HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chsupval Structured version   Unicode version

Theorem chsupval 26823
Description: The value of the supremum of a set of closed subspaces of Hilbert space. For an alternate version of the value, see chsupval2 26898. (Contributed by NM, 13-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chsupval  |-  ( A 
C_  CH  ->  (  \/H  `  A )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  U. A ) ) )

Proof of Theorem chsupval
StepHypRef Expression
1 chsspwh 26735 . . 3  |-  CH  C_  ~P ~H
2 sstr2 3477 . . 3  |-  ( A 
C_  CH  ->  ( CH  C_ 
~P ~H  ->  A  C_  ~P ~H ) )
31, 2mpi 21 . 2  |-  ( A 
C_  CH  ->  A  C_  ~P ~H )
4 hsupval 26822 . 2  |-  ( A 
C_  ~P ~H  ->  (  \/H  `  A )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  U. A ) ) )
53, 4syl 17 1  |-  ( A 
C_  CH  ->  (  \/H  `  A )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  U. A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   U.cuni 4222   ` cfv 5601   ~Hchil 26407   CHcch 26417   _|_cort 26418    \/H chsup 26422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-hilex 26487  ax-hfvadd 26488  ax-hv0cl 26491  ax-hfvmul 26493
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-map 7482  df-nn 10610  df-hlim 26460  df-sh 26695  df-ch 26709  df-chsup 26799
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator