MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrrhm Structured version   Unicode version

Theorem chrrhm 17984
Description: The characteristic restriction on ring homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
chrrhm  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  (chr `  S
)  ||  (chr `  R
) )

Proof of Theorem chrrhm
StepHypRef Expression
1 rhmrcl1 16831 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
32zrhrhm 17965 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  R )  e.  (ring RingHom  R
) )
41, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( ZRHom `  R )  e.  (ring RingHom  R
) )
5 zringbas 17911 . . . . . . 7  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
6 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
75, 6rhmf 16838 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  R )  e.  (ring RingHom  R )  ->  ( ZRHom `  R ) : ZZ --> ( Base `  R
) )
8 ffn 5580 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  R ) : ZZ --> ( Base `  R
)  ->  ( ZRHom `  R )  Fn  ZZ )
94, 7, 83syl 20 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( ZRHom `  R )  Fn  ZZ )
10 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (chr `  R )  =  (chr
`  R )
1110chrcl 17979 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  (chr `  R )  e.  NN0 )
12 nn0z 10690 . . . . . 6  |-  ( (chr
`  R )  e. 
NN0  ->  (chr `  R
)  e.  ZZ )
131, 11, 123syl 20 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  (chr `  R
)  e.  ZZ )
14 fvco2 5787 . . . . 5  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  Fn  ZZ  /\  (chr `  R )  e.  ZZ )  ->  (
( F  o.  ( ZRHom `  R ) ) `
 (chr `  R
) )  =  ( F `  ( ( ZRHom `  R ) `  (chr `  R )
) ) )
159, 13, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( ( F  o.  ( ZRHom `  R ) ) `  (chr `  R ) )  =  ( F `  ( ( ZRHom `  R ) `  (chr `  R ) ) ) )
16 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
1710, 2, 16chrid 17980 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( ZRHom `  R ) `  (chr `  R )
)  =  ( 0g
`  R ) )
181, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( ( ZRHom `  R ) `  (chr `  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
1918fveq2d 5716 . . . 4  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F `  ( ( ZRHom `  R ) `  (chr `  R ) ) )  =  ( F `  ( 0g `  R ) ) )
2015, 19eqtrd 2475 . . 3  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( ( F  o.  ( ZRHom `  R ) ) `  (chr `  R ) )  =  ( F `  ( 0g `  R ) ) )
21 rhmco 16847 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( R RingHom  S )  /\  ( ZRHom `  R )  e.  (ring RingHom  R ) )  -> 
( F  o.  ( ZRHom `  R ) )  e.  (ring RingHom  S ) )
224, 21mpdan 668 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F  o.  ( ZRHom `  R
) )  e.  (ring RingHom  S
) )
23 rhmrcl2 16832 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  S  e.  Ring )
24 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( ZRHom `  S )  =  ( ZRHom `  S )
2524zrhrhmb 17964 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( ( F  o.  ( ZRHom `  R ) )  e.  (ring RingHom  S )  <->  ( F  o.  ( ZRHom `  R
) )  =  ( ZRHom `  S )
) )
2623, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( ( F  o.  ( ZRHom `  R ) )  e.  (ring RingHom  S )  <->  ( F  o.  ( ZRHom `  R
) )  =  ( ZRHom `  S )
) )
2722, 26mpbid 210 . . . 4  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F  o.  ( ZRHom `  R
) )  =  ( ZRHom `  S )
)
2827fveq1d 5714 . . 3  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( ( F  o.  ( ZRHom `  R ) ) `  (chr `  R ) )  =  ( ( ZRHom `  S ) `  (chr `  R ) ) )
29 rhmghm 16837 . . . 4  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
30 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
3116, 30ghmid 15774 . . . 4  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  ->  ( F `  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  S ) )
3229, 31syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F `  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  S ) )
3320, 28, 323eqtr3d 2483 . 2  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( ( ZRHom `  S ) `  (chr `  R ) )  =  ( 0g `  S ) )
34 eqid 2443 . . . 4  |-  (chr `  S )  =  (chr
`  S )
3534, 24, 30chrdvds 17981 . . 3  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  (chr `  R )  e.  ZZ )  ->  ( (chr `  S )  ||  (chr `  R )  <->  ( ( ZRHom `  S ) `  (chr `  R ) )  =  ( 0g `  S ) ) )
3623, 13, 35syl2anc 661 . 2  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( (chr `  S )  ||  (chr `  R )  <->  ( ( ZRHom `  S ) `  (chr `  R ) )  =  ( 0g `  S ) ) )
3733, 36mpbird 232 1  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  (chr `  S
)  ||  (chr `  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313    o. ccom 4865    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   NN0cn0 10600   ZZcz 10667    || cdivides 13556   Basecbs 14195   0gc0g 14399    GrpHom cghm 15765   Ringcrg 16667   RingHom crh 16826  ℤringzring 17905   ZRHomczrh 17953  chrcchr 17955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-rp 11013  df-fz 11459  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-dvds 13557  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-0g 14401  df-mnd 15436  df-mhm 15485  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-mulg 15569  df-subg 15699  df-ghm 15766  df-od 16053  df-cmn 16300  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-cring 16670  df-rnghom 16828  df-subrg 16885  df-cnfld 17841  df-zring 17906  df-zrh 17957  df-chr 17959
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator