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Theorem chtublem 23214
Description: Lemma for chtub 23215. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtublem  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  N
)  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  - 
1 ) ) ) )

Proof of Theorem chtublem
Dummy variables  k  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10689 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
2 nnmulcl 10555 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
31, 2mpan 670 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  NN )
43nnred 10547 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
5 peano2rem 9882 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR )
7 chtcl 23111 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e.  RR )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e.  RR )
9 nnre 10539 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
10 chtcl 23111 . . . 4  |-  ( N  e.  RR  ->  ( theta `  N )  e.  RR )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  N )  e.  RR )
12 nnnn0 10798 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
13 2m1e1 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1413oveq2i 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  1 )
153nncnd 10548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
16 2cn 10602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
17 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
18 subsub 9845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
1916, 17, 18mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
2015, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
21 nncn 10540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
22 subdi 9986 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
2316, 17, 22mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
2421, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
25 2t1e2 10680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
2625oveq2i 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  2 )
2724, 26syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  - 
2 ) )
2827oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
2920, 28eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
3014, 29syl5eqr 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
31 2nn0 10808 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
32 nnm1nn0 10833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
33 nn0mulcl 10828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )
3431, 32, 33sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )
35 nn0p1nn 10831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  NN )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  NN )
3730, 36eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN )
38 nnnn0 10798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
3937, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
40 1re 9591 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
42 nnge1 10558 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
4341, 9, 9, 42leadd2dd 10163 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  <_  ( N  +  N ) )
44212timesd 10777 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
4543, 44breqtrrd 4473 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
46 leaddsub 10024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  x.  N )  e.  RR )  -> 
( ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
N  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )
479, 41, 4, 46syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  N  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
4845, 47mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )
49 elfz2nn0 11764 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e. 
NN0  /\  N  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
5012, 39, 48, 49syl3anbrc 1180 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
51 bccl2 12365 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN )
5250, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN )
5352nnrpd 11251 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  RR+ )
5453relogcld 22736 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  RR )
5511, 54readdcld 9619 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  RR )
56 4re 10608 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
57 4pos 10627 . . . . . 6  |-  0  <  4
5856, 57elrpii 11219 . . . . 5  |-  4  e.  RR+
59 relogcl 22691 . . . . 5  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( log `  4 )  e.  RR )
6058, 59ax-mp 5 . . . 4  |-  ( log `  4 )  e.  RR
6132nn0red 10849 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
62 remulcl 9573 . . . 4  |-  ( ( ( log `  4
)  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  RR )  ->  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
6360, 61, 62sylancr 663 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
6411, 63readdcld 9619 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  N )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
65 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
67 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
6852adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  NN )
6967, 68pccld 14229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN0 )
70 nn0addge1 10838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( 1  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
7140, 69, 70sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
1  <_  ( 1  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
72 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  <_  N  ->  if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  =  1 )
7372oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  <_  N  ->  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( 1  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
7473breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  <_  N  ->  (
1  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  1  <_  ( 1  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
7571, 74syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  <_  N  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  ( p  <_  N  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
77 prmnn 14075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
7877ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  p  e.  NN )
79 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )
80 prmz 14076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
8137nnzd 10961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  ZZ )
82 eluz 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
8380, 81, 82syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
8483adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
8579, 84mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  p ) )
86 dvdsfac 13896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  p ) )  ->  p  ||  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
8778, 85, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  p  ||  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
88 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
89 faccl 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e.  NN )
9039, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN )
91 pcelnn 14248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
9288, 90, 91syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
9487, 93mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN )
9594nnge1d 10574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
1  <_  ( p  pCnt  ( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )
96 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  p  <_  N  ->  if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  =  0 )
9796oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  p  <_  N  ->  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( 0  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
9897ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( 0  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
9969nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  CC )
10099addid2d 9776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 0  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( 0  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
102 bcval2 12347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  -  N
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
10350, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  -  N
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
10444oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  =  ( ( N  +  N )  - 
1 ) )
10517a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
10621, 21, 105addsubassd 9946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  N
)  -  1 )  =  ( N  +  ( N  -  1
) ) )
107104, 106eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  =  ( N  +  ( N  -  1
) ) )
108107oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N )  =  ( ( N  +  ( N  - 
1 ) )  -  N ) )
10932nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
11021, 109pncan2d 9928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  ( N  -  1 ) )  -  N )  =  ( N  - 
1 ) )
111108, 110eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N )  =  ( N  - 
1 ) )
112111fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  -  N ) )  =  ( ! `  ( N  -  1
) ) )
113112oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N ) )  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
114113oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  /  ( ( ! `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  -  N ) )  x.  ( ! `  N ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
115103, 114eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
116115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  /  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
117116oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( p 
pCnt  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) ) ) )
118 nnz 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
119 nnne0 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 )
120118, 119jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 ) )
12190, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 ) )
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  =/=  0 ) )
123 faccl 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  e.  NN )
12432, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN )
125 faccl 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
12612, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
127124, 126nnmulcld 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 N ) )  e.  NN )
128127adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )
129 pcdiv 14231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )  ->  ( p  pCnt  ( ( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  /  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( p  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) ) )
13067, 122, 128, 129syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  /  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( p  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) ) )
131 nnz 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
132 nnne0 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 )
133131, 132jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 ) )
134124, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 ) )
135134adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 ) )
136 nnz 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  ZZ )
137 nnne0 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =/=  0 )
138136, 137jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  N )  =/=  0 ) )
139126, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  N )  =/=  0 ) )
140139adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  N )  e.  ZZ  /\  ( ! `  N
)  =/=  0 ) )
141 pcmul 14230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  N )  e.  ZZ  /\  ( ! `  N
)  =/=  0 ) )  ->  ( p  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) )
14267, 135, 140, 141syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p  pCnt  ( ! `  N )
) ) )
143142oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( p 
pCnt  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )  =  ( ( p 
pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) ) )
144117, 130, 1433eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) ) )
145144adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) ) )
146 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  -.  p  <_  N )
147 prmfac1 14114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ! `  N
) )  ->  p  <_  N )
1481473expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  ->  p  <_  N )
)
14912, 148sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  ->  p  <_  N )
)
150149adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  ->  p  <_  N )
)
151146, 150mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  -.  p  ||  ( ! `
 N ) )
15280adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
153135simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
154 nnz 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
155154adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
156 dvdsmultr1 13875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  N
) ) )
157152, 153, 155, 156syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) ) )
158 facnn2 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
159158adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  =  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) )
160159breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  <->  p 
||  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) ) )
161157, 160sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  ( ! `  N )
) )
162161adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  ( ! `  N )
) )
163151, 162mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  -.  p  ||  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) )
164 pceq0 14249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  ( N  -  1
) ) ) )
16588, 124, 164syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  ( N  -  1
) ) ) )
166165adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  ( N  -  1
) ) ) )
167163, 166mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0 )
168 pceq0 14249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  ( ! `  N )
)  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  N ) ) )
16988, 126, 168syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  N ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  N ) ) )
170169adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  N ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  N ) ) )
171151, 170mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  N )
)  =  0 )
172167, 171oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
173 00id 9750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  +  0 )  =  0
174172, 173syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) )  =  0 )
175174oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p  pCnt  ( ! `  N )
) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  0 ) )
176 pccl 14228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
17788, 90, 176syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
178177nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  CC )
179178subid1d 9915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  0 )  =  ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
180179adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  0 )  =  ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
181145, 175, 1803eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( p 
pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
18298, 101, 1813eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
18395, 182breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
1  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
184183expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  ( -.  p  <_  N  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
18576, 184pm2.61d 158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
18666, 185eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  <_ 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
187186ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  <_ 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
188 1nn0 10807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN0
189 0nn0 10806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
190188, 189keepel 4007 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  e.  NN0
191 nn0addcl 10827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  e.  NN0  /\  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN0 )  ->  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  NN0 )
192190, 69, 191sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  NN0 )
193192nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
0  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
194 iffalse 3948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  p  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 )  ->  if ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
195194breq1d 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  p  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 )  -> 
( if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  <_ 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  0  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
196193, 195syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( -.  p  <_ 
( ( 2  x.  N )  -  1 )  ->  if (
p  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ,  1 ,  0 )  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
197187, 196pm2.61d 158 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  if ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ,  1 ,  0 )  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
198 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
199198prmorcht 23180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
20037, 199syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
201200oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  =  ( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )
202201adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )  =  ( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )
203 nncn 10540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
204203exp1d 12269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
205204ifeq1d 3957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
206205mpteq2ia 4529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
207206eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )
208188a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  n  e.  Prime )  ->  1  e.  NN0 )
209208ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  1  e.  NN0 )
21037adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  NN )
211 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  p  ->  1  =  1 )
212207, 209, 210, 67, 211pcmpt 14266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  =  if ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ,  1 ,  0 ) )
213202, 212eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )  =  if ( p  <_ 
( ( 2  x.  N )  -  1 ) ,  1 ,  0 ) )
214 efchtcl 23113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  N
) )  e.  NN )
2159, 214syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N
) )  e.  NN )
216215adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN )
217 nnz 10882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N )
)  e.  ZZ )
218 nnne0 10564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N )
)  =/=  0 )
219217, 218jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN  ->  ( ( exp `  ( theta `  N
) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  N ) )  =/=  0 ) )
220216, 219syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  N
) )  =/=  0
) )
221 nnz 10882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  ZZ )
222 nnne0 10564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =/=  0 )
223221, 222jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =/=  0 ) )
22468, 223syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  ZZ  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =/=  0 ) )
225 pcmul 14230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( exp `  ( theta `  N ) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  N
) )  =/=  0
)  /\  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  ZZ  /\  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =/=  0 ) )  ->  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( ( p 
pCnt  ( exp `  ( theta `  N ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
22667, 220, 224, 225syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( ( p 
pCnt  ( exp `  ( theta `  N ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
227198prmorcht 23180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N
) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 N ) )
228227oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N )
) )  =  ( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  N
) ) )
229228adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N
) ) )  =  ( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  N
) ) )
230 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  NN )
231207, 209, 230, 67, 211pcmpt 14266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  N
) )  =  if ( p  <_  N ,  1 ,  0 ) )
232229, 231eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N
) ) )  =  if ( p  <_  N ,  1 , 
0 ) )
233232oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N ) ) )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )
234226, 233eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
235197, 213, 2343brtr4d 4477 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
236235ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  <_  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
237 efchtcl 23113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  e.  NN )
2386, 237syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  e.  NN )
239238nnzd 10961 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  e.  ZZ )
240215, 52nnmulcld 10579 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN )
241240nnzd 10961 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  ZZ )
242 pc2dvds 14257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  ZZ )  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  <_  (
p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N
) )  x.  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
243239, 241, 242syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  <_  (
p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N
) )  x.  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
244236, 243mpbird 232 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  ||  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
245 dvdsle 13886 . . . . . 6  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN )  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  ->  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )
246239, 240, 245syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  ->  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )
247244, 246mpd 15 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  <_  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
24811recnd 9618 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  N )  e.  CC )
24954recnd 9618 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  CC )
250 efadd 13687 . . . . . 6  |-  ( ( ( theta `  N )  e.  CC  /\  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( exp `  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
251248, 249, 250syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( exp `  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
25253reeflogd 22737 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )
253252oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( exp `  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) )
254251, 253eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
255247, 254breqtrrd 4473 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  <_  ( exp `  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
256 efle 13710 . . . 4  |-  ( ( ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  RR  /\  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( theta `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  <_  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  <_  ( exp `  ( ( theta `  N
)  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) ) ) ) )
2578, 55, 256syl2anc 661 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  <_  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  <_  ( exp `  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) ) )
258255, 257mpbird 232 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  N
)  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) ) )
259 fzfid 12047 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
260 elfzelz 11684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
261 bccl 12364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
)  e.  NN0 )
26239, 260, 261syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  NN0 )
263262nn0red 10849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  RR )
264262nn0ge0d 10851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k ) )
265 nn0uz 11112 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
26632, 265syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
267 fzss1 11718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ( N  -  1 ) ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
268266, 267syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... N ) )
269 eluz 11091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  N  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
270154, 81, 269syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  N  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
27148, 270mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
272 fzss2 11719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
273271, 272syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... N )  C_  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
274268, 273sstrd 3514 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
275259, 263, 264, 274fsumless 13569 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... N
) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  <_  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k ) )
27632nn0zd 10960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
277 bccmpl 12351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N ) ) )
27839, 154, 277syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  -  N
) ) )
279111oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  -  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
280278, 279eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
28152nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  CC )
282280, 281eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
283 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( N  - 
1 )  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
284283fsum1 13523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  ( N  -  1 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  ( N  - 
1 ) ) )
285276, 282, 284syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
286285, 280eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )
287286oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  +  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  +  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
28821, 105npcand 9930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
289 uzid 11092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
290276, 289syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
291 peano2uz 11130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
292290, 291syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
293288, 292eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
294274sselda 3504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ( N  -  1 ) ... N ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
295262nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  CC )
296294, 295syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ( N  -  1 ) ... N ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  CC )
297 oveq2 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  N  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )
298293, 296, 297fsumm1 13525 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... N
) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  (
sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
)  +  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )
2992812timesd 10777 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N )  +  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) )
300287, 298, 2993eqtr4rd 2519 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... N ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
) )
301 binom11 13603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
) )
30239, 301syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
) )
303275, 300, 3023brtr4d 4477 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  <_  ( 2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
304 mulcom 9574 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  x.  2 ) )
30516, 281, 304sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N )  x.  2 ) )
30630oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 ) ) )
307 expp1 12137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 2  x.  ( N  - 
1 ) ) )  x.  2 ) )
30816, 34, 307sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 2  x.  ( N  -  1 ) ) )  x.  2 ) )
30916a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
31031a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
311309, 32, 310expmuld 12277 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 2  x.  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^
( N  -  1 ) ) )
312 sq2 12228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
313312oveq1i 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ^ 2 ) ^ ( N  - 
1 ) )  =  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )
314311, 313syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 2  x.  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )
315314oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
2  x.  ( N  -  1 ) ) )  x.  2 )  =  ( ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) )
316306, 308, 3153eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) )
317303, 305, 3163brtr3d 4476 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  x.  2 )  <_  ( ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) )
31852nnred 10547 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  RR )
319 reexpcl 12147 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR )
32056, 32, 319sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR )
321 2re 10601 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
322 2pos 10623 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
323321, 322pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
324323a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
325 lemul1 10390 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  RR  /\  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  <_  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  <->  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  x.  2 )  <_ 
( ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
326318, 320, 324, 325syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  <_  ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  <->  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  x.  2 )  <_ 
( ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
327317, 326mpbird 232 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  <_  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )
32860recni 9604 . . . . . . . 8  |-  ( log `  4 )  e.  CC
329 mulcom 9574 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  4
)  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  CC )  ->  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( log `  4 ) ) )
330328, 109, 329sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( log `  4
) ) )
331330fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) )  =  ( exp `  (
( N  -  1 )  x.  ( log `  4 ) ) ) )
332 reexplog 22707 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 4 ^ ( N  -  1 ) )  =  ( exp `  ( ( N  - 
1 )  x.  ( log `  4 ) ) ) )
33358, 276, 332sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4 ^ ( N  -  1 ) )  =  ( exp `  (
( N  -  1 )  x.  ( log `  4 ) ) ) )
334331, 333eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) )  =  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )
335327, 252, 3343brtr4d 4477 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) )
336 efle 13710 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  <_  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) ) )
33754, 63, 336syl2anc 661 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  <_  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) ) )
338335, 337mpbird 232 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  <_ 
( ( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) ) )
33954, 63, 11, 338leadd2dd 10163 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  (
( theta `  N )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) )
3408, 55, 64, 258, 339letrd 9734 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  N
)  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  - 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   4c4 10583   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   ...cfz 11668    seqcseq 12071   ^cexp 12130   !cfa 12317    _C cbc 12344   sum_csu 13467   expce 13655    || cdivides 13843   Primecprime 14072    pCnt cpc 14215   logclog 22670   thetaccht 23092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-pc 14216  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-cht 23098
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