _V
43	6, 42	eqeltri 2527	. . . . 5 |- B e. _V
44	43	mptex 6141	. . . 4 |- ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) e. _V
45	40, 41, 44	fvmpt 5953	. . 3 |- ( C e. Cat -> ( Id ` C ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
46	2, 45	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( Id ` C ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
47	1, 46	syl5eq 2499	1 |- ( ph -> .1. = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   _Vcvv 3047   [_csb 3365   <.cop 3976   |-> cmpt 4464   ` cfv 5585   iota_crio 6256  (class class class)co 6295   Basecbs 15133   Hom chom 15213  compcco 15214   Catccat 15582   Idccid 15583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pr 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-cid 15587

This theorem is referenced by:  cidval  15595  cidfn  15597  catidd  15598  cidpropd  15627