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Theorem chtdif 22499
Description: The difference of the Chebyshev function at two points sums the logarithms of the primes in an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtdif  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( theta `  N )  -  ( theta `  M )
)  =  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) ( log `  p
) )
Distinct variable groups:    M, p    N, p

Proof of Theorem chtdif
StepHypRef Expression
1 eluzelre 10874 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
2 chtval 22451 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( theta `  N )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] N
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( theta `  N )  =  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) )
4 eluzel2 10869 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
5 2z 10681 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
6 ifcl 3834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 )  e.  ZZ )
74, 5, 6sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 )  e.  ZZ )
85a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  2  e.  ZZ )
94zred 10750 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  RR )
10 2re 10394 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
11 min2 11164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 )  <_  2
)
129, 10, 11sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 )  <_ 
2 )
13 eluz2 10870 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) )  <->  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 )  <_  2 ) )
147, 8, 12, 13syl3anbrc 1172 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  2  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ) )
15 ppisval2 22445 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ) )  ->  (
( 0 [,] N
)  i^i  Prime )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime ) )
161, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
0 [,] N )  i^i  Prime )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime ) )
17 eluzelz 10873 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
18 flid 11660 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  N )  =  N )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( |_ `  N )  =  N )
2019oveq2d 6110 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  N ) )  =  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N ) )
2120ineq1d 3554 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime )  =  (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i  Prime ) )
2216, 21eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
0 [,] N )  i^i  Prime )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i  Prime ) )
2322sumeq1d 13181 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  =  sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) )
249ltp1d 10266 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
25 fzdisj 11479 . . . . . . . . 9  |-  ( M  <  ( M  + 
1 )  ->  (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  =  (/) )
2726ineq1d 3554 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  i^i  Prime )  =  ( (/)  i^i  Prime ) )
28 inindir 3571 . . . . . . 7  |-  ( ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  i^i  Prime )  =  ( ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... M
)  i^i  Prime )  i^i  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) )
29 incom 3546 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  i^i 
Prime )  =  ( Prime  i^i  (/) )
30 in0 3666 . . . . . . . 8  |-  ( Prime  i^i  (/) )  =  (/)
3129, 30eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( (/)  i^i 
Prime )  =  (/)
3227, 28, 313eqtr3g 2498 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  Prime )  i^i  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i 
Prime ) )  =  (/) )
33 min1 11163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 )  <_  M
)
349, 10, 33sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 )  <_  M )
35 eluz2 10870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) )  <->  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 )  <_  M ) )
367, 4, 34, 35syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ) )
37 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
38 elfzuzb 11450 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  <->  ( M  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
3936, 37, 38sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... N
) )
40 fzsplit 11478 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  -> 
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
4241ineq1d 3554 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime )  =  (
( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  i^i  Prime ) )
43 indir 3601 . . . . . . 7  |-  ( ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) )  i^i  Prime )  =  ( ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... M
)  i^i  Prime )  u.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) )
4442, 43syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime )  =  (
( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime )  u.  (
( ( M  + 
1 ) ... N
)  i^i  Prime ) ) )
45 fzfid 11798 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  e. 
Fin )
46 inss1 3573 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... N
)  i^i  Prime )  C_  ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... N
)
47 ssfi 7536 . . . . . . 7  |-  ( ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  e.  Fin  /\  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime )  C_  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N ) )  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
4845, 46, 47sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
49 inss2 3574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... N
)  i^i  Prime )  C_  Prime
50 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )  ->  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )
5149, 50sseldi 3357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )  ->  p  e.  Prime )
52 prmnn 13769 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )  ->  p  e.  NN )
5453nnrpd 11029 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )  ->  p  e.  RR+ )
5554relogcld 22075 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )  ->  ( log `  p )  e.  RR )
5655recnd 9415 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )  ->  ( log `  p )  e.  CC )
5732, 44, 48, 56fsumsplit 13219 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) ( log `  p
)  =  ( sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
)  +  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) ( log `  p
) ) )
5823, 57eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  =  ( sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
)  +  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) ( log `  p
) ) )
593, 58eqtrd 2475 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( theta `  N )  =  (
sum_ p  e.  (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  +  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) ( log `  p
) ) )
60 chtval 22451 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  ( theta `  M )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] M
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )
619, 60syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( theta `  M )  =  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) )
62 ppisval2 22445 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  2  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ) )  ->  (
( 0 [,] M
)  i^i  Prime )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  M ) )  i^i 
Prime ) )
639, 14, 62syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
0 [,] M )  i^i  Prime )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  M
) )  i^i  Prime ) )
64 flid 11660 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( |_ `  M )  =  M )
654, 64syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( |_ `  M )  =  M )
6665oveq2d 6110 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  M ) )  =  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M ) )
6766ineq1d 3554 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  M ) )  i^i 
Prime )  =  (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  Prime ) )
6863, 67eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
0 [,] M )  i^i  Prime )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  Prime ) )
6968sumeq1d 13181 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] M )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  =  sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) )
7061, 69eqtrd 2475 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( theta `  M )  =  sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) )
7159, 70oveq12d 6112 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( theta `  N )  -  ( theta `  M )
)  =  ( (
sum_ p  e.  (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  +  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) ( log `  p
) )  -  sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) ) )
72 fzfi 11797 . . . . . 6  |-  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  e. 
Fin
73 inss1 3573 . . . . . 6  |-  ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... M
)  i^i  Prime )  C_  ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... M
)
74 ssfi 7536 . . . . . 6  |-  ( ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  e.  Fin  /\  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime )  C_  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M ) )  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
7572, 73, 74mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... M
)  i^i  Prime )  e. 
Fin
7675a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
77 ssun1 3522 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... M
)  i^i  Prime )  C_  ( ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime )  u.  (
( ( M  + 
1 ) ... N
)  i^i  Prime ) )
7877, 44syl5sseqr 3408 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime )  C_  ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... N
)  i^i  Prime ) )
7978sselda 3359 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) )  ->  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )
8079, 56syldan 470 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) )  ->  ( log `  p )  e.  CC )
8176, 80fsumcl 13213 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
)  e.  CC )
82 fzfi 11797 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  1 ) ... N )  e. 
Fin
83 inss1 3573 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime )  C_  (
( M  +  1 ) ... N )
84 ssfi 7536 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  e.  Fin  /\  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) 
C_  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime )  e.  Fin )
8582, 83, 84mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime )  e.  Fin
8685a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime )  e.  Fin )
87 ssun2 3523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime )  C_  (
( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime )  u.  (
( ( M  + 
1 ) ... N
)  i^i  Prime ) )
8887, 44syl5sseqr 3408 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime )  C_  (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i  Prime ) )
8988sselda 3359 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )
9089, 56syldan 470 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  p )  e.  CC )
9186, 90fsumcl 13213 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  e.  CC )
9281, 91pncan2d 9724 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... M
)  i^i  Prime ) ( log `  p )  +  sum_ p  e.  ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )  -  sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) )  =  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) )
9371, 92eqtrd 2475 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( theta `  N )  -  ( theta `  M )
)  =  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) ( log `  p
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3329    i^i cin 3330    C_ wss 3331   (/)c0 3640   ifcif 3794   class class class wbr 4295   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Fincfn 7313   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    < clt 9421    <_ cle 9422    - cmin 9598   NNcn 10325   2c2 10374   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   [,]cicc 11306   ...cfz 11440   |_cfl 11643   sum_csu 13166   Primecprime 13766   logclog 22009   thetaccht 22431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-ef 13356  df-sin 13358  df-cos 13359  df-pi 13361  df-dvds 13539  df-prm 13767  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345  df-log 22011  df-cht 22437
This theorem is referenced by:  efchtdvds  22500
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