Theorem cidfval 14948

Description: Each object in a category has an associated identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cidfval.b	|- B = ( Base ` C )
cidfval.h	|- H = ( Hom ` C )
cidfval.o	|- .x. = (comp ` C )
cidfval.c	|- ( ph -> C e. Cat )
cidfval.i	|- .1. = ( Id ` C )

Assertion

Ref	Expression
cidfval	|- ( ph -> .1. = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, y, B   C, f, g, x, y   .x. , f, g, x, y   f, H, g, x, y   ph, f, g, x, y

Allowed substitution hints:   .1. ( x, y, f, g)

Proof of Theorem cidfval

Dummy variables b c h o are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cidfval.i	. 2 |- .1. = ( Id ` C )
2		cidfval.c	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
3		fvex 5882	. . . . . 6 |- ( Base ` c ) e. _V
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( c = C -> ( Base ` c ) e. _V )
5		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( Base ` c ) = ( Base ` C ) )
6		cidfval.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` C )
7	5, 6	syl6eqr 2526	. . . . 5 |- ( c = C -> ( Base ` c ) = B )
8		fvex 5882	. . . . . . 7 |- ( Hom ` c ) e. _V
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> ( Hom ` c ) e. _V )
10		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> c = C )
11	10	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> ( Hom ` c ) = ( Hom ` C ) )
12		cidfval.h	. . . . . . 7 |- H = ( Hom ` C )
13	11, 12	syl6eqr 2526	. . . . . 6 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> ( Hom ` c ) = H )
14		fvex 5882	. . . . . . . 8 |- (comp ` c ) e. _V
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> (comp ` c ) e. _V )
16		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> c = C )
17	16	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> (comp ` c ) = (comp ` C ) )
18		cidfval.o	. . . . . . . 8 |- .x. = (comp ` C )
19	17, 18	syl6eqr 2526	. . . . . . 7 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> (comp ` c ) = .x. )
20		simpllr 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> b = B )
21		simplr 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> h = H )
22	21	oveqd 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( x h x ) = ( x H x ) )
23	21	oveqd 6312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( y h x ) = ( y H x ) )
24		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> o = .x. )
25	24	oveqd 6312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( <. y , x >. o x ) = ( <. y , x >. .x. x ) )
26	25	oveqd 6312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) )
27	26	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f <-> ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) )
28	23, 27	raleqbidv 3077	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f <-> A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) )
29	21	oveqd 6312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( x h y ) = ( x H y ) )
30	24	oveqd 6312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( <. x , x >. o y ) = ( <. x , x >. .x. y ) )
31	30	oveqd 6312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) )
32	31	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f <-> ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) )
33	29, 32	raleqbidv 3077	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f <-> A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) )
34	28, 33	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) <-> ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) )
35	20, 34	raleqbidv 3077	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) <-> A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) )
36	22, 35	riotaeqbidv 6259	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) = ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) )
37	20, 36	mpteq12dv 4531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
38	15, 19, 37	csbied2 3468	. . . . . 6 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
39	9, 13, 38	csbied2 3468	. . . . 5 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> [_ ( Hom ` c ) / h ]_ [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
40	4, 7, 39	csbied2 3468	. . . 4 |- ( c = C -> [_ ( Base ` c ) / b ]_ [_ ( Hom ` c ) / h ]_ [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
41		df-cid 14941	. . . 4 |- Id = ( c e. Cat |-> [_ ( Base ` c ) / b ]_ [_ ( Hom ` c ) / h ]_ [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) )
42		fvex 5882	. . . . . 6 |- ( Base ` C ) e. _V
43	6, 42	eqeltri 2551	. . . . 5 |- B e. _V
44	43	mptex 6142	. . . 4 |- ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) e. _V
45	40, 41, 44	fvmpt 5957	. . 3 |- ( C e. Cat -> ( Id ` C ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
46	2, 45	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( Id ` C ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
47	1, 46	syl5eq 2520	1 |- ( ph -> .1. = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   [_csb 3440   <.cop 4039   |-> cmpt 4511   ` cfv 5594   iota_crio 6255  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   Hom chom 14583  compcco 14584   Catccat 14936   Idccid 14937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-cid 14941

This theorem is referenced by:  cidval  14949  cidfn  14951  catidd  14952  cidpropd  14983