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Theorem chtdif 22455
Description: The difference of the Chebyshev function at two points sums the logarithms of the primes in an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtdif  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( theta `  N )  -  ( theta `  M )
)  =  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) ( log `  p
) )
Distinct variable groups:    M, p    N, p

Proof of Theorem chtdif
StepHypRef Expression
1 eluzelre 10867 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
2 chtval 22407 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( theta `  N )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] N
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( theta `  N )  =  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) )
4 eluzel2 10862 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
5 2z 10674 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
6 ifcl 3828 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 )  e.  ZZ )
74, 5, 6sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 )  e.  ZZ )
85a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  2  e.  ZZ )
94zred 10743 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  RR )
10 2re 10387 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
11 min2 11157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 )  <_  2
)
129, 10, 11sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 )  <_ 
2 )
13 eluz2 10863 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) )  <->  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 )  <_  2 ) )
147, 8, 12, 13syl3anbrc 1167 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  2  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ) )
15 ppisval2 22401 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ) )  ->  (
( 0 [,] N
)  i^i  Prime )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime ) )
161, 14, 15syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
0 [,] N )  i^i  Prime )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime ) )
17 eluzelz 10866 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
18 flid 11653 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  N )  =  N )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( |_ `  N )  =  N )
2019oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  N ) )  =  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N ) )
2120ineq1d 3548 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime )  =  (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i  Prime ) )
2216, 21eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
0 [,] N )  i^i  Prime )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i  Prime ) )
2322sumeq1d 13174 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  =  sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) )
249ltp1d 10259 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
25 fzdisj 11472 . . . . . . . . 9  |-  ( M  <  ( M  + 
1 )  ->  (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  =  (/) )
2726ineq1d 3548 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  i^i  Prime )  =  ( (/)  i^i  Prime ) )
28 inindir 3565 . . . . . . 7  |-  ( ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  i^i  Prime )  =  ( ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... M
)  i^i  Prime )  i^i  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) )
29 incom 3540 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  i^i 
Prime )  =  ( Prime  i^i  (/) )
30 in0 3660 . . . . . . . 8  |-  ( Prime  i^i  (/) )  =  (/)
3129, 30eqtri 2461 . . . . . . 7  |-  ( (/)  i^i 
Prime )  =  (/)
3227, 28, 313eqtr3g 2496 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  Prime )  i^i  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i 
Prime ) )  =  (/) )
33 min1 11156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 )  <_  M
)
349, 10, 33sylancl 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 )  <_  M )
35 eluz2 10863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) )  <->  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 )  <_  M ) )
367, 4, 34, 35syl3anbrc 1167 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ) )
37 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
38 elfzuzb 11443 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  <->  ( M  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
3936, 37, 38sylanbrc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... N
) )
40 fzsplit 11471 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  -> 
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
4241ineq1d 3548 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime )  =  (
( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  i^i  Prime ) )
43 indir 3595 . . . . . . 7  |-  ( ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) )  i^i  Prime )  =  ( ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... M
)  i^i  Prime )  u.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) )
4442, 43syl6eq 2489 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime )  =  (
( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime )  u.  (
( ( M  + 
1 ) ... N
)  i^i  Prime ) ) )
45 fzfid 11791 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  e. 
Fin )
46 inss1 3567 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... N
)  i^i  Prime )  C_  ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... N
)
47 ssfi 7529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  e.  Fin  /\  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime )  C_  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N ) )  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
4845, 46, 47sylancl 657 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
49 inss2 3568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... N
)  i^i  Prime )  C_  Prime
50 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )  ->  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )
5149, 50sseldi 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )  ->  p  e.  Prime )
52 prmnn 13762 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )  ->  p  e.  NN )
5453nnrpd 11022 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )  ->  p  e.  RR+ )
5554relogcld 22031 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )  ->  ( log `  p )  e.  RR )
5655recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )  ->  ( log `  p )  e.  CC )
5732, 44, 48, 56fsumsplit 13212 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) ( log `  p
)  =  ( sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
)  +  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) ( log `  p
) ) )
5823, 57eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  =  ( sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
)  +  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) ( log `  p
) ) )
593, 58eqtrd 2473 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( theta `  N )  =  (
sum_ p  e.  (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  +  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) ( log `  p
) ) )
60 chtval 22407 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  ( theta `  M )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] M
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )
619, 60syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( theta `  M )  =  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) )
62 ppisval2 22401 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  2  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ) )  ->  (
( 0 [,] M
)  i^i  Prime )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  M ) )  i^i 
Prime ) )
639, 14, 62syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
0 [,] M )  i^i  Prime )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  M
) )  i^i  Prime ) )
64 flid 11653 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( |_ `  M )  =  M )
654, 64syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( |_ `  M )  =  M )
6665oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  M ) )  =  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M ) )
6766ineq1d 3548 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... ( |_ `  M ) )  i^i 
Prime )  =  (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  Prime ) )
6863, 67eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
0 [,] M )  i^i  Prime )  =  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  Prime ) )
6968sumeq1d 13174 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] M )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  =  sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) )
7061, 69eqtrd 2473 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( theta `  M )  =  sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) )
7159, 70oveq12d 6108 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( theta `  N )  -  ( theta `  M )
)  =  ( (
sum_ p  e.  (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  +  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) ( log `  p
) )  -  sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) ) )
72 fzfi 11790 . . . . . 6  |-  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  e. 
Fin
73 inss1 3567 . . . . . 6  |-  ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... M
)  i^i  Prime )  C_  ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... M
)
74 ssfi 7529 . . . . . 6  |-  ( ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  e.  Fin  /\  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime )  C_  ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M ) )  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
7572, 73, 74mp2an 667 . . . . 5  |-  ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... M
)  i^i  Prime )  e. 
Fin
7675a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
77 ssun1 3516 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... M
)  i^i  Prime )  C_  ( ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime )  u.  (
( ( M  + 
1 ) ... N
)  i^i  Prime ) )
7877, 44syl5sseqr 3402 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime )  C_  ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... N
)  i^i  Prime ) )
7978sselda 3353 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) )  ->  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )
8079, 56syldan 467 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) )  ->  ( log `  p )  e.  CC )
8176, 80fsumcl 13206 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
)  e.  CC )
82 fzfi 11790 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  1 ) ... N )  e. 
Fin
83 inss1 3567 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime )  C_  (
( M  +  1 ) ... N )
84 ssfi 7529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  e.  Fin  /\  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) 
C_  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime )  e.  Fin )
8582, 83, 84mp2an 667 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime )  e.  Fin
8685a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime )  e.  Fin )
87 ssun2 3517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime )  C_  (
( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime )  u.  (
( ( M  + 
1 ) ... N
)  i^i  Prime ) )
8887, 44syl5sseqr 3402 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime )  C_  (
( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i  Prime ) )
8988sselda 3353 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... N )  i^i 
Prime ) )
9089, 56syldan 467 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  p )  e.  CC )
9186, 90fsumcl 13206 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  e.  CC )
9281, 91pncan2d 9717 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_ 
2 ,  M , 
2 ) ... M
)  i^i  Prime ) ( log `  p )  +  sum_ p  e.  ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )  -  sum_ p  e.  ( ( if ( M  <_  2 ,  M ,  2 ) ... M )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) )  =  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i 
Prime ) ( log `  p
) )
9371, 92eqtrd 2473 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( theta `  N )  -  ( theta `  M )
)  =  sum_ p  e.  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  Prime ) ( log `  p
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   NNcn 10318   2c2 10367   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   [,]cicc 11299   ...cfz 11433   |_cfl 11636   sum_csu 13159   Primecprime 13759   logclog 21965   thetaccht 22387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-prm 13760  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-cht 22393
This theorem is referenced by:  efchtdvds  22456
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