Theorem chtppilim 22852

Description: The theta function is asymptotic to π ( x ) log ( x ), so it is sufficient to prove theta ( x ) / x ~~> r 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtppilim	|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ~~> r 1

Proof of Theorem chtppilim

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfre 10646	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 2 ) e. RR
2		1re 9491	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
3		rpre 11103	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
4		resubcl 9779	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 1 - y ) e. RR )
5	2, 3, 4	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 1 - y ) e. RR )
6		ifcl 3934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ ( 1 - y ) e. RR ) -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR )
7	1, 5, 6	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR )
8		0red 9493	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 e. RR )
9	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / 2 ) e. RR )
10		halfgt0 10648	. . . . . . . . . 10 |- 0 < ( 1 / 2 )
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 < ( 1 / 2 ) )
12		max2 11265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 - y ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 1 / 2 ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
13	5, 1, 12	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / 2 ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
14	8, 9, 7, 11, 13	ltletrd 9637	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> 0 < if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
15	7, 14	elrpd 11131	. . . . . . 7 |- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR+ )
16	15	rpsqrcld 13011	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) e. RR+ )
17		halflt1 10649	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 2 ) < 1
18		ltsubrp 11128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ y e. RR+ ) -> ( 1 - y ) < 1 )
19	2, 18	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 1 - y ) < 1 )
20		breq1 4398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) -> ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 ) )
21		breq1 4398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 - y ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) -> ( ( 1 - y ) < 1 <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 ) )
22	20, 21	ifboth 3928	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) < 1 /\ ( 1 - y ) < 1 ) -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 )
23	17, 19, 22	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 )
24	15	rpge0d 11137	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
25	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 1 e. RR )
26		0le1 9969	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 <_ 1 )
28	7, 24, 25, 27	sqrltd 13027	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 <-> ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) < ( sqr ` 1 ) ) )
29	23, 28	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( y e. RR+ -> ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) < ( sqr ` 1 ) )
30		sqr1 12874	. . . . . . 7 |- ( sqr ` 1 ) = 1
31	29, 30	syl6breq 4434	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) < 1 )
32	16, 31	chtppilimlem2 22851	. . . . 5 |- ( y e. RR+ -> E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) )
33	5	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( 1 - y ) e. RR )
34		max1 11263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 - y ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
35	33, 1, 34	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
36	7	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR )
37		2re 10497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
38		elicopnf 11497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. RR -> ( x e. ( 2 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 2 <_ x ) ) )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 2 <_ x ) )
40	39	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> x e. RR )
41		chtcl 22575	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( theta ` x ) e. RR )
42	40, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( theta ` x ) e. RR )
43		ppinncl 22640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ 2 <_ x ) -> (π ` x ) e. NN )
44	39, 43	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> (π ` x ) e. NN )
45	44	nnrpd 11132	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> (π ` x ) e. RR+ )
46	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 1 e. RR )
47	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 2 e. RR )
48		1lt2 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 < 2
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 1 < 2 )
50	39	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 2 <_ x )
51	46, 47, 40, 49, 50	ltletrd 9637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 1 < x )
52	40, 51	rplogcld 22206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
53	45, 52	rpmulcld 11149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR+ )
54	42, 53	rerpdivcld 11160	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
55	54	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
56		lelttr 9571	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 - y ) e. RR /\ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR /\ ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) /\ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) -> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
57	33, 36, 55, 56	syl3anc 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) /\ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) -> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
58	35, 57	mpand 675	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) -> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
59	7	recnd 9518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. CC )
60	59	sqsqrd 13038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR+ -> ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
61	60	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
62	61	oveq1d 6210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) = ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) )
63	62	breq1d 4405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) )
64	42	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( theta ` x ) e. RR )
65	53	rpregt0d 11139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) )
66	65	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) )
67		ltmuldiv 10308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR /\ ( theta ` x ) e. RR /\ ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) -> ( ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
68	36, 64, 66, 67	syl3anc 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
69	63, 68	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
70		0red 9493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 0 e. RR )
71		2pos 10519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 < 2
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 0 < 2 )
73	70, 47, 40, 72, 50	ltletrd 9637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 0 < x )
74	40, 73	elrpd 11131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> x e. RR+ )
75		chtleppi 22677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( theta ` x ) <_ ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( theta ` x ) <_ ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) )
77	53	rpcnd 11135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) e. CC )
78	77	mulid1d 9509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) x. 1 ) = ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) )
79	76, 78	breqtrrd 4421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( theta ` x ) <_ ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) x. 1 ) )
80	42, 46, 53	ledivmuld 11182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) <_ 1 <-> ( theta ` x ) <_ ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) x. 1 ) ) )
81	79, 80	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) <_ 1 )
82	54, 46, 81	abssuble0d 13032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) = ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
83	82	breq1d 4405	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y <-> ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y ) )
84	83	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y <-> ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y ) )
85	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
86	3	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> y e. RR )
87		ltsub23 9925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y <-> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
88	85, 55, 86, 87	syl3anc 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y <-> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
89	84, 88	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y <-> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
90	58, 69, 89	3imtr4d 268	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) )
91	90	imim2d 52	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( z <_ x -> ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) )
92	91	ralimdva 2829	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) -> A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) )
93	92	reximdv 2927	. . . . 5 |- ( y e. RR+ -> ( E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) -> E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) )
94	32, 93	mpd 15	. . . 4 |- ( y e. RR+ -> E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) )
95	94	rgen 2893	. . 3 |- A. y e. RR+ E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y )
96	54	recnd 9518	. . . . . 6 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
97	96	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
98	97	ralrimiva 2827	. . . 4 |- ( T. -> A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
99	40	ssriv 3463	. . . . 5 |- ( 2 [,) +oo ) C_ RR
100	99	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( 2 [,) +oo ) C_ RR )
101		1cnd 9508	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. CC )
102	98, 100, 101	rlim2 13087	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ~~> r 1 <-> A. y e. RR+ E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) )
103	95, 102	mpbiri 233	. 2 |- ( T. -> ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ~~> r 1 )
104	103	trud 1379	1 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ~~> r 1

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   T. wtru 1371   e. wcel 1758   A.wral 2796   E.wrex 2797   C_ wss 3431   ifcif 3894   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389   x. cmul 9393   +oocpnf 9521   < clt 9524   <_ cle 9525   - cmin 9701   / cdiv 10099   NNcn 10428   2c2 10477   RR+crp 11097   [,)cico 11408   ^cexp 11977   sqrcsqr 12835   abscabs 12836   ~~> r crli 13076   logclog 22134   thetaccht 22556  πcppi 22559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-ioc 11411  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164  df-bc 12191  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-o1 13081  df-lo1 13082  df-sum 13277  df-ef 13466  df-e 13467  df-sin 13468  df-cos 13469  df-pi 13471  df-dvds 13649  df-gcd 13804  df-prm 13877  df-pc 14017  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-fbas 17934  df-fg 17935  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-lp 18867  df-perf 18868  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-haus 19046  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-fil 19546  df-fm 19638  df-flim 19639  df-flf 19640  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-cncf 20581  df-limc 21469  df-dv 21470  df-log 22136  df-cxp 22137  df-cht 22562  df-ppi 22565

This theorem is referenced by:  chebbnd2  22854  chto1lb  22855  pnt  22991