MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chto1ub Structured version   Unicode version

Theorem chto1ub 24306
Description: The  theta function is upper bounded by a linear term. Corollary of chtub 24132. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chto1ub  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  e.  O(1)

Proof of Theorem chto1ub
StepHypRef Expression
1 rpssre 11314 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
21a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
3 rpre 11310 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
4 chtcl 24028 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
53, 4syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
6 rerpdivcl 11332 . . . . . 6  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
75, 6mpancom 674 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
87recnd 9671 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  CC )
98adantl 468 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  CC )
10 3re 10685 . . . 4  |-  3  e.  RR
1110a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  3  e.  RR )
12 2rp 11309 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
13 relogcl 23517 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  RR
15 2re 10681 . . . . 5  |-  2  e.  RR
1614, 15remulcli 9659 . . . 4  |-  ( ( log `  2 )  x.  2 )  e.  RR
1716a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( log `  2
)  x.  2 )  e.  RR )
18 chtge0 24031 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  ( theta `  x )
)
193, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( theta `  x )
)
20 rpregt0 11317 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
21 divge0 10476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( theta `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( theta `  x
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
( theta `  x )  /  x ) )
225, 19, 20, 21syl21anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( theta `  x
)  /  x ) )
237, 22absidd 13478 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  =  ( (
theta `  x )  /  x ) )
2423adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( abs `  ( ( theta `  x )  /  x
) )  =  ( ( theta `  x )  /  x ) )
257adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( theta `  x )  /  x )  e.  RR )
2616a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( log `  2
)  x.  2 )  e.  RR )
275adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
283adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  x  e.  RR )
29 remulcl 9626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  RR )
3015, 28, 29sylancr 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
2  x.  x )  e.  RR )
31 resubcl 9940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  x )  -  3 )  e.  RR )
3230, 10, 31sylancl 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  3 )  e.  RR )
33 remulcl 9626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  x )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) )  e.  RR )
3414, 32, 33sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) )  e.  RR )
35 remulcl 9626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  x
)  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  x
) )  e.  RR )
3614, 30, 35sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  RR )
3715a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  2  e.  RR )
3810a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  3  e.  RR )
39 2lt3 10779 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <  3
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  2  <  3 )
41 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  3  <_  x )
4237, 38, 28, 40, 41ltletrd 9797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  2  <  x )
43 chtub 24132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <  x )  -> 
( theta `  x )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) ) )
4428, 42, 43syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( theta `  x )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) ) )
45 3pos 10705 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  3
4610, 45elrpii 11307 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  RR+
47 ltsubrp 11337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  e.  RR  /\  3  e.  RR+ )  -> 
( ( 2  x.  x )  -  3 )  <  ( 2  x.  x ) )
4830, 46, 47sylancl 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  3 )  <  ( 2  x.  x ) )
49 1lt2 10778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
50 rplogcl 23545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
5115, 49, 50mp2an 677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
52 elrp 11306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  <->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
5351, 52mpbi 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )
55 ltmul2 10458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  x )  -  3 )  e.  RR  /\  ( 2  x.  x
)  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  x )  - 
3 )  <  (
2  x.  x )  <-> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  x
) ) ) )
5632, 30, 54, 55syl3anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( ( 2  x.  x )  -  3 )  <  ( 2  x.  x )  <->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )
5748, 56mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  x
) ) )
5827, 34, 36, 44, 57lttrd 9798 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( theta `  x )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  x ) ) )
5914recni 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  2 )  e.  CC
6059a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( log `  2 )  e.  CC )
61 2cnd 10684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  2  e.  CC )
623recnd 9671 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
6362adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  x  e.  CC )
6460, 61, 63mulassd 9668 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( ( log `  2
)  x.  2 )  x.  x )  =  ( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  x ) ) )
6558, 64breqtrrd 4448 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( theta `  x )  < 
( ( ( log `  2 )  x.  2 )  x.  x
) )
6620adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
67 ltdivmul2 10484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  2 )  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  -> 
( ( ( theta `  x )  /  x
)  <  ( ( log `  2 )  x.  2 )  <->  ( theta `  x )  <  (
( ( log `  2
)  x.  2 )  x.  x ) ) )
6827, 26, 66, 67syl3anc 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  x )  <  ( ( log `  2 )  x.  2 )  <->  ( theta `  x )  <  (
( ( log `  2
)  x.  2 )  x.  x ) ) )
6965, 68mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( theta `  x )  /  x )  <  (
( log `  2
)  x.  2 ) )
7025, 26, 69ltled 9785 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( theta `  x )  /  x )  <_  (
( log `  2
)  x.  2 ) )
7124, 70eqbrtrd 4442 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( abs `  ( ( theta `  x )  /  x
) )  <_  (
( log `  2
)  x.  2 ) )
7271adantl 468 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( theta `  x )  /  x ) )  <_ 
( ( log `  2
)  x.  2 ) )
732, 9, 11, 17, 72elo1d 13593 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  e.  O(1) )
7473trud 1447 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438   T. wtru 1439    e. wcel 1869    C_ wss 3437   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    x. cmul 9546    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862    / cdiv 10271   2c2 10661   3c3 10662   RR+crp 11304   abscabs 13291   O(1)co1 13543   logclog 23496   thetaccht 24009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-o1 13547  df-lo1 13548  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-prm 14616  df-pc 14780  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814  df-log 23498  df-cht 24015
This theorem is referenced by:  chebbnd2  24307  chpo1ub  24310
  Copyright terms: Public domain W3C validator