MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtwordi Structured version   Unicode version

Theorem chtwordi 22499
Description: The Chebyshev function is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtwordi  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( theta `  A )  <_ 
( theta `  B )
)

Proof of Theorem chtwordi
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
2 ppifi 22448 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( 0 [,] B
)  i^i  Prime )  e. 
Fin )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( 0 [,] B
)  i^i  Prime )  e. 
Fin )
4 inss2 3576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 [,] B )  i^i  Prime )  C_  Prime
5 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )
64, 5sseldi 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  Prime )
7 prmuz2 13786 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
9 eluz2b2 10932 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
108, 9sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  e.  NN  /\  1  <  p ) )
1110simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  NN )
1211nnred 10342 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  RR )
1310simprd 463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  -> 
1  <  p )
1412, 13rplogcld 22083 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR+ )
1514rpred 11032 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR )
1614rpge0d 11036 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <_  ( log `  p ) )
17 0red 9392 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  0  e.  RR )
18 0le0 10416 . . . . . 6  |-  0  <_  0
1918a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  0  <_  0 )
20 simp3 990 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
21 iccss 11368 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
0  /\  A  <_  B ) )  ->  (
0 [,] A ) 
C_  ( 0 [,] B ) )
2217, 1, 19, 20, 21syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
0 [,] A ) 
C_  ( 0 [,] B ) )
23 ssrin 3580 . . . 4  |-  ( ( 0 [,] A ) 
C_  ( 0 [,] B )  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  C_  ( ( 0 [,] B )  i^i  Prime ) )
2422, 23syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  C_  ( ( 0 [,] B )  i^i  Prime ) )
253, 15, 16, 24fsumless 13264 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  <_  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] B )  i^i  Prime ) ( log `  p
) )
26 chtval 22453 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( theta `  A )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )
27263ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( theta `  A )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )
28 chtval 22453 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  ( theta `  B )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] B
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )
291, 28syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( theta `  B )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] B
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )
3025, 27, 293brtr4d 4327 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( theta `  A )  <_ 
( theta `  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3332    C_ wss 3333   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    < clt 9423    <_ cle 9424   NNcn 10327   2c2 10376   ZZ>=cuz 10866   [,]cicc 11308   sum_csu 13168   Primecprime 13768   logclog 22011   thetaccht 22433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-dvds 13541  df-prm 13769  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-cht 22439
This theorem is referenced by:  chtrpcl  22518  bposlem6  22633
  Copyright terms: Public domain W3C validator