MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrcong Structured version   Unicode version

Theorem chrcong 18741
Description: If two integers are congruent relative to the ring characteristic, their images in the ring are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
chrcl.c  |-  C  =  (chr `  R )
chrid.l  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
chrid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
chrcong  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  ( M  -  N )  <->  ( L `  M )  =  ( L `  N ) ) )

Proof of Theorem chrcong
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( od
`  R )  =  ( od `  R
)
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 chrcl.c . . . . 5  |-  C  =  (chr `  R )
41, 2, 3chrval 18737 . . . 4  |-  ( ( od `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  C
54breq1i 4446 . . 3  |-  ( ( ( od `  R
) `  ( 1r `  R ) )  ||  ( M  -  N
)  <->  C  ||  ( M  -  N ) )
6 ringgrp 17398 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
763ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  R  e.  Grp )
8 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
98, 2ringidcl 17414 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
1093ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )
11 simp2 995 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
12 simp3 996 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
13 eqid 2454 . . . . 5  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
14 chrid.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
158, 1, 13, 14odcong 16772 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( od
`  R ) `  ( 1r `  R ) )  ||  ( M  -  N )  <->  ( M
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  ( N (.g `  R ) ( 1r `  R ) ) ) )
167, 10, 11, 12, 15syl112anc 1230 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( od `  R ) `  ( 1r `  R ) ) 
||  ( M  -  N )  <->  ( M
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  ( N (.g `  R ) ( 1r `  R ) ) ) )
175, 16syl5bbr 259 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  ( M  -  N )  <->  ( M
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  ( N (.g `  R ) ( 1r `  R ) ) ) )
18 chrid.l . . . . 5  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
1918, 13, 2zrhmulg 18722 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L `  M )  =  ( M (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) )
20193adant3 1014 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L `  M )  =  ( M (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) )
2118, 13, 2zrhmulg 18722 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L `  N )  =  ( N (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) )
22213adant2 1013 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L `  N )  =  ( N (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) )
2320, 22eqeq12d 2476 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L `  M
)  =  ( L `
 N )  <->  ( M
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  ( N (.g `  R ) ( 1r `  R ) ) ) )
2417, 23bitr4d 256 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  ( M  -  N )  <->  ( L `  M )  =  ( L `  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    - cmin 9796   ZZcz 10860    || cdvds 14070   Basecbs 14716   0gc0g 14929   Grpcgrp 16252  .gcmg 16255   odcod 16748   1rcur 17348   Ringcrg 17393   ZRHomczrh 18712  chrcchr 18714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-dvds 14071  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-od 16752  df-cmn 16999  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-rnghom 17559  df-subrg 17622  df-cnfld 18616  df-zring 18684  df-zrh 18716  df-chr 18718
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator