MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cht1 Structured version   Unicode version

Theorem cht1 23820
Description: The Chebyshev function at  1. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cht1  |-  ( theta `  1 )  =  0

Proof of Theorem cht1
StepHypRef Expression
1 1re 9625 . . 3  |-  1  e.  RR
2 chtval 23765 . . 3  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( theta `  1 )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] 1
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( theta `  1 )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] 1
)  i^i  Prime ) ( log `  p )
4 ppisval 23758 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
( 0 [,] 1
)  i^i  Prime )  =  ( ( 2 ... ( |_ `  1
) )  i^i  Prime ) )
51, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( 0 [,] 1 )  i^i  Prime )  =  ( ( 2 ... ( |_ `  1 ) )  i^i  Prime )
6 1z 10935 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
7 flid 11982 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( |_ `  1 )  =  1 )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( |_
`  1 )  =  1
98oveq2i 6289 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( |_ ` 
1 ) )  =  ( 2 ... 1
)
10 1lt2 10743 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
11 2z 10937 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
12 fzn 11756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  2  <->  ( 2 ... 1 )  =  (/) ) )
1311, 6, 12mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  ( 1  <  2  <->  ( 2 ... 1 )  =  (/) )
1410, 13mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... 1 )  =  (/)
159, 14eqtri 2431 . . . . . 6  |-  ( 2 ... ( |_ ` 
1 ) )  =  (/)
1615ineq1i 3637 . . . . 5  |-  ( ( 2 ... ( |_
`  1 ) )  i^i  Prime )  =  (
(/)  i^i  Prime )
17 incom 3632 . . . . 5  |-  ( (/)  i^i 
Prime )  =  ( Prime  i^i  (/) )
18 in0 3765 . . . . 5  |-  ( Prime  i^i  (/) )  =  (/)
1916, 17, 183eqtri 2435 . . . 4  |-  ( ( 2 ... ( |_
`  1 ) )  i^i  Prime )  =  (/)
205, 19eqtri 2431 . . 3  |-  ( ( 0 [,] 1 )  i^i  Prime )  =  (/)
2120sumeq1i 13669 . 2  |-  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] 1 )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  =  sum_ p  e.  (/)  ( log `  p
)
22 sum0 13692 . 2  |-  sum_ p  e.  (/)  ( log `  p
)  =  0
233, 21, 223eqtri 2435 1  |-  ( theta `  1 )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1405    e. wcel 1842    i^i cin 3413   (/)c0 3738   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    < clt 9658   2c2 10626   ZZcz 10905   [,]cicc 11585   ...cfz 11726   |_cfl 11964   sum_csu 13657   Primecprime 14426   logclog 23234   thetaccht 23745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-dvds 14196  df-prm 14427  df-cht 23751
This theorem is referenced by:  cht2  23827
  Copyright terms: Public domain W3C validator