MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtlepsi Structured version   Unicode version

Theorem chtlepsi 22544
Description: The first Chebyshev function is less than the second. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chtlepsi  |-  ( A  e.  RR  ->  ( theta `  A )  <_ 
(ψ `  A )
)

Proof of Theorem chtlepsi
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11794 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  e. 
Fin )
2 elfznn 11477 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
32adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
4 vmacl 22455 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
6 vmage0 22458 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
73, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
8 ppisval 22440 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  =  ( ( 2 ... ( |_ `  A
) )  i^i  Prime ) )
9 inss1 3569 . . . . 5  |-  ( ( 2 ... ( |_
`  A ) )  i^i  Prime )  C_  (
2 ... ( |_ `  A ) )
10 2nn 10478 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
11 nnuz 10895 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1210, 11eleqtri 2514 . . . . . 6  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
13 fzss1 11496 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... ( |_ `  A ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
1412, 13mp1i 12 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2 ... ( |_ `  A ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
159, 14syl5ss 3366 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 2 ... ( |_ `  A ) )  i^i  Prime )  C_  (
1 ... ( |_ `  A ) ) )
168, 15eqsstrd 3389 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  C_  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
171, 5, 7, 16fsumless 13258 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) (Λ `  n )  <_ 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) (Λ `  n ) )
18 chtval 22447 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( theta `  A )  = 
sum_ n  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) ( log `  n ) )
19 inss2 3570 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  C_  Prime
20 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  n  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  n  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )
2119, 20sseldi 3353 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  n  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  n  e.  Prime )
22 vmaprm 22454 . . . . 5  |-  ( n  e.  Prime  ->  (Λ `  n
)  =  ( log `  n ) )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  n  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
(Λ `  n )  =  ( log `  n
) )
2423sumeq2dv 13179 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) (Λ `  n )  =  sum_ n  e.  ( ( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) ( log `  n ) )
2518, 24eqtr4d 2477 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( theta `  A )  = 
sum_ n  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) (Λ `  n ) )
26 chpval 22459 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (ψ `  A )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) (Λ `  n
) )
2717, 25, 263brtr4d 4321 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( theta `  A )  <_ 
(ψ `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3326    C_ wss 3327   class class class wbr 4291   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   RRcr 9280   0cc0 9281   1c1 9282    <_ cle 9418   NNcn 10321   2c2 10370   ZZ>=cuz 10860   [,]cicc 11302   ...cfz 11436   |_cfl 11639   sum_csu 13162   Primecprime 13762   logclog 22005   thetaccht 22427  Λcvma 22428  ψcchp 22429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-addf 9360  ax-mulf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ioo 11303  df-ioc 11304  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-mod 11708  df-seq 11806  df-exp 11865  df-fac 12051  df-bc 12078  df-hash 12103  df-shft 12555  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-limsup 12948  df-clim 12965  df-rlim 12966  df-sum 13163  df-ef 13352  df-sin 13354  df-cos 13355  df-pi 13357  df-dvds 13535  df-gcd 13690  df-prm 13763  df-pc 13903  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-hom 14261  df-cco 14262  df-rest 14360  df-topn 14361  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-topgen 14381  df-pt 14382  df-prds 14385  df-xrs 14439  df-qtop 14444  df-imas 14445  df-xps 14447  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-mnd 15414  df-submnd 15464  df-mulg 15547  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-met 17810  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-fbas 17813  df-fg 17814  df-cnfld 17818  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-cld 18622  df-ntr 18623  df-cls 18624  df-nei 18701  df-lp 18739  df-perf 18740  df-cn 18830  df-cnp 18831  df-haus 18918  df-tx 19134  df-hmeo 19327  df-fil 19418  df-fm 19510  df-flim 19511  df-flf 19512  df-xms 19894  df-ms 19895  df-tms 19896  df-cncf 20453  df-limc 21340  df-dv 21341  df-log 22007  df-cht 22433  df-vma 22434  df-chp 22435
This theorem is referenced by:  chprpcl  22545  chteq0  22547  chpchtlim  22727
  Copyright terms: Public domain W3C validator