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Theorem chscllem2 27152
Description: Lemma for chscl 27155. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CH )
chscl.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CH )
chscl.3  |-  ( ph  ->  B  C_  ( _|_ `  A ) )
chscl.4  |-  ( ph  ->  H : NN --> ( A  +H  B ) )
chscl.5  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  u )
chscl.6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( proj h `  A ) `  ( H `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
chscllem2  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>v  )
Distinct variable groups:    u, n, A    ph, n    B, n, u    n, H, u
Allowed substitution hints:    ph( u)    F( u, n)

Proof of Theorem chscllem2
Dummy variables  j  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chscl.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CH )
2 chscl.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CH )
3 chscl.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  ( _|_ `  A ) )
4 chscl.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : NN --> ( A  +H  B ) )
5 chscl.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  u )
6 chscl.6 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( proj h `  A ) `  ( H `  n )
) )
71, 2, 3, 4, 5, 6chscllem1 27151 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> A )
8 chss 26743 . . . . 5  |-  ( A  e.  CH  ->  A  C_ 
~H )
91, 8syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ~H )
107, 9fssd 5746 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> ~H )
11 hlimcaui 26750 . . . . . . 7  |-  ( H 
~~>v  u  ->  H  e.  Cauchy )
125, 11syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  Cauchy )
13 hcaucvg 26700 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  Cauchy  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x )
1412, 13sylan 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x )
15 eluznn 11218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
1615adantll 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  k  e.  NN )
17 chsh 26738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  CH  ->  A  e.  SH )
181, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  A  e.  SH )
19 chsh 26738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( B  e.  CH  ->  B  e.  SH )
202, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  SH )
21 shscl 26832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  e.  SH )
2218, 20, 21syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( A  +H  B
)  e.  SH )
23 shss 26724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  +H  B )  e.  SH  ->  ( A  +H  B )  C_  ~H )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A  +H  B
)  C_  ~H )
2524adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A  +H  B )  C_  ~H )
264ffvelrnda 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `
 j )  e.  ( A  +H  B
) )
2725, 26sseldd 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `
 j )  e. 
~H )
2827adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( H `  j
)  e.  ~H )
294, 24fssd 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  H : NN --> ~H )
3029adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  H : NN --> ~H )
31 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
k  e.  NN )
3230, 31ffvelrnd 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( H `  k
)  e.  ~H )
33 hvsubcl 26531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( H `  j
)  e.  ~H  /\  ( H `  k )  e.  ~H )  -> 
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  e.  ~H )
3428, 32, 33syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  e.  ~H )
359adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A  C_  ~H )
367ffvelrnda 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  e.  A )
3735, 36sseldd 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  e. 
~H )
3837adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( F `  j
)  e.  ~H )
399adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  A  C_  ~H )
407adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  F : NN --> A )
4140, 31ffvelrnd 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( F `  k
)  e.  A )
4239, 41sseldd 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ~H )
43 hvsubcl 26531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  ~H  /\  ( F `  k )  e.  ~H )  -> 
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  ~H )
4438, 42, 43syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  ~H )
45 hvsubcl 26531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  e.  ~H  /\  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ~H )
4634, 44, 45syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ~H )
47 normcl 26639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) )  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) )  e.  RR )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) )  e.  RR )
4948sqge0d 12429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
0  <_  ( ( normh `  ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) )  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) ) ^
2 ) )
50 normcl 26639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  e.  RR )
5144, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  e.  RR )
5251resqcld 12428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
5348resqcld 12428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
5452, 53addge01d 10190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( 0  <_  (
( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ^ 2 )  <->  ( ( normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  <_  (
( ( normh `  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
5549, 54mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( (
normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ^ 2 ) ) )
5618adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  A  e.  SH )
5736adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( F `  j
)  e.  A )
58 shsubcl 26734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( F `  j )  e.  A  /\  ( F `  k )  e.  A )  ->  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) )  e.  A )
5956, 57, 41, 58syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  A )
60 hvsubsub4 26574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( H `  j )  e.  ~H  /\  ( H `  k
)  e.  ~H )  /\  ( ( F `  j )  e.  ~H  /\  ( F `  k
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  =  ( ( ( H `
 j )  -h  ( F `  j
) )  -h  (
( H `  k
)  -h  ( F `
 k ) ) ) )
6128, 32, 38, 42, 60syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  =  ( ( ( H `  j
)  -h  ( F `
 j ) )  -h  ( ( H `
 k )  -h  ( F `  k
) ) ) )
62 ocsh 26797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
6339, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( _|_ `  A
)  e.  SH )
64 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  j  ->  ( H `  n )  =  ( H `  j ) )
6564fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  j  ->  (
( proj h `  A ) `  ( H `  n )
)  =  ( (
proj h `  A ) `
 ( H `  j ) ) )
66 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
proj h `  A ) `
 ( H `  j ) )  e. 
_V
6765, 6, 66fvmpt 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  ( ( proj h `  A ) `  ( H `  j
) ) )
6867eqcomd 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( proj h `  A ) `  ( H `  j )
)  =  ( F `
 j ) )
6968adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
proj h `  A ) `
 ( H `  j ) )  =  ( F `  j
) )
701adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A  e. 
CH )
719, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( _|_ `  A
)  e.  SH )
72 shless 26873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( B  e.  SH  /\  ( _|_ `  A
)  e.  SH  /\  A  e.  SH )  /\  B  C_  ( _|_ `  A ) )  -> 
( B  +H  A
)  C_  ( ( _|_ `  A )  +H  A ) )
7320, 71, 18, 3, 72syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( B  +H  A
)  C_  ( ( _|_ `  A )  +H  A ) )
74 shscom 26833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( B  +H  A ) )
7518, 20, 74syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( A  +H  B
)  =  ( B  +H  A ) )
76 shscom 26833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( _|_ `  A )  e.  SH )  -> 
( A  +H  ( _|_ `  A ) )  =  ( ( _|_ `  A )  +H  A
) )
7718, 71, 76syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( A  +H  ( _|_ `  A ) )  =  ( ( _|_ `  A )  +H  A
) )
7873, 75, 773sstr4d 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( A  +H  B
)  C_  ( A  +H  ( _|_ `  A
) ) )
7978adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A  +H  B )  C_  ( A  +H  ( _|_ `  A ) ) )
8079, 26sseldd 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `
 j )  e.  ( A  +H  ( _|_ `  A ) ) )
81 pjpreeq 26912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( H `  j )  e.  ( A  +H  ( _|_ `  A ) ) )  ->  (
( ( proj h `  A ) `  ( H `  j )
)  =  ( F `
 j )  <->  ( ( F `  j )  e.  A  /\  E. x  e.  ( _|_ `  A
) ( H `  j )  =  ( ( F `  j
)  +h  x ) ) ) )
8270, 80, 81syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( proj h `  A ) `  ( H `  j )
)  =  ( F `
 j )  <->  ( ( F `  j )  e.  A  /\  E. x  e.  ( _|_ `  A
) ( H `  j )  =  ( ( F `  j
)  +h  x ) ) ) )
8369, 82mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `  j )  e.  A  /\  E. x  e.  ( _|_ `  A ) ( H `
 j )  =  ( ( F `  j )  +h  x
) ) )
8483simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) ( H `  j )  =  ( ( F `  j
)  +h  x ) )
8527adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  ( H `  j )  e.  ~H )
8637adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  ( F `  j )  e.  ~H )
87 shss 26724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
8871, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( _|_ `  A
)  C_  ~H )
8988adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
9089sselda 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  x  e.  ~H )
91 hvsubadd 26591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( H `  j
)  e.  ~H  /\  ( F `  j )  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  =  x  <->  ( ( F `  j )  +h  x )  =  ( H `  j ) ) )
9285, 86, 90, 91syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  =  x  <->  ( ( F `  j )  +h  x )  =  ( H `  j ) ) )
93 eqcom 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( ( H `
 j )  -h  ( F `  j
) )  <->  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j
) )  =  x )
94 eqcom 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( H `  j )  =  ( ( F `
 j )  +h  x )  <->  ( ( F `  j )  +h  x )  =  ( H `  j ) )
9592, 93, 943bitr4g 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  (
x  =  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j ) )  <->  ( H `  j )  =  ( ( F `  j
)  +h  x ) ) )
9695rexbidva 2934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  ( _|_ `  A ) x  =  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  <->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) ( H `  j
)  =  ( ( F `  j )  +h  x ) ) )
9784, 96mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) x  =  ( ( H `  j
)  -h  ( F `
 j ) ) )
98 risset 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( H `  j
)  -h  ( F `
 j ) )  e.  ( _|_ `  A
)  <->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) x  =  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j ) ) )
9997, 98sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j ) )  e.  ( _|_ `  A
) )
10099adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  e.  ( _|_ `  A ) )
101 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  NN  <->  k  e.  NN ) )
102101anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  /\  j  e.  NN )  <->  ( ph  /\  k  e.  NN ) ) )
103 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  =  k  ->  ( H `  j )  =  ( H `  k ) )
104 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
105103, 104oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  k  ->  (
( H `  j
)  -h  ( F `
 j ) )  =  ( ( H `
 k )  -h  ( F `  k
) ) )
106105eleq1d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  e.  ( _|_ `  A )  <->  ( ( H `  k )  -h  ( F `  k
) )  e.  ( _|_ `  A ) ) )
107102, 106imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  e.  ( _|_ `  A ) )  <->  ( ( ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( H `
 k )  -h  ( F `  k
) )  e.  ( _|_ `  A ) ) ) )
108107, 99chvarv 2067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( H `  k )  -h  ( F `  k ) )  e.  ( _|_ `  A
) )
109108adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( H `  k )  -h  ( F `  k )
)  e.  ( _|_ `  A ) )
110 shsubcl 26734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  SH  /\  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  e.  ( _|_ `  A )  /\  (
( H `  k
)  -h  ( F `
 k ) )  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  -h  ( ( H `  k )  -h  ( F `  k ) ) )  e.  ( _|_ `  A
) )
11163, 100, 109, 110syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( H `
 j )  -h  ( F `  j
) )  -h  (
( H `  k
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ( _|_ `  A ) )
11261, 111eqeltrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ( _|_ `  A ) )
113 shocorth 26806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  SH  ->  (
( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  e.  A  /\  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ( _|_ `  A ) )  -> 
( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  .ih  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) )  =  0 ) )
11456, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) )  e.  A  /\  ( ( ( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  .ih  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) )  =  0 ) )
11559, 112, 114mp2and 683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  .ih  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) )  =  0 )
116 normpyth 26659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  ~H  /\  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) )  .ih  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) )  =  0  ->  ( ( normh `  ( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  +h  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
11744, 46, 116syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) )  .ih  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) )  =  0  ->  ( ( normh `  ( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  +h  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
118115, 117mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  +h  ( ( ( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ^ 2 ) ) )
119 hvpncan3 26556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  ~H  /\  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  +h  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) )  =  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) ) )
12044, 34, 119syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  +h  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) )  =  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) ) )
121120fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( normh `  ( (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) )  +h  ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) )  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) ) )  =  ( normh `  (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) ) ) )
122121oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  +h  ( ( ( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) ) ^ 2 ) )
123118, 122eqtr3d 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) ^ 2 )  +  ( (
normh `  ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) )  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( normh `  (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) ) ) ^ 2 ) )
12455, 123breqtrd 4441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) ) ^ 2 ) )
125 normcl 26639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) ) )  e.  RR )
12634, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  e.  RR )
127 normge0 26640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) ) )
12844, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
0  <_  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) )
129 normge0 26640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) ) )
13034, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
0  <_  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) ) )
13151, 126, 128, 130le2sqd 12437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  <_  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) )  <->  ( ( normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  <_  (
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) ) ^
2 ) ) )
132124, 131mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  <_ 
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) ) )
133132adantlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) )  <_  ( normh `  ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) ) ) )
13451adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) )  e.  RR )
135126adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) )  e.  RR )
136 rpre 11297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
137136ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  x  e.  RR )
138 lelttr 9713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  e.  RR  /\  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( (
normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  <_ 
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  /\  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x )  ->  ( normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
139134, 135, 137, 138syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  <_ 
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  /\  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x )  ->  ( normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
140133, 139mpand 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( ( normh `  ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x  ->  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) )  <  x
) )
141140anassrs 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) )  <  x  ->  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
14216, 141syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) )  <  x  ->  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
143142ralimdva 2831 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
normh `  ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
144143reximdva 2898 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
14514, 144mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x )
146145ralrimiva 2837 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) )  <  x
)
147 hcau 26698 . . 3  |-  ( F  e.  Cauchy 
<->  ( F : NN --> ~H  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) )  <  x
) )
14810, 146, 147sylanbrc 668 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  Cauchy )
149 ax-hcompl 26716 . 2  |-  ( F  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  F  ~~>v  x )
150 hlimf 26751 . . . . 5  |-  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H
151 ffn 5737 . . . . 5  |-  (  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H  ->  ~~>v  Fn  dom  ~~>v  )
152150, 151ax-mp 5 . . . 4  |-  ~~>v  Fn  dom  ~~>v
153 fnbr 5687 . . . 4  |-  ( ( 
~~>v  Fn  dom  ~~>v  /\  F  ~~>v  x )  ->  F  e.  dom  ~~>v  )
154152, 153mpan 674 . . 3  |-  ( F 
~~>v  x  ->  F  e.  dom 
~~>v  )
155154rexlimivw 2912 . 2  |-  ( E. x  e.  ~H  F  ~~>v  x  ->  F  e.  dom  ~~>v  )
156148, 149, 1553syl 18 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>v  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774    C_ wss 3433   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475   dom cdm 4845    Fn wfn 5587   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   RRcr 9527   0cc0 9528    + caddc 9531    < clt 9664    <_ cle 9665   NNcn 10598   2c2 10648   ZZ>=cuz 11148   RR+crp 11291   ^cexp 12258   ~Hchil 26433    +h cva 26434    .ih csp 26436   normhcno 26437    -h cmv 26439   Cauchyccau 26440    ~~>v chli 26441   SHcsh 26442   CHcch 26443   _|_cort 26444    +H cph 26445   proj hcpjh 26451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608  ax-hilex 26513  ax-hfvadd 26514  ax-hvcom 26515  ax-hvass 26516  ax-hv0cl 26517  ax-hvaddid 26518  ax-hfvmul 26519  ax-hvmulid 26520  ax-hvmulass 26521  ax-hvdistr1 26522  ax-hvdistr2 26523  ax-hvmul0 26524  ax-hfi 26593  ax-his1 26596  ax-his2 26597  ax-his3 26598  ax-his4 26599  ax-hcompl 26716
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-icc 11631  df-seq 12200  df-exp 12259  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-topgen 15294  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-lm 20169  df-haus 20255  df-cau 22132  df-grpo 25790  df-gid 25791  df-ginv 25792  df-gdiv 25793  df-ablo 25881  df-vc 26036  df-nv 26082  df-va 26085  df-ba 26086  df-sm 26087  df-0v 26088  df-vs 26089  df-nmcv 26090  df-ims 26091  df-hnorm 26482  df-hvsub 26485  df-hlim 26486  df-hcau 26487  df-sh 26721  df-ch 26735  df-oc 26766  df-ch0 26767  df-shs 26822  df-pjh 26909
This theorem is referenced by:  chscllem4  27154
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