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Theorem chtppilim 24369
Description: The  theta function is asymptotic to π ( x ) log ( x ), so it is sufficient to prove 
theta ( x )  /  x 
~~> r  1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtppilim  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1

Proof of Theorem chtppilim
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 halfre 10862 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
2 1re 9673 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
3 rpre 11342 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
4 resubcl 9969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  -  y
)  e.  RR )
52, 3, 4sylancr 674 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  -  y )  e.  RR )
6 ifcl 3935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( 1  -  y
)  e.  RR )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
71, 5, 6sylancr 674 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
8 0red 9675 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  e.  RR )
91a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
10 halfgt0 10864 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( 1  /  2
)
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
( 1  /  2
) )
12 max2 11516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  / 
2 )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
135, 1, 12sylancl 673 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
148, 9, 7, 11, 13ltletrd 9826 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )
157, 14elrpd 11372 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR+ )
1615rpsqrtcld 13528 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  e.  RR+ )
17 halflt1 10865 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  <  1
18 ltsubrp 11369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( 1  -  y
)  <  1 )
192, 18mpan 681 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  -  y )  <  1 )
20 breq1 4421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  -> 
( ( 1  / 
2 )  <  1  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 ) )
21 breq1 4421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  -  y )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  -> 
( ( 1  -  y )  <  1  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 ) )
2220, 21ifboth 3929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  <  1  /\  ( 1  -  y
)  <  1 )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 )
2317, 19, 22sylancr 674 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 )
2415rpge0d 11379 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
252a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
26 0le1 10170 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  <_ 
1 )
287, 24, 25, 27sqrtltd 13544 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1  <->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )  <  ( sqr `  1
) ) )
2923, 28mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  < 
( sqr `  1
) )
30 sqrt1 13390 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  1 )  =  1
3129, 30syl6breq 4458 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  <  1 )
3216, 31chtppilimlem2 24368 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x
) ) )
335adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
1  -  y )  e.  RR )
34 max1 11514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
3533, 1, 34sylancl 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
367adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
37 2re 10712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
38 elicopnf 11764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
4039simplbi 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
41 chtcl 24092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
43 ppinncl 24157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
(π `  x )  e.  NN )
4439, 43sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  (π `  x
)  e.  NN )
4544nnrpd 11373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  (π `  x
)  e.  RR+ )
462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  1  e.  RR )
4737a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  2  e.  RR )
48 1lt2 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  1  <  2 )
5039simprbi 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  2  <_  x )
5146, 47, 40, 49, 50ltletrd 9826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  1  < 
x )
5240, 51rplogcld 23634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
5345, 52rpmulcld 11391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) )  e.  RR+ )
5442, 53rerpdivcld 11403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  e.  RR )
5554adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
56 lelttr 9755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR  /\  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  /\  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ->  ( 1  -  y )  <  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
5733, 36, 55, 56syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  /\  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ->  ( 1  -  y )  <  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
5835, 57mpand 686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  -> 
( 1  -  y
)  <  ( ( theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
597recnd 9700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  CC )
6059sqsqrtd 13556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
6160adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  =  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) )
6261oveq1d 6335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
6362breq1d 4428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  ( if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
) )
6442adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
6553rpregt0d 11381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
6665adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
67 ltmuldiv 10511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) )  e.  RR  /\  ( theta `  x )  e.  RR  /\  ( ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  ->  (
( if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
6836, 64, 66, 67syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
6963, 68bitrd 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
70 0red 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
71 2pos 10734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <  2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  <  2 )
7370, 47, 40, 72, 50ltletrd 9826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  < 
x )
7440, 73elrpd 11372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
75 chtleppi 24194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  <_  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( theta `  x )  <_  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )
7753rpcnd 11377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
7877mulid1d 9691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  x.  1 )  =  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )
7976, 78breqtrrd 4445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( theta `  x )  <_  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  x.  1 ) )
8042, 46, 53ledivmuld 11425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( ( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  <_  1  <->  ( theta `  x )  <_  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  x.  1 ) ) )
8179, 80mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  <_ 
1 )
8254, 46, 81abssuble0d 13549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  - 
1 ) )  =  ( 1  -  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
8382breq1d 4428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  <  y ) )
8483adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  <  y ) )
852a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
863adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  y  e.  RR )
87 ltsub23 10127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  <  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
8885, 55, 86, 87syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( 1  -  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  < 
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
8984, 88bitrd 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  < 
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
9058, 69, 893imtr4d 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) )
9190imim2d 54 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
)  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  - 
1 ) )  < 
y ) ) )
9291ralimdva 2808 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x ) )  ->  A. x  e.  (
2 [,) +oo )
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) ) )
9392reximdv 2873 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) ) )
9432, 93mpd 15 . . . 4  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) )
9594rgen 2759 . . 3  |-  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y )
9654recnd 9700 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  e.  CC )
9796adantl 472 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
9897ralrimiva 2814 . . . 4  |-  ( T. 
->  A. x  e.  ( 2 [,) +oo )
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
9940ssriv 3448 . . . . 5  |-  ( 2 [,) +oo )  C_  RR
10099a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2 [,) +oo )  C_  RR )
101 1cnd 9690 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
10298, 100, 101rlim2 13615 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) ) )
10395, 102mpbiri 241 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  ~~> r  1 )
104103trud 1464 1  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455   T. wtru 1456    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750    C_ wss 3416   ifcif 3893   class class class wbr 4418    |-> cmpt 4477   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   CCcc 9568   RRcr 9569   0cc0 9570   1c1 9571    x. cmul 9575   +oocpnf 9703    < clt 9706    <_ cle 9707    - cmin 9891    / cdiv 10302   NNcn 10642   2c2 10692   RR+crp 11336   [,)cico 11671   ^cexp 12310   sqrcsqrt 13351   abscabs 13352    ~~> r crli 13604   logclog 23560   thetaccht 24073  πcppi 24076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648  ax-addf 9649  ax-mulf 9650
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-ixp 7554  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-fi 7956  df-sup 7987  df-inf 7988  df-oi 8056  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-xneg 11443  df-xadd 11444  df-xmul 11445  df-ioo 11673  df-ioc 11674  df-ico 11675  df-icc 11676  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-fl 12066  df-mod 12135  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13185  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-limsup 13581  df-clim 13607  df-rlim 13608  df-o1 13609  df-lo1 13610  df-sum 13808  df-ef 14176  df-e 14177  df-sin 14178  df-cos 14179  df-pi 14181  df-dvds 14361  df-gcd 14524  df-prm 14678  df-pc 14842  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-ip 15263  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-hom 15269  df-cco 15270  df-rest 15376  df-topn 15377  df-0g 15395  df-gsum 15396  df-topgen 15397  df-pt 15398  df-prds 15401  df-xrs 15455  df-qtop 15461  df-imas 15462  df-xps 15465  df-mre 15547  df-mrc 15548  df-acs 15550  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-submnd 16638  df-mulg 16731  df-cntz 17026  df-cmn 17487  df-psmet 19017  df-xmet 19018  df-met 19019  df-bl 19020  df-mopn 19021  df-fbas 19022  df-fg 19023  df-cnfld 19026  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-topsp 19979  df-cld 20089  df-ntr 20090  df-cls 20091  df-nei 20169  df-lp 20207  df-perf 20208  df-cn 20298  df-cnp 20299  df-haus 20386  df-tx 20632  df-hmeo 20825  df-fil 20916  df-fm 21008  df-flim 21009  df-flf 21010  df-xms 21390  df-ms 21391  df-tms 21392  df-cncf 21965  df-limc 22877  df-dv 22878  df-log 23562  df-cxp 23563  df-cht 24079  df-ppi 24082
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