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Theorem chtppilimlem2 23784
Description: Lemma for chtppilim 23785. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
chtppilim.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
chtppilim.2  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
Assertion
Ref Expression
chtppilimlem2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( A ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, A    ph, x, z

Proof of Theorem chtppilimlem2
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )
2 2re 10626 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3 elicopnf 11645 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
51, 4sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
65simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
7 0red 9614 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  0  e.  RR )
82a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  2  e.  RR )
9 2pos 10648 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
109a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  0  <  2 )
115simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  2  <_  x )
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 9759 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  0  <  x )
136, 12elrpd 11279 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
14 chtppilim.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
1514rpred 11281 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  A  e.  RR )
1713, 16rpcxpcld 23236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
x  ^c  A )  e.  RR+ )
18 ppinncl 23573 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
(π `  x )  e.  NN )
195, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (π `  x )  e.  NN )
2019nnrpd 11280 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (π `  x )  e.  RR+ )
2117, 20rpdivcld 11298 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  e.  RR+ )
2221ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 2 [,) +oo )
( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  e.  RR+ )
23 chtppilim.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
24 1re 9612 . . . . 5  |-  1  e.  RR
25 difrp 11278 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  <  1  <->  ( 1  -  A )  e.  RR+ ) )
2615, 24, 25sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  1  <->  ( 1  -  A )  e.  RR+ ) )
2723, 26mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  e.  RR+ )
28 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( 2 [,) +oo )  e. 
_V
2928a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 [,) +oo )  e.  _V )
3024a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
31 1lt2 10723 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  2
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  1  <  2 )
3330, 8, 6, 32, 11ltletrd 9759 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  1  <  x )
346, 33rplogcld 23139 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
3513, 34rpdivcld 11298 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
x  /  ( log `  x ) )  e.  RR+ )
3635, 20rpdivcld 11298 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( x  /  ( log `  x ) )  /  (π `  x ) )  e.  RR+ )
3727adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
1  -  A )  e.  RR+ )
3837rpred 11281 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
1  -  A )  e.  RR )
3913, 38rpcxpcld 23236 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
x  ^c  ( 1  -  A ) )  e.  RR+ )
4034, 39rpdivcld 11298 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR+ )
41 eqidd 2458 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( x  / 
( log `  x
) )  /  (π `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( x  /  ( log `  x
) )  /  (π `  x ) ) ) )
42 eqidd 2458 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) ) )
4329, 36, 40, 41, 42offval2 6555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( x  /  ( log `  x
) )  /  (π `  x ) ) )  oF  x.  (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( ( x  /  ( log `  x
) )  /  (π `  x ) )  x.  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) ) ) )
4435rpcnd 11283 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
x  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
4540rpcnd 11283 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) )  e.  CC )
4620rpcnne0d 11290 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
(π `  x )  e.  CC  /\  (π `  x
)  =/=  0 ) )
47 div23 10247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  /  ( log `  x ) )  e.  CC  /\  (
( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) )  e.  CC  /\  ( (π `  x )  e.  CC  /\  (π `  x
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( x  /  ( log `  x ) )  x.  ( ( log `  x )  /  (
x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) )  / 
(π `  x ) )  =  ( ( ( x  /  ( log `  x ) )  / 
(π `  x ) )  x.  ( ( log `  x )  /  (
x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) ) )
4844, 45, 46, 47syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( x  / 
( log `  x
) )  x.  (
( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) )  /  (π `  x ) )  =  ( ( ( x  /  ( log `  x
) )  /  (π `  x ) )  x.  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) ) )
4934rpcnne0d 11290 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  e.  CC  /\  ( log `  x )  =/=  0 ) )
5039rpcnne0d 11290 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( x  ^c 
( 1  -  A
) )  e.  CC  /\  ( x  ^c 
( 1  -  A
) )  =/=  0
) )
516recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  x  e.  CC )
52 dmdcan 10275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( log `  x
)  e.  CC  /\  ( log `  x )  =/=  0 )  /\  ( ( x  ^c  ( 1  -  A ) )  e.  CC  /\  ( x  ^c  ( 1  -  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( log `  x )  /  (
x  ^c  ( 1  -  A ) ) )  x.  (
x  /  ( log `  x ) ) )  =  ( x  / 
( x  ^c 
( 1  -  A
) ) ) )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) )  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) )  =  ( x  /  (
x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) )
5444, 45mulcomd 9634 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( x  /  ( log `  x ) )  x.  ( ( log `  x )  /  (
x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( ( ( log `  x )  /  (
x  ^c  ( 1  -  A ) ) )  x.  (
x  /  ( log `  x ) ) ) )
5513rpcnne0d 11290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
56 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  1  e.  CC )
5837rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
1  -  A )  e.  CC )
59 cxpsub 23188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  1  e.  CC  /\  ( 1  -  A
)  e.  CC )  ->  ( x  ^c  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) )  =  ( ( x  ^c  1 )  / 
( x  ^c 
( 1  -  A
) ) ) )
6055, 57, 58, 59syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
x  ^c  ( 1  -  ( 1  -  A ) ) )  =  ( ( x  ^c  1 )  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) )
6116recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  A  e.  CC )
62 nncan 9867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  A ) )  =  A )
6356, 61, 62sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
1  -  ( 1  -  A ) )  =  A )
6463oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
x  ^c  ( 1  -  ( 1  -  A ) ) )  =  ( x  ^c  A ) )
6560, 64eqtr3d 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( x  ^c 
1 )  /  (
x  ^c  ( 1  -  A ) ) )  =  ( x  ^c  A ) )
6651cxp1d 23212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
x  ^c  1 )  =  x )
6766oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( x  ^c 
1 )  /  (
x  ^c  ( 1  -  A ) ) )  =  ( x  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) )
6865, 67eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
x  ^c  A )  =  ( x  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) )
6953, 54, 683eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( x  /  ( log `  x ) )  x.  ( ( log `  x )  /  (
x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( x  ^c  A ) )
7069oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( x  / 
( log `  x
) )  x.  (
( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) )  /  (π `  x ) )  =  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) ) )
7148, 70eqtr3d 2500 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( x  / 
( log `  x
) )  /  (π `  x ) )  x.  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) ) )
7271mpteq2dva 4543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( ( x  /  ( log `  x
) )  /  (π `  x ) )  x.  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) ) ) )
7343, 72eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( x  /  ( log `  x
) )  /  (π `  x ) ) )  oF  x.  (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) ) ) )
74 chebbnd1 23782 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( x  /  ( log `  x ) )  / 
(π `  x ) ) )  e.  O(1)
7513ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
)
7675ssrdv 3505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 [,) +oo )  C_  RR+ )
77 cxploglim 23432 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  A )  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) )  ~~> r  0 )
7827, 77syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) )  ~~> r  0 )
7976, 78rlimres2 13395 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) )  ~~> r  0 )
80 o1rlimmul 13452 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( x  / 
( log `  x
) )  /  (π `  x ) ) )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( log `  x )  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) )  ~~> r  0 )  ->  ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( x  /  ( log `  x ) )  / 
(π `  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
8174, 79, 80sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( x  /  ( log `  x
) )  /  (π `  x ) ) )  oF  x.  (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  -  A ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
8273, 81eqbrtrrd 4478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) ) )  ~~> r  0 )
8322, 27, 82rlimi 13347 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  - 
0 ) )  < 
( 1  -  A
) ) )
8421rpcnd 11283 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  e.  CC )
8584subid1d 9939 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  - 
0 )  =  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) ) )
8685fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x
) )  -  0 ) )  =  ( abs `  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x
) ) ) )
8721rpred 11281 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  e.  RR )
8821rpge0d 11285 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  0  <_  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) ) )
8987, 88absidd 13265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) ) )  =  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x
) ) )
9086, 89eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x
) )  -  0 ) )  =  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) ) )
9190breq1d 4466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  - 
0 ) )  < 
( 1  -  A
)  <->  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  <  ( 1  -  A ) ) )
9214adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  /\  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  <  ( 1  -  A ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
9323adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  /\  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  <  ( 1  -  A ) ) )  ->  A  <  1
)
94 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  /\  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  <  ( 1  -  A ) ) )  ->  x  e.  ( 2 [,) +oo )
)
95 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  /\  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  <  ( 1  -  A ) ) )  ->  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  <  ( 1  -  A ) )
9692, 93, 94, 95chtppilimlem1 23783 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  /\  ( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  <  ( 1  -  A ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
)
9796expr 615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  < 
( 1  -  A
)  ->  ( ( A ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
) )
9891, 97sylbid 215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  - 
0 ) )  < 
( 1  -  A
)  ->  ( ( A ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
) )
9998imim2d 52 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  - 
0 ) )  < 
( 1  -  A
) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( ( A ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x ) ) ) )
10099ralimdva 2865 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  - 
0 ) )  < 
( 1  -  A
) )  ->  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( A ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
) ) )
101100reximdv 2931 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( x  ^c  A )  /  (π `  x ) )  - 
0 ) )  < 
( 1  -  A
) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( A ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
) ) )
10283, 101mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( A ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514   +oocpnf 9642    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   RR+crp 11245   [,)cico 11556   ^cexp 12168   abscabs 13078    ~~> r crli 13319   O(1)co1 13320   logclog 23067    ^c ccxp 23068   thetaccht 23489  πcppi 23492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-o1 13324  df-lo1 13325  df-sum 13520  df-ef 13814  df-e 13815  df-sin 13816  df-cos 13817  df-pi 13819  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-prm 14229  df-pc 14372  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396  df-log 23069  df-cxp 23070  df-cht 23495  df-ppi 23498
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