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Theorem chscllem2 24986
Description: Lemma for chscl 24989. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CH )
chscl.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CH )
chscl.3  |-  ( ph  ->  B  C_  ( _|_ `  A ) )
chscl.4  |-  ( ph  ->  H : NN --> ( A  +H  B ) )
chscl.5  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  u )
chscl.6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( proj h `  A ) `  ( H `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
chscllem2  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>v  )
Distinct variable groups:    u, n, A    ph, n    B, n, u    n, H, u
Allowed substitution hints:    ph( u)    F( u, n)

Proof of Theorem chscllem2
Dummy variables  j  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chscl.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CH )
2 chscl.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CH )
3 chscl.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  ( _|_ `  A ) )
4 chscl.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : NN --> ( A  +H  B ) )
5 chscl.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  u )
6 chscl.6 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( proj h `  A ) `  ( H `  n )
) )
71, 2, 3, 4, 5, 6chscllem1 24985 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> A )
8 chss 24577 . . . . 5  |-  ( A  e.  CH  ->  A  C_ 
~H )
91, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ~H )
10 fss 5560 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> A  /\  A  C_  ~H )  ->  F : NN --> ~H )
117, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> ~H )
12 hlimcaui 24584 . . . . . . 7  |-  ( H 
~~>v  u  ->  H  e.  Cauchy )
135, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  Cauchy )
14 hcaucvg 24533 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  Cauchy  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x )
1513, 14sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x )
16 eluznn 10917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
1716adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  k  e.  NN )
18 chsh 24572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  CH  ->  A  e.  SH )
191, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  A  e.  SH )
20 chsh 24572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( B  e.  CH  ->  B  e.  SH )
212, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  SH )
22 shscl 24666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  e.  SH )
2319, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( A  +H  B
)  e.  SH )
24 shss 24557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  +H  B )  e.  SH  ->  ( A  +H  B )  C_  ~H )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A  +H  B
)  C_  ~H )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A  +H  B )  C_  ~H )
274ffvelrnda 5836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `
 j )  e.  ( A  +H  B
) )
2826, 27sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `
 j )  e. 
~H )
2928adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( H `  j
)  e.  ~H )
30 fss 5560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( H : NN --> ( A  +H  B )  /\  ( A  +H  B
)  C_  ~H )  ->  H : NN --> ~H )
314, 25, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  H : NN --> ~H )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  H : NN --> ~H )
33 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
k  e.  NN )
3432, 33ffvelrnd 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( H `  k
)  e.  ~H )
35 hvsubcl 24364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( H `  j
)  e.  ~H  /\  ( H `  k )  e.  ~H )  -> 
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  e.  ~H )
3629, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  e.  ~H )
379adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A  C_  ~H )
387ffvelrnda 5836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  e.  A )
3937, 38sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  e. 
~H )
4039adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( F `  j
)  e.  ~H )
419adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  A  C_  ~H )
427adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  F : NN --> A )
4342, 33ffvelrnd 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( F `  k
)  e.  A )
4441, 43sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ~H )
45 hvsubcl 24364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  ~H  /\  ( F `  k )  e.  ~H )  -> 
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  ~H )
4640, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  ~H )
47 hvsubcl 24364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  e.  ~H  /\  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ~H )
4836, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ~H )
49 normcl 24472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) )  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) )  e.  RR )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) )  e.  RR )
5150sqge0d 12027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
0  <_  ( ( normh `  ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) )  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) ) ^
2 ) )
52 normcl 24472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  e.  RR )
5346, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  e.  RR )
5453resqcld 12026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
5550resqcld 12026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
5654, 55addge01d 9919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( 0  <_  (
( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ^ 2 )  <->  ( ( normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  <_  (
( ( normh `  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
5751, 56mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( (
normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ^ 2 ) ) )
5819adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  A  e.  SH )
5938adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( F `  j
)  e.  A )
60 shsubcl 24568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( F `  j )  e.  A  /\  ( F `  k )  e.  A )  ->  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) )  e.  A )
6158, 59, 43, 60syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  A )
62 hvsubsub4 24407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( H `  j )  e.  ~H  /\  ( H `  k
)  e.  ~H )  /\  ( ( F `  j )  e.  ~H  /\  ( F `  k
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  =  ( ( ( H `
 j )  -h  ( F `  j
) )  -h  (
( H `  k
)  -h  ( F `
 k ) ) ) )
6329, 34, 40, 44, 62syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  =  ( ( ( H `  j
)  -h  ( F `
 j ) )  -h  ( ( H `
 k )  -h  ( F `  k
) ) ) )
64 ocsh 24631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
6541, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( _|_ `  A
)  e.  SH )
66 fveq2 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  j  ->  ( H `  n )  =  ( H `  j ) )
6766fveq2d 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  j  ->  (
( proj h `  A ) `  ( H `  n )
)  =  ( (
proj h `  A ) `
 ( H `  j ) ) )
68 fvex 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
proj h `  A ) `
 ( H `  j ) )  e. 
_V
6967, 6, 68fvmpt 5767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  ( ( proj h `  A ) `  ( H `  j
) ) )
7069eqcomd 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( proj h `  A ) `  ( H `  j )
)  =  ( F `
 j ) )
7170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
proj h `  A ) `
 ( H `  j ) )  =  ( F `  j
) )
721adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A  e. 
CH )
739, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( _|_ `  A
)  e.  SH )
74 shless 24707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( B  e.  SH  /\  ( _|_ `  A
)  e.  SH  /\  A  e.  SH )  /\  B  C_  ( _|_ `  A ) )  -> 
( B  +H  A
)  C_  ( ( _|_ `  A )  +H  A ) )
7521, 73, 19, 3, 74syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( B  +H  A
)  C_  ( ( _|_ `  A )  +H  A ) )
76 shscom 24667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( B  +H  A ) )
7719, 21, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( A  +H  B
)  =  ( B  +H  A ) )
78 shscom 24667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( _|_ `  A )  e.  SH )  -> 
( A  +H  ( _|_ `  A ) )  =  ( ( _|_ `  A )  +H  A
) )
7919, 73, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( A  +H  ( _|_ `  A ) )  =  ( ( _|_ `  A )  +H  A
) )
8075, 77, 793sstr4d 3392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( A  +H  B
)  C_  ( A  +H  ( _|_ `  A
) ) )
8180adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A  +H  B )  C_  ( A  +H  ( _|_ `  A ) ) )
8281, 27sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `
 j )  e.  ( A  +H  ( _|_ `  A ) ) )
83 pjpreeq 24746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( H `  j )  e.  ( A  +H  ( _|_ `  A ) ) )  ->  (
( ( proj h `  A ) `  ( H `  j )
)  =  ( F `
 j )  <->  ( ( F `  j )  e.  A  /\  E. x  e.  ( _|_ `  A
) ( H `  j )  =  ( ( F `  j
)  +h  x ) ) ) )
8472, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( proj h `  A ) `  ( H `  j )
)  =  ( F `
 j )  <->  ( ( F `  j )  e.  A  /\  E. x  e.  ( _|_ `  A
) ( H `  j )  =  ( ( F `  j
)  +h  x ) ) ) )
8571, 84mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `  j )  e.  A  /\  E. x  e.  ( _|_ `  A ) ( H `
 j )  =  ( ( F `  j )  +h  x
) ) )
8685simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) ( H `  j )  =  ( ( F `  j
)  +h  x ) )
8728adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  ( H `  j )  e.  ~H )
8839adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  ( F `  j )  e.  ~H )
89 shss 24557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
9073, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( _|_ `  A
)  C_  ~H )
9190adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
9291sselda 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  x  e.  ~H )
93 hvsubadd 24424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( H `  j
)  e.  ~H  /\  ( F `  j )  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  =  x  <->  ( ( F `  j )  +h  x )  =  ( H `  j ) ) )
9487, 88, 92, 93syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  =  x  <->  ( ( F `  j )  +h  x )  =  ( H `  j ) ) )
95 eqcom 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( ( H `
 j )  -h  ( F `  j
) )  <->  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j
) )  =  x )
96 eqcom 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( H `  j )  =  ( ( F `
 j )  +h  x )  <->  ( ( F `  j )  +h  x )  =  ( H `  j ) )
9794, 95, 963bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  (
x  =  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j ) )  <->  ( H `  j )  =  ( ( F `  j
)  +h  x ) ) )
9897rexbidva 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  ( _|_ `  A ) x  =  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  <->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) ( H `  j
)  =  ( ( F `  j )  +h  x ) ) )
9986, 98mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) x  =  ( ( H `  j
)  -h  ( F `
 j ) ) )
100 risset 2757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( H `  j
)  -h  ( F `
 j ) )  e.  ( _|_ `  A
)  <->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) x  =  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j ) ) )
10199, 100sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j ) )  e.  ( _|_ `  A
) )
102101adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  e.  ( _|_ `  A ) )
103 eleq1 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  NN  <->  k  e.  NN ) )
104103anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  /\  j  e.  NN )  <->  ( ph  /\  k  e.  NN ) ) )
105 fveq2 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  =  k  ->  ( H `  j )  =  ( H `  k ) )
106 fveq2 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
107105, 106oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  k  ->  (
( H `  j
)  -h  ( F `
 j ) )  =  ( ( H `
 k )  -h  ( F `  k
) ) )
108107eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  e.  ( _|_ `  A )  <->  ( ( H `  k )  -h  ( F `  k
) )  e.  ( _|_ `  A ) ) )
109104, 108imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  e.  ( _|_ `  A ) )  <->  ( ( ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( H `
 k )  -h  ( F `  k
) )  e.  ( _|_ `  A ) ) ) )
110109, 101chvarv 1958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( H `  k )  -h  ( F `  k ) )  e.  ( _|_ `  A
) )
111110adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( H `  k )  -h  ( F `  k )
)  e.  ( _|_ `  A ) )
112 shsubcl 24568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  SH  /\  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  e.  ( _|_ `  A )  /\  (
( H `  k
)  -h  ( F `
 k ) )  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  -h  ( ( H `  k )  -h  ( F `  k ) ) )  e.  ( _|_ `  A
) )
11365, 102, 111, 112syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( H `
 j )  -h  ( F `  j
) )  -h  (
( H `  k
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ( _|_ `  A ) )
11463, 113eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ( _|_ `  A ) )
115 shocorth 24640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  SH  ->  (
( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  e.  A  /\  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ( _|_ `  A ) )  -> 
( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  .ih  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) )  =  0 ) )
11658, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) )  e.  A  /\  ( ( ( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  .ih  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) )  =  0 ) )
11761, 114, 116mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  .ih  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) )  =  0 )
118 normpyth 24492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  ~H  /\  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) )  .ih  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) )  =  0  ->  ( ( normh `  ( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  +h  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
11946, 48, 118syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) )  .ih  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) )  =  0  ->  ( ( normh `  ( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  +h  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
120117, 119mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  +h  ( ( ( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ^ 2 ) ) )
121 hvpncan3 24389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  ~H  /\  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  +h  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) )  =  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) ) )
12246, 36, 121syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  +h  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) )  =  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) ) )
123122fveq2d 5688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( normh `  ( (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) )  +h  ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) )  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) ) )  =  ( normh `  (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) ) ) )
124123oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  +h  ( ( ( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) ) ^ 2 ) )
125120, 124eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) ^ 2 )  +  ( (
normh `  ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) )  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( normh `  (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) ) ) ^ 2 ) )
12657, 125breqtrd 4309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) ) ^ 2 ) )
127 normcl 24472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) ) )  e.  RR )
12836, 127syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  e.  RR )
129 normge0 24473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) ) )
13046, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
0  <_  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) )
131 normge0 24473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) ) )
13236, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
0  <_  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) ) )
13353, 128, 130, 132le2sqd 12035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  <_  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) )  <->  ( ( normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  <_  (
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) ) ^
2 ) ) )
134126, 133mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  <_ 
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) ) )
135134adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) )  <_  ( normh `  ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) ) ) )
13653adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) )  e.  RR )
137128adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) )  e.  RR )
138 rpre 10989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
139138ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  x  e.  RR )
140 lelttr 9457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  e.  RR  /\  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( (
normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  <_ 
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  /\  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x )  ->  ( normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
141136, 137, 139, 140syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  <_ 
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  /\  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x )  ->  ( normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
142135, 141mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( ( normh `  ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x  ->  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) )  <  x
) )
143142anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) )  <  x  ->  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
14417, 143syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) )  <  x  ->  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
145144ralimdva 2788 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
normh `  ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
146145reximdva 2822 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
14715, 146mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x )
148147ralrimiva 2793 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) )  <  x
)
149 hcau 24531 . . 3  |-  ( F  e.  Cauchy 
<->  ( F : NN --> ~H  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) )  <  x
) )
15011, 148, 149sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  Cauchy )
151 ax-hcompl 24549 . 2  |-  ( F  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  F  ~~>v  x )
152 hlimf 24585 . . . . 5  |-  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H
153 ffn 5552 . . . . 5  |-  (  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H  ->  ~~>v  Fn  dom  ~~>v  )
154152, 153ax-mp 5 . . . 4  |-  ~~>v  Fn  dom  ~~>v
155 fnbr 5506 . . . 4  |-  ( ( 
~~>v  Fn  dom  ~~>v  /\  F  ~~>v  x )  ->  F  e.  dom  ~~>v  )
156154, 155mpan 670 . . 3  |-  ( F 
~~>v  x  ->  F  e.  dom 
~~>v  )
157156rexlimivw 2831 . 2  |-  ( E. x  e.  ~H  F  ~~>v  x  ->  F  e.  dom  ~~>v  )
158150, 151, 1573syl 20 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>v  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2709   E.wrex 2710    C_ wss 3321   class class class wbr 4285    e. cmpt 4343   dom cdm 4832    Fn wfn 5406   -->wf 5407   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411   NNcn 10314   2c2 10363   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   ^cexp 11857   ~Hchil 24266    +h cva 24267    .ih csp 24269   normhcno 24270    -h cmv 24272   Cauchyccau 24273    ~~>v chli 24274   SHcsh 24275   CHcch 24276   _|_cort 24277    +H cph 24278   proj hcpjh 24284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354  ax-hilex 24346  ax-hfvadd 24347  ax-hvcom 24348  ax-hvass 24349  ax-hv0cl 24350  ax-hvaddid 24351  ax-hfvmul 24352  ax-hvmulid 24353  ax-hvmulass 24354  ax-hvdistr1 24355  ax-hvdistr2 24356  ax-hvmul0 24357  ax-hfi 24426  ax-his1 24429  ax-his2 24430  ax-his3 24431  ax-his4 24432  ax-hcompl 24549
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-topgen 14374  df-psmet 17778  df-xmet 17779  df-met 17780  df-bl 17781  df-mopn 17782  df-top 18472  df-bases 18474  df-topon 18475  df-lm 18802  df-haus 18888  df-cau 20736  df-grpo 23623  df-gid 23624  df-ginv 23625  df-gdiv 23626  df-ablo 23714  df-vc 23869  df-nv 23915  df-va 23918  df-ba 23919  df-sm 23920  df-0v 23921  df-vs 23922  df-nmcv 23923  df-ims 23924  df-hnorm 24315  df-hvsub 24318  df-hlim 24319  df-hcau 24320  df-sh 24554  df-ch 24569  df-oc 24600  df-ch0 24601  df-shs 24656  df-pjh 24743
This theorem is referenced by:  chscllem4  24988
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