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Theorem chpscmatgsumbin 19945
Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed as finite group sum of binomials. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c  |-  C  =  ( N CharPlyMat  R )
chp0mat.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
chp0mat.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
chp0mat.x  |-  X  =  (var1 `  R )
chp0mat.g  |-  G  =  (mulGrp `  P )
chp0mat.m  |-  .^  =  (.g
`  G )
chpscmat.d  |-  D  =  { m  e.  (
Base `  A )  |  E. c  e.  (
Base `  R ) A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g
`  R ) ) }
chpscmat.s  |-  S  =  (algSc `  P )
chpscmat.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
chpscmatgsum.f  |-  F  =  (.g `  P )
chpscmatgsum.h  |-  H  =  (mulGrp `  R )
chpscmatgsum.e  |-  E  =  (.g `  H )
chpscmatgsum.i  |-  I  =  ( invg `  R )
chpscmatgsum.s  |-  .x.  =  ( .s `  P )
Assertion
Ref Expression
chpscmatgsumbin  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( C `  M )  =  ( P  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... ( # `  N ) )  |->  ( ( ( # `  N
)  _C  l ) F ( ( ( ( # `  N
)  -  l ) E ( I `  ( J M J ) ) )  .x.  (
l  .^  X )
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, A    i, N, j    P, i, j    R, i, j   
i, X, j    A, c, m    D, n    n, E    n, I    M, c, i, j, m, n    N, c, m, n    P, n    R, c, m, n    S, n    D, l    F, l    I, l    J, l, n    M, l    N, l    P, l    R, l    S, l    X, l    .^ , l
Allowed substitution hints:    A( n, l)    C( i, j, m, n, c, l)    D( i, j, m, c)    P( m, c)    S( i, j, m, c)    .x. ( i, j, m, n, c, l)    E( i, j, m, c, l)    .^ ( i, j, m, n, c)    F( i, j, m, n, c)    G( i, j, m, n, c, l)    H( i, j, m, n, c, l)    I( i, j, m, c)    J( i, j, m, c)    .- ( i, j, m, n, c, l)    X( m, n, c)

Proof of Theorem chpscmatgsumbin
StepHypRef Expression
1 chp0mat.c . . 3  |-  C  =  ( N CharPlyMat  R )
2 chp0mat.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 chp0mat.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
4 chp0mat.x . . 3  |-  X  =  (var1 `  R )
5 chp0mat.g . . 3  |-  G  =  (mulGrp `  P )
6 chp0mat.m . . 3  |-  .^  =  (.g
`  G )
7 chpscmat.d . . 3  |-  D  =  { m  e.  (
Base `  A )  |  E. c  e.  (
Base `  R ) A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g
`  R ) ) }
8 chpscmat.s . . 3  |-  S  =  (algSc `  P )
9 chpscmat.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  P )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9chpscmat0 19944 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( C `  M )  =  ( ( # `  N
)  .^  ( X  .-  ( S `  ( J M J ) ) ) ) )
11 crngring 17869 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1211adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  R  e.  Ring )
13 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
144, 2, 13vr1cl 18887 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
1512, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  X  e.  ( Base `  P ) )
1615adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  X  e.  ( Base `  P )
)
1711ad2antlr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  R  e.  Ring )
18 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
192ply1ring 18918 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
202ply1lmod 18922 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
21 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
228, 18, 19, 20, 21, 13asclf 18638 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  S :
( Base `  (Scalar `  P
) ) --> ( Base `  P ) )
2317, 22syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  S :
( Base `  (Scalar `  P
) ) --> ( Base `  P ) )
24 simpr2 1037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  J  e.  N )
25 elrabi 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  { m  e.  ( Base `  A
)  |  E. c  e.  ( Base `  R
) A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g `  R ) ) }  ->  M  e.  ( Base `  A
) )
2625a1d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  { m  e.  ( Base `  A
)  |  E. c  e.  ( Base `  R
) A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g `  R ) ) }  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  M  e.  ( Base `  A ) ) )
2726, 7eleq2s 2567 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  D  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  M  e.  ( Base `  A ) ) )
28273ad2ant1 1051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) )  -> 
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  ->  M  e.  ( Base `  A )
) )
2928impcom 437 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  M  e.  ( Base `  A )
)
30 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
313, 30matecl 19527 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  N  /\  J  e.  N  /\  M  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( J M J )  e.  ( Base `  R ) )
3224, 24, 29, 31syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( J M J )  e.  (
Base `  R )
)
332ply1sca 18923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
3433adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  R  =  (Scalar `  P
) )
3534eqcomd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
(Scalar `  P )  =  R )
3635adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  (Scalar `  P
)  =  R )
3736fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  R ) )
3832, 37eleqtrrd 2552 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( J M J )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) ) )
3923, 38ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( S `  ( J M J ) )  e.  (
Base `  P )
)
40 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
41 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( invg `  P )  =  ( invg `  P )
4213, 40, 41, 9grpsubval 16787 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( Base `  P )  /\  ( S `  ( J M J ) )  e.  ( Base `  P
) )  ->  ( X  .-  ( S `  ( J M J ) ) )  =  ( X ( +g  `  P
) ( ( invg `  P ) `
 ( S `  ( J M J ) ) ) ) )
4316, 39, 42syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( X  .-  ( S `  ( J M J ) ) )  =  ( X ( +g  `  P
) ( ( invg `  P ) `
 ( S `  ( J M J ) ) ) ) )
4412, 20syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  LMod )
4544adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  P  e.  LMod )
4612, 19syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  Ring )
4746adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  P  e.  Ring )
48 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  (Scalar `  P ) )  =  ( invg `  (Scalar `  P ) )
498, 18, 21, 48, 41asclinvg 18642 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  P  e.  Ring  /\  ( J M J )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) ) )  -> 
( ( invg `  P ) `  ( S `  ( J M J ) ) )  =  ( S `  ( ( invg `  (Scalar `  P )
) `  ( J M J ) ) ) )
5045, 47, 38, 49syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( ( invg `  P ) `
 ( S `  ( J M J ) ) )  =  ( S `  ( ( invg `  (Scalar `  P ) ) `  ( J M J ) ) ) )
51 chpscmatgsum.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( invg `  R )
5234fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( invg `  R )  =  ( invg `  (Scalar `  P ) ) )
5352adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( invg `  R )  =  ( invg `  (Scalar `  P )
) )
5451, 53syl5req 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( invg `  (Scalar `  P
) )  =  I )
5554fveq1d 5881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( ( invg `  (Scalar `  P ) ) `  ( J M J ) )  =  ( I `
 ( J M J ) ) )
5655fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( S `  ( ( invg `  (Scalar `  P )
) `  ( J M J ) ) )  =  ( S `  ( I `  ( J M J ) ) ) )
5750, 56eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( ( invg `  P ) `
 ( S `  ( J M J ) ) )  =  ( S `  ( I `
 ( J M J ) ) ) )
5857oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( X
( +g  `  P ) ( ( invg `  P ) `  ( S `  ( J M J ) ) ) )  =  ( X ( +g  `  P
) ( S `  ( I `  ( J M J ) ) ) ) )
5943, 58eqtrd 2505 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( X  .-  ( S `  ( J M J ) ) )  =  ( X ( +g  `  P
) ( S `  ( I `  ( J M J ) ) ) ) )
6059oveq2d 6324 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( ( # `
 N )  .^  ( X  .-  ( S `
 ( J M J ) ) ) )  =  ( (
# `  N )  .^  ( X ( +g  `  P ) ( S `
 ( I `  ( J M J ) ) ) ) ) )
61 simplr 770 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  R  e.  CRing
)
62 hashcl 12576 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( # `
 N )  e. 
NN0 )
6362ad2antrr 740 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( # `  N
)  e.  NN0 )
64 ringgrp 17863 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
6511, 64syl 17 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Grp )
6665ad2antlr 741 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  R  e.  Grp )
6730, 51grpinvcl 16789 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( J M J )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
I `  ( J M J ) )  e.  ( Base `  R
) )
6866, 32, 67syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( I `  ( J M J ) )  e.  (
Base `  R )
)
69 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
70 chpscmatgsum.f . . . . 5  |-  F  =  (.g `  P )
71 chpscmatgsum.h . . . . 5  |-  H  =  (mulGrp `  R )
72 chpscmatgsum.e . . . . 5  |-  E  =  (.g `  H )
732, 4, 40, 69, 70, 5, 6, 30, 8, 71, 72lply1binomsc 18978 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( # `
 N )  e. 
NN0  /\  ( I `  ( J M J ) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( ( # `
 N )  .^  ( X ( +g  `  P
) ( S `  ( I `  ( J M J ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... ( # `  N ) )  |->  ( ( ( # `  N
)  _C  l ) F ( ( S `
 ( ( (
# `  N )  -  l ) E ( I `  ( J M J ) ) ) ) ( .r
`  P ) ( l  .^  X )
) ) ) ) )
7461, 63, 68, 73syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( ( # `
 N )  .^  ( X ( +g  `  P
) ( S `  ( I `  ( J M J ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... ( # `  N ) )  |->  ( ( ( # `  N
)  _C  l ) F ( ( S `
 ( ( (
# `  N )  -  l ) E ( I `  ( J M J ) ) ) ) ( .r
`  P ) ( l  .^  X )
) ) ) ) )
752ply1assa 18869 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e. AssAlg )
7675adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e. AssAlg )
7776ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  /\  l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) ) )  ->  P  e. AssAlg )
7871ringmgp 17864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  H  e. 
Mnd )
7912, 78syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  H  e.  Mnd )
8079ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  /\  l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) ) )  ->  H  e.  Mnd )
81 fznn0sub 11857 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) )  ->  (
( # `  N )  -  l )  e. 
NN0 )
8281adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  /\  l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) ) )  -> 
( ( # `  N
)  -  l )  e.  NN0 )
8371, 30mgpbas 17807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  H )
8468, 83syl6eleq 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( I `  ( J M J ) )  e.  (
Base `  H )
)
8584adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  /\  l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) ) )  -> 
( I `  ( J M J ) )  e.  ( Base `  H
) )
86 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
8786, 72mulgnn0cl 16852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  ( ( # `  N
)  -  l )  e.  NN0  /\  (
I `  ( J M J ) )  e.  ( Base `  H
) )  ->  (
( ( # `  N
)  -  l ) E ( I `  ( J M J ) ) )  e.  (
Base `  H )
)
8880, 82, 85, 87syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  /\  l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) ) )  -> 
( ( ( # `  N )  -  l
) E ( I `
 ( J M J ) ) )  e.  ( Base `  H
) )
8935fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  R )
)
9089, 83syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  H )
)
9190ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  /\  l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) ) )  -> 
( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  H )
)
9288, 91eleqtrrd 2552 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  /\  l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) ) )  -> 
( ( ( # `  N )  -  l
) E ( I `
 ( J M J ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
935ringmgp 17864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Ring  ->  G  e. 
Mnd )
9411, 19, 933syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e.  Mnd )
9594ad2antlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) ) )  ->  G  e.  Mnd )
96 elfznn0 11913 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) )  ->  l  e.  NN0 )
9796adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) ) )  -> 
l  e.  NN0 )
9815adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) ) )  ->  X  e.  ( Base `  P ) )
995, 13mgpbas 17807 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  G )
10099, 6mulgnn0cl 16852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  l  e.  NN0  /\  X  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
l  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
10195, 97, 98, 100syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) ) )  -> 
( l  .^  X
)  e.  ( Base `  P ) )
102101adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  /\  l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) ) )  -> 
( l  .^  X
)  e.  ( Base `  P ) )
103 chpscmatgsum.s . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .s `  P )
1048, 18, 21, 13, 69, 103asclmul1 18640 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e. AssAlg  /\  (
( ( # `  N
)  -  l ) E ( I `  ( J M J ) ) )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  /\  (
l  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( S `  (
( ( # `  N
)  -  l ) E ( I `  ( J M J ) ) ) ) ( .r `  P ) ( l  .^  X
) )  =  ( ( ( ( # `  N )  -  l
) E ( I `
 ( J M J ) ) ) 
.x.  ( l  .^  X ) ) )
10577, 92, 102, 104syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  /\  l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) ) )  -> 
( ( S `  ( ( ( # `  N )  -  l
) E ( I `
 ( J M J ) ) ) ) ( .r `  P ) ( l 
.^  X ) )  =  ( ( ( ( # `  N
)  -  l ) E ( I `  ( J M J ) ) )  .x.  (
l  .^  X )
) )
106105oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  /\  l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) ) )  -> 
( ( ( # `  N )  _C  l
) F ( ( S `  ( ( ( # `  N
)  -  l ) E ( I `  ( J M J ) ) ) ) ( .r `  P ) ( l  .^  X
) ) )  =  ( ( ( # `  N )  _C  l
) F ( ( ( ( # `  N
)  -  l ) E ( I `  ( J M J ) ) )  .x.  (
l  .^  X )
) ) )
107106mpteq2dva 4482 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( l  e.  ( 0 ... ( # `
 N ) ) 
|->  ( ( ( # `  N )  _C  l
) F ( ( S `  ( ( ( # `  N
)  -  l ) E ( I `  ( J M J ) ) ) ) ( .r `  P ) ( l  .^  X
) ) ) )  =  ( l  e.  ( 0 ... ( # `
 N ) ) 
|->  ( ( ( # `  N )  _C  l
) F ( ( ( ( # `  N
)  -  l ) E ( I `  ( J M J ) ) )  .x.  (
l  .^  X )
) ) ) )
108107oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( P  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) )  |->  ( ( ( # `  N
)  _C  l ) F ( ( S `
 ( ( (
# `  N )  -  l ) E ( I `  ( J M J ) ) ) ) ( .r
`  P ) ( l  .^  X )
) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... ( # `  N
) )  |->  ( ( ( # `  N
)  _C  l ) F ( ( ( ( # `  N
)  -  l ) E ( I `  ( J M J ) ) )  .x.  (
l  .^  X )
) ) ) ) )
10974, 108eqtrd 2505 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( ( # `
 N )  .^  ( X ( +g  `  P
) ( S `  ( I `  ( J M J ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... ( # `  N ) )  |->  ( ( ( # `  N
)  _C  l ) F ( ( ( ( # `  N
)  -  l ) E ( I `  ( J M J ) ) )  .x.  (
l  .^  X )
) ) ) ) )
11010, 60, 1093eqtrd 2509 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  J  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  ( J M J ) ) )  ->  ( C `  M )  =  ( P  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... ( # `  N ) )  |->  ( ( ( # `  N
)  _C  l ) F ( ( ( ( # `  N
)  -  l ) E ( I `  ( J M J ) ) )  .x.  (
l  .^  X )
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   ifcif 3872    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   0cc0 9557    - cmin 9880   NN0cn0 10893   ...cfz 11810    _C cbc 12525   #chash 12553   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   .rcmulr 15269  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   0gc0g 15416    gsumg cgsu 15417   Mndcmnd 16613   Grpcgrp 16747   invgcminusg 16748   -gcsg 16749  .gcmg 16750  mulGrpcmgp 17801   Ringcrg 17858   CRingccrg 17859   LModclmod 18169  AssAlgcasa 18610  algSccascl 18612  var1cv1 18846  Poly1cpl1 18847   Mat cmat 19509   CharPlyMat cchpmat 19927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-xor 1431  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-reverse 12717  df-s2 13003  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-symg 17097  df-pmtr 17161  df-psgn 17210  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-srg 17818  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-assa 18613  df-ascl 18615  df-psr 18657  df-mvr 18658  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-psr1 18850  df-vr1 18851  df-ply1 18852  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-mamu 19486  df-mat 19510  df-mdet 19687  df-mat2pmat 19808  df-chpmat 19928
This theorem is referenced by:  chpscmatgsummon  19946
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