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Theorem chtppilim 22852
Description: The  theta function is asymptotic to π ( x ) log ( x ), so it is sufficient to prove 
theta ( x )  /  x 
~~> r  1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtppilim  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1

Proof of Theorem chtppilim
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 halfre 10646 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
2 1re 9491 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
3 rpre 11103 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
4 resubcl 9779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  -  y
)  e.  RR )
52, 3, 4sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  -  y )  e.  RR )
6 ifcl 3934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( 1  -  y
)  e.  RR )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
71, 5, 6sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
8 0red 9493 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  e.  RR )
91a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
10 halfgt0 10648 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( 1  /  2
)
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
( 1  /  2
) )
12 max2 11265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  / 
2 )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
135, 1, 12sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
148, 9, 7, 11, 13ltletrd 9637 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )
157, 14elrpd 11131 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR+ )
1615rpsqrcld 13011 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  e.  RR+ )
17 halflt1 10649 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  <  1
18 ltsubrp 11128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( 1  -  y
)  <  1 )
192, 18mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  -  y )  <  1 )
20 breq1 4398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  -> 
( ( 1  / 
2 )  <  1  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 ) )
21 breq1 4398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  -  y )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  -> 
( ( 1  -  y )  <  1  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 ) )
2220, 21ifboth 3928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  <  1  /\  ( 1  -  y
)  <  1 )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 )
2317, 19, 22sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 )
2415rpge0d 11137 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
252a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
26 0le1 9969 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  <_ 
1 )
287, 24, 25, 27sqrltd 13027 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1  <->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )  <  ( sqr `  1
) ) )
2923, 28mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  < 
( sqr `  1
) )
30 sqr1 12874 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  1 )  =  1
3129, 30syl6breq 4434 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  <  1 )
3216, 31chtppilimlem2 22851 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x
) ) )
335adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
1  -  y )  e.  RR )
34 max1 11263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
3533, 1, 34sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
367adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
37 2re 10497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
38 elicopnf 11497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
4039simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
41 chtcl 22575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
43 ppinncl 22640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
(π `  x )  e.  NN )
4439, 43sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  (π `  x
)  e.  NN )
4544nnrpd 11132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  (π `  x
)  e.  RR+ )
462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  1  e.  RR )
4737a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  2  e.  RR )
48 1lt2 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  1  <  2 )
5039simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  2  <_  x )
5146, 47, 40, 49, 50ltletrd 9637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  1  < 
x )
5240, 51rplogcld 22206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
5345, 52rpmulcld 11149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) )  e.  RR+ )
5442, 53rerpdivcld 11160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  e.  RR )
5554adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
56 lelttr 9571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR  /\  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  /\  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ->  ( 1  -  y )  <  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
5733, 36, 55, 56syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  /\  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ->  ( 1  -  y )  <  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
5835, 57mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  -> 
( 1  -  y
)  <  ( ( theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
597recnd 9518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  CC )
6059sqsqrd 13038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  =  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) )
6261oveq1d 6210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
6362breq1d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  ( if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
) )
6442adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
6553rpregt0d 11139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
67 ltmuldiv 10308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) )  e.  RR  /\  ( theta `  x )  e.  RR  /\  ( ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  ->  (
( if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
6836, 64, 66, 67syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
6963, 68bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
70 0red 9493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
71 2pos 10519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <  2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  <  2 )
7370, 47, 40, 72, 50ltletrd 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  < 
x )
7440, 73elrpd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
75 chtleppi 22677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  <_  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( theta `  x )  <_  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )
7753rpcnd 11135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
7877mulid1d 9509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  x.  1 )  =  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )
7976, 78breqtrrd 4421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( theta `  x )  <_  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  x.  1 ) )
8042, 46, 53ledivmuld 11182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( ( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  <_  1  <->  ( theta `  x )  <_  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  x.  1 ) ) )
8179, 80mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  <_ 
1 )
8254, 46, 81abssuble0d 13032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  - 
1 ) )  =  ( 1  -  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
8382breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  <  y ) )
8483adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  <  y ) )
852a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
863adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  y  e.  RR )
87 ltsub23 9925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  <  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
8885, 55, 86, 87syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( 1  -  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  < 
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
8984, 88bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  < 
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
9058, 69, 893imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) )
9190imim2d 52 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
)  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  - 
1 ) )  < 
y ) ) )
9291ralimdva 2829 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x ) )  ->  A. x  e.  (
2 [,) +oo )
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) ) )
9392reximdv 2927 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) ) )
9432, 93mpd 15 . . . 4  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) )
9594rgen 2893 . . 3  |-  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y )
9654recnd 9518 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  e.  CC )
9796adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
9897ralrimiva 2827 . . . 4  |-  ( T. 
->  A. x  e.  ( 2 [,) +oo )
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
9940ssriv 3463 . . . . 5  |-  ( 2 [,) +oo )  C_  RR
10099a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2 [,) +oo )  C_  RR )
101 1cnd 9508 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
10298, 100, 101rlim2 13087 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) ) )
10395, 102mpbiri 233 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  ~~> r  1 )
104103trud 1379 1  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758   A.wral 2796   E.wrex 2797    C_ wss 3431   ifcif 3894   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    x. cmul 9393   +oocpnf 9521    < clt 9524    <_ cle 9525    - cmin 9701    / cdiv 10099   NNcn 10428   2c2 10477   RR+crp 11097   [,)cico 11408   ^cexp 11977   sqrcsqr 12835   abscabs 12836    ~~> r crli 13076   logclog 22134   thetaccht 22556  πcppi 22559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-ioc 11411  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164  df-bc 12191  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-o1 13081  df-lo1 13082  df-sum 13277  df-ef 13466  df-e 13467  df-sin 13468  df-cos 13469  df-pi 13471  df-dvds 13649  df-gcd 13804  df-prm 13877  df-pc 14017  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-fbas 17934  df-fg 17935  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-lp 18867  df-perf 18868  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-haus 19046  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-fil 19546  df-fm 19638  df-flim 19639  df-flf 19640  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-cncf 20581  df-limc 21469  df-dv 21470  df-log 22136  df-cxp 22137  df-cht 22562  df-ppi 22565
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