Theorem chtppilim 22667

Description: The theta function is asymptotic to π ( x ) log ( x ), so it is sufficient to prove theta ( x ) / x ~~> r 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtppilim	|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ~~> r 1

Proof of Theorem chtppilim

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfre 10536	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 2 ) e. RR
2		1re 9381	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
3		rpre 10993	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
4		resubcl 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 1 - y ) e. RR )
5	2, 3, 4	sylancr 658	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 1 - y ) e. RR )
6		ifcl 3828	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ ( 1 - y ) e. RR ) -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR )
7	1, 5, 6	sylancr 658	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR )
8		0red 9383	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 e. RR )
9	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / 2 ) e. RR )
10		halfgt0 10538	. . . . . . . . . 10 |- 0 < ( 1 / 2 )
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 < ( 1 / 2 ) )
12		max2 11155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 - y ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 1 / 2 ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
13	5, 1, 12	sylancl 657	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / 2 ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
14	8, 9, 7, 11, 13	ltletrd 9527	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> 0 < if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
15	7, 14	elrpd 11021	. . . . . . 7 |- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR+ )
16	15	rpsqrcld 12894	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) e. RR+ )
17		halflt1 10539	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 2 ) < 1
18		ltsubrp 11018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ y e. RR+ ) -> ( 1 - y ) < 1 )
19	2, 18	mpan 665	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 1 - y ) < 1 )
20		breq1 4292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) -> ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 ) )
21		breq1 4292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 - y ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) -> ( ( 1 - y ) < 1 <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 ) )
22	20, 21	ifboth 3822	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) < 1 /\ ( 1 - y ) < 1 ) -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 )
23	17, 19, 22	sylancr 658	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 )
24	15	rpge0d 11027	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
25	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 1 e. RR )
26		0le1 9859	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 <_ 1 )
28	7, 24, 25, 27	sqrltd 12910	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 <-> ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) < ( sqr ` 1 ) ) )
29	23, 28	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( y e. RR+ -> ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) < ( sqr ` 1 ) )
30		sqr1 12757	. . . . . . 7 |- ( sqr ` 1 ) = 1
31	29, 30	syl6breq 4328	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) < 1 )
32	16, 31	chtppilimlem2 22666	. . . . 5 |- ( y e. RR+ -> E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) )
33	5	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( 1 - y ) e. RR )
34		max1 11153	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 - y ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
35	33, 1, 34	sylancl 657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
36	7	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR )
37		2re 10387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
38		elicopnf 11381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. RR -> ( x e. ( 2 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 2 <_ x ) ) )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 2 <_ x ) )
40	39	simplbi 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> x e. RR )
41		chtcl 22390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( theta ` x ) e. RR )
42	40, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( theta ` x ) e. RR )
43		ppinncl 22455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ 2 <_ x ) -> (π ` x ) e. NN )
44	39, 43	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> (π ` x ) e. NN )
45	44	nnrpd 11022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> (π ` x ) e. RR+ )
46	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 1 e. RR )
47	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 2 e. RR )
48		1lt2 10484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 < 2
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 1 < 2 )
50	39	simprbi 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 2 <_ x )
51	46, 47, 40, 49, 50	ltletrd 9527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 1 < x )
52	40, 51	rplogcld 22021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
53	45, 52	rpmulcld 11039	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR+ )
54	42, 53	rerpdivcld 11050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
55	54	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
56		lelttr 9461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 - y ) e. RR /\ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR /\ ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) /\ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) -> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
57	33, 36, 55, 56	syl3anc 1213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) /\ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) -> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
58	35, 57	mpand 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) -> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
59	7	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. CC )
60	59	sqsqrd 12921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR+ -> ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
61	60	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
62	61	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) = ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) )
63	62	breq1d 4299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) )
64	42	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( theta ` x ) e. RR )
65	53	rpregt0d 11029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) )
66	65	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) )
67		ltmuldiv 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR /\ ( theta ` x ) e. RR /\ ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) -> ( ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
68	36, 64, 66, 67	syl3anc 1213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
69	63, 68	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
70		0red 9383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 0 e. RR )
71		2pos 10409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 < 2
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 0 < 2 )
73	70, 47, 40, 72, 50	ltletrd 9527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 0 < x )
74	40, 73	elrpd 11021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> x e. RR+ )
75		chtleppi 22492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( theta ` x ) <_ ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( theta ` x ) <_ ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) )
77	53	rpcnd 11025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) e. CC )
78	77	mulid1d 9399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) x. 1 ) = ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) )
79	76, 78	breqtrrd 4315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( theta ` x ) <_ ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) x. 1 ) )
80	42, 46, 53	ledivmuld 11072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) <_ 1 <-> ( theta ` x ) <_ ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) x. 1 ) ) )
81	79, 80	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) <_ 1 )
82	54, 46, 81	abssuble0d 12915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) = ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
83	82	breq1d 4299	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y <-> ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y ) )
84	83	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y <-> ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y ) )
85	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
86	3	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> y e. RR )
87		ltsub23 9815	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y <-> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
88	85, 55, 86, 87	syl3anc 1213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y <-> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
89	84, 88	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y <-> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
90	58, 69, 89	3imtr4d 268	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) )
91	90	imim2d 52	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( z <_ x -> ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) )
92	91	ralimdva 2792	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) -> A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) )
93	92	reximdv 2825	. . . . 5 |- ( y e. RR+ -> ( E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) -> E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) )
94	32, 93	mpd 15	. . . 4 |- ( y e. RR+ -> E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) )
95	94	rgen 2779	. . 3 |- A. y e. RR+ E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y )
96	54	recnd 9408	. . . . . 6 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
97	96	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
98	97	ralrimiva 2797	. . . 4 |- ( T. -> A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
99	40	ssriv 3357	. . . . 5 |- ( 2 [,) +oo ) C_ RR
100	99	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( 2 [,) +oo ) C_ RR )
101		1cnd 9398	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. CC )
102	98, 100, 101	rlim2 12970	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ~~> r 1 <-> A. y e. RR+ E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) )
103	95, 102	mpbiri 233	. 2 |- ( T. -> ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ~~> r 1 )
104	103	trud 1373	1 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ~~> r 1

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   C_ wss 3325   ifcif 3788   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   x. cmul 9283   +oocpnf 9411   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   RR+crp 10987   [,)cico 11298   ^cexp 11861   sqrcsqr 12718   abscabs 12719   ~~> r crli 12959   logclog 21949   thetaccht 22371  πcppi 22374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-o1 12964  df-lo1 12965  df-sum 13160  df-ef 13349  df-e 13350  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-limc 21241  df-dv 21242  df-log 21951  df-cxp 21952  df-cht 22377  df-ppi 22380

This theorem is referenced by:  chebbnd2  22669  chto1lb  22670  pnt  22806