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Theorem cidfval 15594
Description: Each object in a category has an associated identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cidfval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
cidfval.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
cidfval.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
cidfval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
cidfval.i  |-  .1.  =  ( Id `  C )
Assertion
Ref Expression
cidfval  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, y, B    C, f,
g, x, y    .x. , f,
g, x, y    f, H, g, x, y    ph, f,
g, x, y
Allowed substitution hints:    .1. ( x, y, f, g)

Proof of Theorem cidfval
Dummy variables  b 
c  h  o are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cidfval.i . 2  |-  .1.  =  ( Id `  C )
2 cidfval.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
3 fvex 5880 . . . . . 6  |-  ( Base `  c )  e.  _V
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( Base `  c )  e. 
_V )
5 fveq2 5870 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  ( Base `  c )  =  ( Base `  C
) )
6 cidfval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  C
)
75, 6syl6eqr 2505 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( Base `  c )  =  B )
8 fvex 5880 . . . . . . 7  |-  ( Hom  `  c )  e.  _V
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  ->  ( Hom  `  c
)  e.  _V )
10 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  ->  c  =  C )
1110fveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  ->  ( Hom  `  c
)  =  ( Hom  `  C ) )
12 cidfval.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
1311, 12syl6eqr 2505 . . . . . 6  |-  ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  ->  ( Hom  `  c
)  =  H )
14 fvex 5880 . . . . . . . 8  |-  (comp `  c )  e.  _V
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  ->  (comp `  c )  e.  _V )
16 simpll 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  ->  c  =  C )
1716fveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  ->  (comp `  c )  =  (comp `  C ) )
18 cidfval.o . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (comp `  C )
1917, 18syl6eqr 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  ->  (comp `  c )  =  .x.  )
20 simpllr 770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  b  =  B )
21 simplr 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  h  =  H )
2221oveqd 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
x h x )  =  ( x H x ) )
2321oveqd 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
y h x )  =  ( y H x ) )
24 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  o  =  .x.  )
2524oveqd 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  ( <. y ,  x >. o x )  =  (
<. y ,  x >.  .x.  x ) )
2625oveqd 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
g ( <. y ,  x >. o x ) f )  =  ( g ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f ) )
2726eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
( g ( <.
y ,  x >. o x ) f )  =  f  <->  ( g
( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f ) )
2823, 27raleqbidv 3003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  ( A. f  e.  (
y h x ) ( g ( <.
y ,  x >. o x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f ) )
2921oveqd 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
x h y )  =  ( x H y ) )
3024oveqd 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  ( <. x ,  x >. o y )  =  (
<. x ,  x >.  .x.  y ) )
3130oveqd 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g ) )
3231eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
( f ( <.
x ,  x >. o y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
3329, 32raleqbidv 3003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  ( A. f  e.  (
x h y ) ( f ( <.
x ,  x >. o y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
3428, 33anbi12d 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f )  <->  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) )
3520, 34raleqbidv 3003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  ( A. y  e.  b 
( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) )
3622, 35riotaeqbidv 6260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  ( iota_ g  e.  ( x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  (
y h x ) ( g ( <.
y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f ) )  =  (
iota_ g  e.  (
x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) )
3720, 36mpteq12dv 4484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  /\  o  =  .x.  )  ->  (
x  e.  b  |->  (
iota_ g  e.  (
x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
3815, 19, 37csbied2 3393 . . . . . 6  |-  ( ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  /\  h  =  H )  ->  [_ (comp `  c )  /  o ]_ ( x  e.  b 
|->  ( iota_ g  e.  ( x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
399, 13, 38csbied2 3393 . . . . 5  |-  ( ( c  =  C  /\  b  =  B )  ->  [_ ( Hom  `  c
)  /  h ]_ [_ (comp `  c )  /  o ]_ (
x  e.  b  |->  (
iota_ g  e.  (
x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
404, 7, 39csbied2 3393 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  [_ ( Base `  c )  / 
b ]_ [_ ( Hom  `  c )  /  h ]_ [_ (comp `  c
)  /  o ]_ ( x  e.  b  |->  ( iota_ g  e.  ( x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
41 df-cid 15587 . . . 4  |-  Id  =  ( c  e.  Cat  |->  [_ ( Base `  c
)  /  b ]_ [_ ( Hom  `  c
)  /  h ]_ [_ (comp `  c )  /  o ]_ (
x  e.  b  |->  (
iota_ g  e.  (
x h x ) A. y  e.  b  ( A. f  e.  ( y h x ) ( g (
<. y ,  x >. o x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x h y ) ( f ( <. x ,  x >. o y ) g )  =  f ) ) ) )
42 fvex 5880 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  e.  _V
436, 42eqeltri 2527 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
4443mptex 6141 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) )  e.  _V
4540, 41, 44fvmpt 5953 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Id `  C )  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
462, 45syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
471, 46syl5eq 2499 1  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   _Vcvv 3047   [_csb 3365   <.cop 3976    |-> cmpt 4464   ` cfv 5585   iota_crio 6256  (class class class)co 6295   Basecbs 15133   Hom chom 15213  compcco 15214   Catccat 15582   Idccid 15583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-cid 15587
This theorem is referenced by:  cidval  15595  cidfn  15597  catidd  15598  cidpropd  15627
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