MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtleppi Structured version   Unicode version

Theorem chtleppi 22571
Description: Upper bound on the  theta function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtleppi  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( theta `  A )  <_  (
(π `  A )  x.  ( log `  A
) ) )

Proof of Theorem chtleppi
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpre 11018 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 ppifi 22465 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  e. 
Fin )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  e.  Fin )
4 inss2 3592 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  C_  Prime
5 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )
64, 5sseldi 3375 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  Prime )
7 prmnn 13787 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  NN )
98nnrpd 11047 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  RR+ )
109relogcld 22094 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  p )  e.  RR )
11 relogcl 22049 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
1211adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
13 inss1 3591 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  C_  (
0 [,] A )
1413, 5sseldi 3375 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( 0 [,] A
) )
15 0re 9407 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
16 elicc2 11381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( p  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A ) ) )
1715, 1, 16sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( p  e.  ( 0 [,] A )  <->  ( p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A
) ) )
1817biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  p  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  (
p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A ) )
1914, 18syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  ( p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A
) )
2019simp3d 1002 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  <_  A )
219reeflogd 22095 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  ( exp `  ( log `  p
) )  =  p )
22 reeflog 22051 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( exp `  ( log `  A
) )  =  A )
2322adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  ( exp `  ( log `  A
) )  =  A )
2420, 21, 233brtr4d 4343 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  ( exp `  ( log `  p
) )  <_  ( exp `  ( log `  A
) ) )
25 efle 13423 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  p
)  e.  RR  /\  ( log `  A )  e.  RR )  -> 
( ( log `  p
)  <_  ( log `  A )  <->  ( exp `  ( log `  p
) )  <_  ( exp `  ( log `  A
) ) ) )
2610, 12, 25syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  ( ( log `  p )  <_ 
( log `  A
)  <->  ( exp `  ( log `  p ) )  <_  ( exp `  ( log `  A ) ) ) )
2724, 26mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  p )  <_  ( log `  A ) )
283, 10, 12, 27fsumle 13283 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  <_  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( log `  A
) )
29 chtval 22470 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( theta `  A )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )
301, 29syl 16 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( theta `  A )  =  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) )
31 ppival 22487 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (π `  A )  =  (
# `  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) ) )
321, 31syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  (π `  A
)  =  ( # `  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ) )
3332oveq1d 6127 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (π `  A )  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( # `  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  x.  ( log `  A ) ) )
3411recnd 9433 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  CC )
35 fsumconst 13278 . . . 4  |-  ( ( ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  e.  Fin  /\  ( log `  A )  e.  CC )  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( log `  A
)  =  ( (
# `  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  x.  ( log `  A
) ) )
363, 34, 35syl2anc 661 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( log `  A
)  =  ( (
# `  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  x.  ( log `  A
) ) )
3733, 36eqtr4d 2478 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (π `  A )  x.  ( log `  A ) )  =  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) ( log `  A ) )
3828, 30, 373brtr4d 4343 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( theta `  A )  <_  (
(π `  A )  x.  ( log `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3348   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303    x. cmul 9308    <_ cle 9440   NNcn 10343   RR+crp 11012   [,]cicc 11324   #chash 12124   sum_csu 13184   expce 13368   Primecprime 13784   logclog 22028   thetaccht 22450  πcppi 22453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-sin 13376  df-cos 13377  df-pi 13379  df-dvds 13557  df-prm 13785  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364  df-log 22030  df-cht 22456  df-ppi 22459
This theorem is referenced by:  chtppilim  22746
  Copyright terms: Public domain W3C validator