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Theorem chtublem 22555
Description: Lemma for chtub 22556. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtublem  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  N
)  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  - 
1 ) ) ) )

Proof of Theorem chtublem
Dummy variables  k  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10484 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
2 nnmulcl 10350 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
31, 2mpan 670 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  NN )
43nnred 10342 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
5 peano2rem 9680 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR )
7 chtcl 22452 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e.  RR )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e.  RR )
9 nnre 10334 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
10 chtcl 22452 . . . 4  |-  ( N  e.  RR  ->  ( theta `  N )  e.  RR )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  N )  e.  RR )
12 nnnn0 10591 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
13 2m1e1 10441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1413oveq2i 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  1 )
153nncnd 10343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
16 2cn 10397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
17 ax-1cn 9345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
18 subsub 9644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
1916, 17, 18mp3an23 1306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
2015, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
21 nncn 10335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
22 subdi 9783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
2316, 17, 22mp3an13 1305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
2421, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
25 2t1e2 10475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
2625oveq2i 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  2 )
2724, 26syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  - 
2 ) )
2827oveq1d 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
2920, 28eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
3014, 29syl5eqr 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
31 2nn0 10601 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
32 nnm1nn0 10626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
33 nn0mulcl 10621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )
3431, 32, 33sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )
35 nn0p1nn 10624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  NN )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  NN )
3730, 36eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN )
38 nnnn0 10591 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
3937, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
40 1re 9390 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
42 nnge1 10353 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
4341, 9, 9, 42leadd2dd 9959 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  <_  ( N  +  N ) )
44212timesd 10572 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
4543, 44breqtrrd 4323 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
46 leaddsub 9820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  x.  N )  e.  RR )  -> 
( ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
N  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )
479, 41, 4, 46syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  N  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
4845, 47mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )
49 elfz2nn0 11485 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e. 
NN0  /\  N  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
5012, 39, 48, 49syl3anbrc 1172 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
51 bccl2 12104 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN )
5250, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN )
5352nnrpd 11031 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  RR+ )
5453relogcld 22077 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  RR )
5511, 54readdcld 9418 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  RR )
56 4re 10403 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
57 4pos 10422 . . . . . 6  |-  0  <  4
5856, 57elrpii 10999 . . . . 5  |-  4  e.  RR+
59 relogcl 22032 . . . . 5  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( log `  4 )  e.  RR )
6058, 59ax-mp 5 . . . 4  |-  ( log `  4 )  e.  RR
6132nn0red 10642 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
62 remulcl 9372 . . . 4  |-  ( ( ( log `  4
)  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  RR )  ->  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
6360, 61, 62sylancr 663 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
6411, 63readdcld 9418 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  N )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
65 iftrue 3802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
67 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
6852adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  NN )
6967, 68pccld 13922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN0 )
70 nn0addge1 10631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( 1  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
7140, 69, 70sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
1  <_  ( 1  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
72 iftrue 3802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  <_  N  ->  if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  =  1 )
7372oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  <_  N  ->  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( 1  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
7473breq2d 4309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  <_  N  ->  (
1  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  1  <_  ( 1  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
7571, 74syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  <_  N  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  ( p  <_  N  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
77 prmnn 13771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
7877ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  p  e.  NN )
79 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )
80 prmz 13772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
8137nnzd 10751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  ZZ )
82 eluz 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
8380, 81, 82syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
8483adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
8579, 84mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  p ) )
86 dvdsfac 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  p ) )  ->  p  ||  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
8778, 85, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  p  ||  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
88 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
89 faccl 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e.  NN )
9039, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN )
91 pcelnn 13941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
9288, 90, 91syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
9487, 93mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN )
9594nnge1d 10369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
1  <_  ( p  pCnt  ( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )
96 iffalse 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  p  <_  N  ->  if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  =  0 )
9796oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  p  <_  N  ->  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( 0  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
9897ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( 0  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
9969nn0cnd 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  CC )
10099addid2d 9575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 0  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( 0  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
102 bcval2 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  -  N
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
10350, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  -  N
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
10444oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  =  ( ( N  +  N )  - 
1 ) )
10517a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
10621, 21, 105addsubassd 9744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  N
)  -  1 )  =  ( N  +  ( N  -  1
) ) )
107104, 106eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  =  ( N  +  ( N  -  1
) ) )
108107oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N )  =  ( ( N  +  ( N  - 
1 ) )  -  N ) )
10932nn0cnd 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
11021, 109pncan2d 9726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  ( N  -  1 ) )  -  N )  =  ( N  - 
1 ) )
111108, 110eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N )  =  ( N  - 
1 ) )
112111fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  -  N ) )  =  ( ! `  ( N  -  1
) ) )
113112oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N ) )  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
114113oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  /  ( ( ! `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  -  N ) )  x.  ( ! `  N ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
115103, 114eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
116115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  /  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
117116oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( p 
pCnt  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) ) ) )
118 nnz 10673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
119 nnne0 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 )
120118, 119jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 ) )
12190, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 ) )
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  =/=  0 ) )
123 faccl 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  e.  NN )
12432, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN )
125 faccl 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
12612, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
127124, 126nnmulcld 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 N ) )  e.  NN )
128127adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )
129 pcdiv 13924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )  ->  ( p  pCnt  ( ( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  /  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( p  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) ) )
13067, 122, 128, 129syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  /  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( p  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) ) )
131 nnz 10673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
132 nnne0 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 )
133131, 132jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 ) )
134124, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 ) )
135134adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 ) )
136 nnz 10673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  ZZ )
137 nnne0 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =/=  0 )
138136, 137jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  N )  =/=  0 ) )
139126, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  N )  =/=  0 ) )
140139adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  N )  e.  ZZ  /\  ( ! `  N
)  =/=  0 ) )
141 pcmul 13923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  N )  e.  ZZ  /\  ( ! `  N
)  =/=  0 ) )  ->  ( p  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) )
14267, 135, 140, 141syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p  pCnt  ( ! `  N )
) ) )
143142oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( p 
pCnt  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )  =  ( ( p 
pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) ) )
144117, 130, 1433eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) ) )
145144adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) ) )
146 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  -.  p  <_  N )
147 prmfac1 13809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ! `  N
) )  ->  p  <_  N )
1481473expia 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  ->  p  <_  N )
)
14912, 148sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  ->  p  <_  N )
)
150149adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  ->  p  <_  N )
)
151146, 150mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  -.  p  ||  ( ! `
 N ) )
15280adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
153135simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
154 nnz 10673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
155154adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
156 dvdsmultr1 13572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  N
) ) )
157152, 153, 155, 156syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) ) )
158 facnn2 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
159158adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  =  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) )
160159breq2d 4309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  <->  p 
||  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) ) )
161157, 160sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  ( ! `  N )
) )
162161adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  ( ! `  N )
) )
163151, 162mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  -.  p  ||  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) )
164 pceq0 13942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  ( N  -  1
) ) ) )
16588, 124, 164syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  ( N  -  1
) ) ) )
166165adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  ( N  -  1
) ) ) )
167163, 166mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0 )
168 pceq0 13942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  ( ! `  N )
)  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  N ) ) )
16988, 126, 168syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  N ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  N ) ) )
170169adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  N ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  N ) ) )
171151, 170mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  N )
)  =  0 )
172167, 171oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
173 00id 9549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  +  0 )  =  0
174172, 173syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) )  =  0 )
175174oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p  pCnt  ( ! `  N )
) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  0 ) )
176 pccl 13921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
17788, 90, 176syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
178177nn0cnd 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  CC )
179178subid1d 9713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  0 )  =  ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
180179adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  0 )  =  ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
181145, 175, 1803eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( p 
pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
18298, 101, 1813eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
18395, 182breqtrrd 4323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
1  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
184183expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  ( -.  p  <_  N  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
18576, 184pm2.61d 158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
18666, 185eqbrtrd 4317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  <_ 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
187186ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  <_ 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
188 1nn0 10600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN0
189 0nn0 10599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
190188, 189keepel 3862 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  e.  NN0
191 nn0addcl 10620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  e.  NN0  /\  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN0 )  ->  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  NN0 )
192190, 69, 191sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  NN0 )
193192nn0ge0d 10644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
0  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
194 iffalse 3804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  p  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 )  ->  if ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
195194breq1d 4307 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  p  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 )  -> 
( if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  <_ 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  0  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
196193, 195syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( -.  p  <_ 
( ( 2  x.  N )  -  1 )  ->  if (
p  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ,  1 ,  0 )  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
197187, 196pm2.61d 158 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  if ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ,  1 ,  0 )  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
198 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
199198prmorcht 22521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
20037, 199syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
201200oveq2d 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  =  ( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )
202201adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )  =  ( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )
203 nncn 10335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
204203exp1d 12008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
205204ifeq1d 3812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
206205mpteq2ia 4379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
207206eqcomi 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )
208188a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  n  e.  Prime )  ->  1  e.  NN0 )
209208ralrimiva 2804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  1  e.  NN0 )
21037adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  NN )
211 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  p  ->  1  =  1 )
212207, 209, 210, 67, 211pcmpt 13959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  =  if ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ,  1 ,  0 ) )
213202, 212eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )  =  if ( p  <_ 
( ( 2  x.  N )  -  1 ) ,  1 ,  0 ) )
214 efchtcl 22454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  N
) )  e.  NN )
2159, 214syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N
) )  e.  NN )
216215adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN )
217 nnz 10673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N )
)  e.  ZZ )
218 nnne0 10359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N )
)  =/=  0 )
219217, 218jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN  ->  ( ( exp `  ( theta `  N
) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  N ) )  =/=  0 ) )
220216, 219syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  N
) )  =/=  0
) )
221 nnz 10673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  ZZ )
222 nnne0 10359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =/=  0 )
223221, 222jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =/=  0 ) )
22468, 223syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  ZZ  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =/=  0 ) )
225 pcmul 13923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( exp `  ( theta `  N ) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  N
) )  =/=  0
)  /\  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  ZZ  /\  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =/=  0 ) )  ->  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( ( p 
pCnt  ( exp `  ( theta `  N ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
22667, 220, 224, 225syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( ( p 
pCnt  ( exp `  ( theta `  N ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
227198prmorcht 22521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N
) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 N ) )
228227oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N )
) )  =  ( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  N
) ) )
229228adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N
) ) )  =  ( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  N
) ) )
230 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  NN )
231207, 209, 230, 67, 211pcmpt 13959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  N
) )  =  if ( p  <_  N ,  1 ,  0 ) )
232229, 231eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N
) ) )  =  if ( p  <_  N ,  1 , 
0 ) )
233232oveq1d 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N ) ) )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )
234226, 233eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
235197, 213, 2343brtr4d 4327 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
236235ralrimiva 2804 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  <_  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
237 efchtcl 22454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  e.  NN )
2386, 237syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  e.  NN )
239238nnzd 10751 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  e.  ZZ )
240215, 52nnmulcld 10374 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN )
241240nnzd 10751 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  ZZ )
242 pc2dvds 13950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  ZZ )  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  <_  (
p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N
) )  x.  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
243239, 241, 242syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  <_  (
p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N
) )  x.  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
244236, 243mpbird 232 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  ||  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
245 dvdsle 13583 . . . . . 6  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN )  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  ->  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )
246239, 240, 245syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  ->  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )
247244, 246mpd 15 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  <_  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
24811recnd 9417 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  N )  e.  CC )
24954recnd 9417 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  CC )
250 efadd 13384 . . . . . 6  |-  ( ( ( theta `  N )  e.  CC  /\  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( exp `  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
251248, 249, 250syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( exp `  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
25253reeflogd 22078 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )
253252oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( exp `  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) )
254251, 253eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
255247, 254breqtrrd 4323 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  <_  ( exp `  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
256 efle 13407 . . . 4  |-  ( ( ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  RR  /\  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( theta `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  <_  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  <_  ( exp `  ( ( theta `  N
)  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) ) ) ) )
2578, 55, 256syl2anc 661 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  <_  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  <_  ( exp `  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) ) )
258255, 257mpbird 232 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  N
)  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) ) )
259 fzfid 11800 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
260 elfzelz 11458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
261 bccl 12103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
)  e.  NN0 )
26239, 260, 261syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  NN0 )
263262nn0red 10642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  RR )
264262nn0ge0d 10644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k ) )
265 nn0uz 10900 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
26632, 265syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
267 fzss1 11502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ( N  -  1 ) ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
268266, 267syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... N ) )
269 eluz 10879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  N  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
270154, 81, 269syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  N  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
27148, 270mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
272 fzss2 11503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
273271, 272syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... N )  C_  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
274268, 273sstrd 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
275259, 263, 264, 274fsumless 13264 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... N
) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  <_  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k ) )
27632nn0zd 10750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
277 bccmpl 12090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N ) ) )
27839, 154, 277syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  -  N
) ) )
279111oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  -  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
280278, 279eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
28152nncnd 10343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  CC )
282280, 281eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
283 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( N  - 
1 )  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
284283fsum1 13223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  ( N  -  1 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  ( N  - 
1 ) ) )
285276, 282, 284syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
286285, 280eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )
287286oveq1d 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  +  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  +  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
28821, 105npcand 9728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
289 uzid 10880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
290276, 289syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
291 peano2uz 10913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
292290, 291syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
293288, 292eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
294274sselda 3361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ( N  -  1 ) ... N ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
295262nn0cnd 10643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  CC )
296294, 295syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ( N  -  1 ) ... N ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  CC )
297 oveq2 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  N  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )
298293, 296, 297fsumm1 13225 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... N
) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  (
sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
)  +  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )
2992812timesd 10572 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N )  +  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) )
300287, 298, 2993eqtr4rd 2486 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... N ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
) )
301 binom11 13300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
) )
30239, 301syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
) )
303275, 300, 3023brtr4d 4327 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  <_  ( 2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
304 mulcom 9373 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  x.  2 ) )
30516, 281, 304sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N )  x.  2 ) )
30630oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 ) ) )
307 expp1 11877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 2  x.  ( N  - 
1 ) ) )  x.  2 ) )
30816, 34, 307sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 2  x.  ( N  -  1 ) ) )  x.  2 ) )
30916a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
31031a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
311309, 32, 310expmuld 12016 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 2  x.  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^
( N  -  1 ) ) )
312 sq2 11967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
313312oveq1i 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ^ 2 ) ^ ( N  - 
1 ) )  =  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )
314311, 313syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 2  x.  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )
315314oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
2  x.  ( N  -  1 ) ) )  x.  2 )  =  ( ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) )
316306, 308, 3153eqtrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) )
317303, 305, 3163brtr3d 4326 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  x.  2 )  <_  ( ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) )
31852nnred 10342 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  RR )
319 reexpcl 11887 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR )
32056, 32, 319sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR )
321 2re 10396 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
322 2pos 10418 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
323321, 322pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
324323a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
325 lemul1 10186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  RR  /\  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  <_  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  <->  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  x.  2 )  <_ 
( ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
326318, 320, 324, 325syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  <_  ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  <->  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  x.  2 )  <_ 
( ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
327317, 326mpbird 232 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  <_  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )
32860recni 9403 . . . . . . . 8  |-  ( log `  4 )  e.  CC
329 mulcom 9373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  4
)  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  CC )  ->  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( log `  4 ) ) )
330328, 109, 329sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( log `  4
) ) )
331330fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) )  =  ( exp `  (
( N  -  1 )  x.  ( log `  4 ) ) ) )
332 reexplog 22048 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 4 ^ ( N  -  1 ) )  =  ( exp `  ( ( N  - 
1 )  x.  ( log `  4 ) ) ) )
33358, 276, 332sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4 ^ ( N  -  1 ) )  =  ( exp `  (
( N  -  1 )  x.  ( log `  4 ) ) ) )
334331, 333eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) )  =  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )
335327, 252, 3343brtr4d 4327 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) )
336 efle 13407 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  <_  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) ) )
33754, 63, 336syl2anc 661 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  <_  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) ) )
338335, 337mpbird 232 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  <_ 
( ( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) ) )
33954, 63, 11, 338leadd2dd 9959 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  (
( theta `  N )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) )
3408, 55, 64, 258, 339letrd 9533 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  N
)  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  - 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720    C_ wss 3333   ifcif 3796   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   4c4 10378   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   ...cfz 11442    seqcseq 11811   ^cexp 11870   !cfa 12056    _C cbc 12083   sum_csu 13168   expce 13352    || cdivides 13540   Primecprime 13768    pCnt cpc 13908   logclog 22011   thetaccht 22433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-dvds 13541  df-gcd 13696  df-prm 13769  df-pc 13909  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-cht 22439
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