MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chto1ub Unicode version

Theorem chto1ub 21123
Description: The  theta function is upper bounded by a linear term. Corollary of chtub 20949. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chto1ub  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 )

Proof of Theorem chto1ub
StepHypRef Expression
1 rpssre 10578 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
21a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
3 rpre 10574 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
4 chtcl 20845 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
6 rerpdivcl 10595 . . . . . 6  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
75, 6mpancom 651 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
87recnd 9070 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  CC )
98adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  CC )
10 3re 10027 . . . 4  |-  3  e.  RR
1110a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  3  e.  RR )
12 2rp 10573 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
13 relogcl 20426 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
1412, 13ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  RR
15 2re 10025 . . . . 5  |-  2  e.  RR
1614, 15remulcli 9060 . . . 4  |-  ( ( log `  2 )  x.  2 )  e.  RR
1716a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( log `  2
)  x.  2 )  e.  RR )
18 chtge0 20848 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  ( theta `  x )
)
193, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( theta `  x )
)
20 rpregt0 10581 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
21 divge0 9835 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( theta `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( theta `  x
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
( theta `  x )  /  x ) )
225, 19, 20, 21syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( theta `  x
)  /  x ) )
237, 22absidd 12180 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  =  ( (
theta `  x )  /  x ) )
2423adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( abs `  ( ( theta `  x )  /  x
) )  =  ( ( theta `  x )  /  x ) )
257adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( theta `  x )  /  x )  e.  RR )
2616a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( log `  2
)  x.  2 )  e.  RR )
275adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
283adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  x  e.  RR )
29 remulcl 9031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  RR )
3015, 28, 29sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
2  x.  x )  e.  RR )
31 resubcl 9321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  x )  -  3 )  e.  RR )
3230, 10, 31sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  3 )  e.  RR )
33 remulcl 9031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  x )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) )  e.  RR )
3414, 32, 33sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) )  e.  RR )
35 remulcl 9031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  x
)  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  x
) )  e.  RR )
3614, 30, 35sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  RR )
3715a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  2  e.  RR )
3810a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  3  e.  RR )
39 2lt3 10099 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <  3
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  2  <  3 )
41 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  3  <_  x )
4237, 38, 28, 40, 41ltletrd 9186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  2  <  x )
43 chtub 20949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <  x )  -> 
( theta `  x )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) ) )
4428, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( theta `  x )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) ) )
45 3pos 10040 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  3
4610, 45elrpii 10571 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  RR+
47 ltsubrp 10599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  e.  RR  /\  3  e.  RR+ )  -> 
( ( 2  x.  x )  -  3 )  <  ( 2  x.  x ) )
4830, 46, 47sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  3 )  <  ( 2  x.  x ) )
49 1lt2 10098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
50 rplogcl 20452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
5115, 49, 50mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
52 elrp 10570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  <->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
5351, 52mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )
55 ltmul2 9817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  x )  -  3 )  e.  RR  /\  ( 2  x.  x
)  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  x )  - 
3 )  <  (
2  x.  x )  <-> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  x
) ) ) )
5632, 30, 54, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( ( 2  x.  x )  -  3 )  <  ( 2  x.  x )  <->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )
5748, 56mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  x
) ) )
5827, 34, 36, 44, 57lttrd 9187 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( theta `  x )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  x ) ) )
5914recni 9058 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  2 )  e.  CC
6059a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( log `  2 )  e.  CC )
61 2cn 10026 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
6261a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  2  e.  CC )
633recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
6463adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  x  e.  CC )
6560, 62, 64mulassd 9067 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( ( log `  2
)  x.  2 )  x.  x )  =  ( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  x ) ) )
6658, 65breqtrrd 4198 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( theta `  x )  < 
( ( ( log `  2 )  x.  2 )  x.  x
) )
6720adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
68 ltdivmul2 9841 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  2 )  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  -> 
( ( ( theta `  x )  /  x
)  <  ( ( log `  2 )  x.  2 )  <->  ( theta `  x )  <  (
( ( log `  2
)  x.  2 )  x.  x ) ) )
6927, 26, 67, 68syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  x )  <  ( ( log `  2 )  x.  2 )  <->  ( theta `  x )  <  (
( ( log `  2
)  x.  2 )  x.  x ) ) )
7066, 69mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( theta `  x )  /  x )  <  (
( log `  2
)  x.  2 ) )
7125, 26, 70ltled 9177 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( theta `  x )  /  x )  <_  (
( log `  2
)  x.  2 ) )
7224, 71eqbrtrd 4192 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( abs `  ( ( theta `  x )  /  x
) )  <_  (
( log `  2
)  x.  2 ) )
7372adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( theta `  x )  /  x ) )  <_ 
( ( log `  2
)  x.  2 ) )
742, 9, 11, 17, 73elo1d 12285 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
7574trud 1329 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   2c2 10005   3c3 10006   RR+crp 10568   abscabs 11994   O (
1 )co1 12235   logclog 20405   thetaccht 20826
This theorem is referenced by:  chebbnd2  21124  chpo1ub  21127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-lo1 12240  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cht 20832
  Copyright terms: Public domain W3C validator