MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chto1ub Structured version   Unicode version

Theorem chto1ub 22841
Description: The  theta function is upper bounded by a linear term. Corollary of chtub 22667. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chto1ub  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  e.  O(1)

Proof of Theorem chto1ub
StepHypRef Expression
1 rpssre 11102 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
21a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
3 rpre 11098 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
4 chtcl 22563 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
6 rerpdivcl 11119 . . . . . 6  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
75, 6mpancom 669 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
87recnd 9513 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  CC )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  CC )
10 3re 10496 . . . 4  |-  3  e.  RR
1110a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  3  e.  RR )
12 2rp 11097 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
13 relogcl 22143 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  RR
15 2re 10492 . . . . 5  |-  2  e.  RR
1614, 15remulcli 9501 . . . 4  |-  ( ( log `  2 )  x.  2 )  e.  RR
1716a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( log `  2
)  x.  2 )  e.  RR )
18 chtge0 22566 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  ( theta `  x )
)
193, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( theta `  x )
)
20 rpregt0 11105 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
21 divge0 10299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( theta `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( theta `  x
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
( theta `  x )  /  x ) )
225, 19, 20, 21syl21anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( theta `  x
)  /  x ) )
237, 22absidd 13011 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  =  ( (
theta `  x )  /  x ) )
2423adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( abs `  ( ( theta `  x )  /  x
) )  =  ( ( theta `  x )  /  x ) )
257adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( theta `  x )  /  x )  e.  RR )
2616a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( log `  2
)  x.  2 )  e.  RR )
275adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
283adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  x  e.  RR )
29 remulcl 9468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  RR )
3015, 28, 29sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
2  x.  x )  e.  RR )
31 resubcl 9774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  x )  -  3 )  e.  RR )
3230, 10, 31sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  3 )  e.  RR )
33 remulcl 9468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  x )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) )  e.  RR )
3414, 32, 33sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) )  e.  RR )
35 remulcl 9468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  x
)  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  x
) )  e.  RR )
3614, 30, 35sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  RR )
3715a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  2  e.  RR )
3810a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  3  e.  RR )
39 2lt3 10590 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <  3
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  2  <  3 )
41 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  3  <_  x )
4237, 38, 28, 40, 41ltletrd 9632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  2  <  x )
43 chtub 22667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <  x )  -> 
( theta `  x )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) ) )
4428, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( theta `  x )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) ) )
45 3pos 10516 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  3
4610, 45elrpii 11095 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  RR+
47 ltsubrp 11123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  e.  RR  /\  3  e.  RR+ )  -> 
( ( 2  x.  x )  -  3 )  <  ( 2  x.  x ) )
4830, 46, 47sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  3 )  <  ( 2  x.  x ) )
49 1lt2 10589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
50 rplogcl 22169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
5115, 49, 50mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
52 elrp 11094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  <->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
5351, 52mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )
55 ltmul2 10281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  x )  -  3 )  e.  RR  /\  ( 2  x.  x
)  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  x )  - 
3 )  <  (
2  x.  x )  <-> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  x
) ) ) )
5632, 30, 54, 55syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( ( 2  x.  x )  -  3 )  <  ( 2  x.  x )  <->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) )
5748, 56mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  x )  -  3 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  x
) ) )
5827, 34, 36, 44, 57lttrd 9633 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( theta `  x )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  x ) ) )
5914recni 9499 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  2 )  e.  CC
6059a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( log `  2 )  e.  CC )
61 2cnd 10495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  2  e.  CC )
623recnd 9513 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
6362adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  x  e.  CC )
6460, 61, 63mulassd 9510 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( ( log `  2
)  x.  2 )  x.  x )  =  ( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  x ) ) )
6558, 64breqtrrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( theta `  x )  < 
( ( ( log `  2 )  x.  2 )  x.  x
) )
6620adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
67 ltdivmul2 10308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  2 )  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  -> 
( ( ( theta `  x )  /  x
)  <  ( ( log `  2 )  x.  2 )  <->  ( theta `  x )  <  (
( ( log `  2
)  x.  2 )  x.  x ) ) )
6827, 26, 66, 67syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  x )  <  ( ( log `  2 )  x.  2 )  <->  ( theta `  x )  <  (
( ( log `  2
)  x.  2 )  x.  x ) ) )
6965, 68mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( theta `  x )  /  x )  <  (
( log `  2
)  x.  2 ) )
7025, 26, 69ltled 9623 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  (
( theta `  x )  /  x )  <_  (
( log `  2
)  x.  2 ) )
7124, 70eqbrtrd 4410 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x )  ->  ( abs `  ( ( theta `  x )  /  x
) )  <_  (
( log `  2
)  x.  2 ) )
7271adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  3  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( theta `  x )  /  x ) )  <_ 
( ( log `  2
)  x.  2 ) )
732, 9, 11, 17, 72elo1d 13116 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  e.  O(1) )
7473trud 1379 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    C_ wss 3426   class class class wbr 4390    |-> cmpt 4448   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384    x. cmul 9388    < clt 9519    <_ cle 9520    - cmin 9696    / cdiv 10094   2c2 10472   3c3 10473   RR+crp 11092   abscabs 12825   O(1)co1 13066   logclog 22122   thetaccht 22544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ioc 11406  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-fac 12153  df-bc 12180  df-hash 12205  df-shft 12658  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-o1 13070  df-lo1 13071  df-sum 13266  df-ef 13455  df-sin 13457  df-cos 13458  df-pi 13460  df-dvds 13638  df-gcd 13793  df-prm 13866  df-pc 14006  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lp 18856  df-perf 18857  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-haus 19035  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-limc 21457  df-dv 21458  df-log 22124  df-cht 22550
This theorem is referenced by:  chebbnd2  22842  chpo1ub  22845
  Copyright terms: Public domain W3C validator