MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrdvds Structured version   Unicode version

Theorem chrdvds 18743
Description: The  ZZ ring homomorphism is zero only at multiples of the characteristic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
chrcl.c  |-  C  =  (chr `  R )
chrid.l  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
chrid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
chrdvds  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  N  <->  ( L `  N )  =  .0.  ) )

Proof of Theorem chrdvds
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( od
`  R )  =  ( od `  R
)
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 chrcl.c . . . . 5  |-  C  =  (chr `  R )
41, 2, 3chrval 18740 . . . 4  |-  ( ( od `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  C
54breq1i 4446 . . 3  |-  ( ( ( od `  R
) `  ( 1r `  R ) )  ||  N 
<->  C  ||  N )
6 ringgrp 17401 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
76adantr 463 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  R  e.  Grp )
8 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
98, 2ringidcl 17417 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
109adantr 463 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )
11 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
12 eqid 2454 . . . . 5  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
13 chrid.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
148, 1, 12, 13oddvds 16773 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( od `  R
) `  ( 1r `  R ) )  ||  N 
<->  ( N (.g `  R
) ( 1r `  R ) )  =  .0.  ) )
157, 10, 11, 14syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( od `  R ) `  ( 1r `  R ) ) 
||  N  <->  ( N
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  .0.  )
)
165, 15syl5bbr 259 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  N  <->  ( N
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  .0.  )
)
17 chrid.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
1817, 12, 2zrhmulg 18725 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L `  N )  =  ( N (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) )
1918eqeq1d 2456 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L `  N
)  =  .0.  <->  ( N
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  .0.  )
)
2016, 19bitr4d 256 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  N  <->  ( L `  N )  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ZZcz 10860    || cdvds 14073   Basecbs 14719   0gc0g 14932   Grpcgrp 16255  .gcmg 16258   odcod 16751   1rcur 17351   Ringcrg 17396   ZRHomczrh 18715  chrcchr 18717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-dvds 14074  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-mulg 16262  df-subg 16400  df-ghm 16467  df-od 16755  df-cmn 17002  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-rnghom 17562  df-subrg 17625  df-cnfld 18619  df-zring 18687  df-zrh 18719  df-chr 18721
This theorem is referenced by:  chrnzr  18745  chrrhm  18746  domnchr  18747  znchr  18777
  Copyright terms: Public domain W3C validator