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Theorem chtppilim 22667
Description: The  theta function is asymptotic to π ( x ) log ( x ), so it is sufficient to prove 
theta ( x )  /  x 
~~> r  1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtppilim  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1

Proof of Theorem chtppilim
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 halfre 10536 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
2 1re 9381 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
3 rpre 10993 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
4 resubcl 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  -  y
)  e.  RR )
52, 3, 4sylancr 658 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  -  y )  e.  RR )
6 ifcl 3828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( 1  -  y
)  e.  RR )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
71, 5, 6sylancr 658 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
8 0red 9383 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  e.  RR )
91a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
10 halfgt0 10538 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( 1  /  2
)
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
( 1  /  2
) )
12 max2 11155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  / 
2 )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
135, 1, 12sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
148, 9, 7, 11, 13ltletrd 9527 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )
157, 14elrpd 11021 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR+ )
1615rpsqrcld 12894 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  e.  RR+ )
17 halflt1 10539 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  <  1
18 ltsubrp 11018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( 1  -  y
)  <  1 )
192, 18mpan 665 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  -  y )  <  1 )
20 breq1 4292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  -> 
( ( 1  / 
2 )  <  1  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 ) )
21 breq1 4292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  -  y )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  -> 
( ( 1  -  y )  <  1  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 ) )
2220, 21ifboth 3822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  <  1  /\  ( 1  -  y
)  <  1 )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 )
2317, 19, 22sylancr 658 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 )
2415rpge0d 11027 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
252a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
26 0le1 9859 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  <_ 
1 )
287, 24, 25, 27sqrltd 12910 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1  <->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )  <  ( sqr `  1
) ) )
2923, 28mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  < 
( sqr `  1
) )
30 sqr1 12757 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  1 )  =  1
3129, 30syl6breq 4328 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  <  1 )
3216, 31chtppilimlem2 22666 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x
) ) )
335adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
1  -  y )  e.  RR )
34 max1 11153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
3533, 1, 34sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
367adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
37 2re 10387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
38 elicopnf 11381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
4039simplbi 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
41 chtcl 22390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
43 ppinncl 22455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
(π `  x )  e.  NN )
4439, 43sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  (π `  x
)  e.  NN )
4544nnrpd 11022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  (π `  x
)  e.  RR+ )
462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  1  e.  RR )
4737a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  2  e.  RR )
48 1lt2 10484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  1  <  2 )
5039simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  2  <_  x )
5146, 47, 40, 49, 50ltletrd 9527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  1  < 
x )
5240, 51rplogcld 22021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
5345, 52rpmulcld 11039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) )  e.  RR+ )
5442, 53rerpdivcld 11050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  e.  RR )
5554adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
56 lelttr 9461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR  /\  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  /\  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ->  ( 1  -  y )  <  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
5733, 36, 55, 56syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  /\  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ->  ( 1  -  y )  <  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
5835, 57mpand 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  -> 
( 1  -  y
)  <  ( ( theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
597recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  CC )
6059sqsqrd 12921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
6160adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  =  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) )
6261oveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
6362breq1d 4299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  ( if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
) )
6442adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
6553rpregt0d 11029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
6665adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
67 ltmuldiv 10198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) )  e.  RR  /\  ( theta `  x )  e.  RR  /\  ( ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  ->  (
( if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
6836, 64, 66, 67syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
6963, 68bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
70 0red 9383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
71 2pos 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <  2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  <  2 )
7370, 47, 40, 72, 50ltletrd 9527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  < 
x )
7440, 73elrpd 11021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
75 chtleppi 22492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  <_  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( theta `  x )  <_  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )
7753rpcnd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
7877mulid1d 9399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  x.  1 )  =  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )
7976, 78breqtrrd 4315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( theta `  x )  <_  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  x.  1 ) )
8042, 46, 53ledivmuld 11072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( ( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  <_  1  <->  ( theta `  x )  <_  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  x.  1 ) ) )
8179, 80mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  <_ 
1 )
8254, 46, 81abssuble0d 12915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  - 
1 ) )  =  ( 1  -  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
8382breq1d 4299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  <  y ) )
8483adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  <  y ) )
852a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
863adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  y  e.  RR )
87 ltsub23 9815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  <  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
8885, 55, 86, 87syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( 1  -  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  < 
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
8984, 88bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  < 
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
9058, 69, 893imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) )
9190imim2d 52 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
)  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  - 
1 ) )  < 
y ) ) )
9291ralimdva 2792 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x ) )  ->  A. x  e.  (
2 [,) +oo )
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) ) )
9392reximdv 2825 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) ) )
9432, 93mpd 15 . . . 4  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) )
9594rgen 2779 . . 3  |-  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y )
9654recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  e.  CC )
9796adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
9897ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( T. 
->  A. x  e.  ( 2 [,) +oo )
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
9940ssriv 3357 . . . . 5  |-  ( 2 [,) +oo )  C_  RR
10099a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2 [,) +oo )  C_  RR )
101 1cnd 9398 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
10298, 100, 101rlim2 12970 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,) +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) ) )
10395, 102mpbiri 233 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  ~~> r  1 )
104103trud 1373 1  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714    C_ wss 3325   ifcif 3788   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283   +oocpnf 9411    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   RR+crp 10987   [,)cico 11298   ^cexp 11861   sqrcsqr 12718   abscabs 12719    ~~> r crli 12959   logclog 21949   thetaccht 22371  πcppi 22374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-o1 12964  df-lo1 12965  df-sum 13160  df-ef 13349  df-e 13350  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-limc 21241  df-dv 21242  df-log 21951  df-cxp 21952  df-cht 22377  df-ppi 22380
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