Theorem chtppilim 23777

Description: The theta function is asymptotic to π ( x ) log ( x ), so it is sufficient to prove theta ( x ) / x ~~> r 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtppilim	|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ~~> r 1

Proof of Theorem chtppilim

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfre 10671	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 2 ) e. RR
2		1re 9506	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
3		rpre 11145	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
4		resubcl 9796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 1 - y ) e. RR )
5	2, 3, 4	sylancr 661	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 1 - y ) e. RR )
6		ifcl 3899	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ ( 1 - y ) e. RR ) -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR )
7	1, 5, 6	sylancr 661	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR )
8		0red 9508	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 e. RR )
9	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / 2 ) e. RR )
10		halfgt0 10673	. . . . . . . . . 10 |- 0 < ( 1 / 2 )
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 < ( 1 / 2 ) )
12		max2 11309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 - y ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 1 / 2 ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
13	5, 1, 12	sylancl 660	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / 2 ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
14	8, 9, 7, 11, 13	ltletrd 9653	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> 0 < if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
15	7, 14	elrpd 11174	. . . . . . 7 |- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR+ )
16	15	rpsqrtcld 13245	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) e. RR+ )
17		halflt1 10674	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 2 ) < 1
18		ltsubrp 11171	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ y e. RR+ ) -> ( 1 - y ) < 1 )
19	2, 18	mpan 668	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 1 - y ) < 1 )
20		breq1 4370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) -> ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 ) )
21		breq1 4370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 - y ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) -> ( ( 1 - y ) < 1 <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 ) )
22	20, 21	ifboth 3893	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) < 1 /\ ( 1 - y ) < 1 ) -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 )
23	17, 19, 22	sylancr 661	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 )
24	15	rpge0d 11181	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
25	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 1 e. RR )
26		0le1 9993	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 <_ 1 )
28	7, 24, 25, 27	sqrtltd 13261	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 <-> ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) < ( sqr ` 1 ) ) )
29	23, 28	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( y e. RR+ -> ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) < ( sqr ` 1 ) )
30		sqrt1 13107	. . . . . . 7 |- ( sqr ` 1 ) = 1
31	29, 30	syl6breq 4406	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) < 1 )
32	16, 31	chtppilimlem2 23776	. . . . 5 |- ( y e. RR+ -> E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) )
33	5	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( 1 - y ) e. RR )
34		max1 11307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 - y ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
35	33, 1, 34	sylancl 660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
36	7	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR )
37		2re 10522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
38		elicopnf 11541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. RR -> ( x e. ( 2 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 2 <_ x ) ) )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 2 <_ x ) )
40	39	simplbi 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> x e. RR )
41		chtcl 23500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( theta ` x ) e. RR )
42	40, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( theta ` x ) e. RR )
43		ppinncl 23565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ 2 <_ x ) -> (π ` x ) e. NN )
44	39, 43	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> (π ` x ) e. NN )
45	44	nnrpd 11175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> (π ` x ) e. RR+ )
46	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 1 e. RR )
47	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 2 e. RR )
48		1lt2 10619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 < 2
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 1 < 2 )
50	39	simprbi 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 2 <_ x )
51	46, 47, 40, 49, 50	ltletrd 9653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 1 < x )
52	40, 51	rplogcld 23101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
53	45, 52	rpmulcld 11193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR+ )
54	42, 53	rerpdivcld 11204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
55	54	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
56		lelttr 9586	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 - y ) e. RR /\ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR /\ ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) /\ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) -> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
57	33, 36, 55, 56	syl3anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) /\ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) -> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
58	35, 57	mpand 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) -> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
59	7	recnd 9533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. CC )
60	59	sqsqrtd 13272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR+ -> ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
61	60	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) )
62	61	oveq1d 6211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) = ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) )
63	62	breq1d 4377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) )
64	42	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( theta ` x ) e. RR )
65	53	rpregt0d 11183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) )
66	65	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) )
67		ltmuldiv 10332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR /\ ( theta ` x ) e. RR /\ ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) -> ( ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
68	36, 64, 66, 67	syl3anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
69	63, 68	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
70		0red 9508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 0 e. RR )
71		2pos 10544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 < 2
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 0 < 2 )
73	70, 47, 40, 72, 50	ltletrd 9653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 0 < x )
74	40, 73	elrpd 11174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> x e. RR+ )
75		chtleppi 23602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( theta ` x ) <_ ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( theta ` x ) <_ ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) )
77	53	rpcnd 11179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) e. CC )
78	77	mulid1d 9524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) x. 1 ) = ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) )
79	76, 78	breqtrrd 4393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( theta ` x ) <_ ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) x. 1 ) )
80	42, 46, 53	ledivmuld 11226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) <_ 1 <-> ( theta ` x ) <_ ( ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) x. 1 ) ) )
81	79, 80	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) <_ 1 )
82	54, 46, 81	abssuble0d 13266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) = ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
83	82	breq1d 4377	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y <-> ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y ) )
84	83	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y <-> ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y ) )
85	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
86	3	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> y e. RR )
87		ltsub23 9950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y <-> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
88	85, 55, 86, 87	syl3anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y <-> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
89	84, 88	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y <-> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
90	58, 69, 89	3imtr4d 268	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) )
91	90	imim2d 52	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( z <_ x -> ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) )
92	91	ralimdva 2790	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) -> A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) )
93	92	reximdv 2856	. . . . 5 |- ( y e. RR+ -> ( E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( ( ( sqr ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) -> E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) )
94	32, 93	mpd 15	. . . 4 |- ( y e. RR+ -> E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) )
95	94	rgen 2742	. . 3 |- A. y e. RR+ E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y )
96	54	recnd 9533	. . . . . 6 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
97	96	adantl 464	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
98	97	ralrimiva 2796	. . . 4 |- ( T. -> A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
99	40	ssriv 3421	. . . . 5 |- ( 2 [,) +oo ) C_ RR
100	99	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( 2 [,) +oo ) C_ RR )
101		1cnd 9523	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. CC )
102	98, 100, 101	rlim2 13321	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ~~> r 1 <-> A. y e. RR+ E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) )
103	95, 102	mpbiri 233	. 2 |- ( T. -> ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ~~> r 1 )
104	103	trud 1408	1 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / ( (π ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ~~> r 1

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1399   T. wtru 1400   e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   C_ wss 3389   ifcif 3857   class class class wbr 4367   |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404   x. cmul 9408   +oocpnf 9536   < clt 9539   <_ cle 9540   - cmin 9718   / cdiv 10123   NNcn 10452   2c2 10502   RR+crp 11139   [,)cico 11452   ^cexp 12069   sqrcsqrt 13068   abscabs 13069   ~~> r crli 13310   logclog 23027   thetaccht 23481  πcppi 23484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-o1 13315  df-lo1 13316  df-sum 13511  df-ef 13805  df-e 13806  df-sin 13807  df-cos 13808  df-pi 13810  df-dvds 13989  df-gcd 14147  df-prm 14220  df-pc 14363  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-limc 22355  df-dv 22356  df-log 23029  df-cxp 23030  df-cht 23487  df-ppi 23490

This theorem is referenced by:  chebbnd2  23779  chto1lb  23780  pnt  23916