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Theorem chpscmat 19915
Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c  |-  C  =  ( N CharPlyMat  R )
chp0mat.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
chp0mat.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
chp0mat.x  |-  X  =  (var1 `  R )
chp0mat.g  |-  G  =  (mulGrp `  P )
chp0mat.m  |-  .^  =  (.g
`  G )
chpscmat.d  |-  D  =  { m  e.  (
Base `  A )  |  E. c  e.  (
Base `  R ) A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g
`  R ) ) }
chpscmat.s  |-  S  =  (algSc `  P )
chpscmat.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
Assertion
Ref Expression
chpscmat  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  ( C `  M )  =  ( ( # `  N
)  .^  ( X  .-  ( S `  E
) ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, A    i, N, j    P, i, j    R, i, j   
i, X, j    A, c, m    D, n    n, E    n, I    M, c, i, j, m, n    N, c, m, n    P, n    R, c, m, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    C( i, j, m, n, c)    D( i, j, m, c)    P( m, c)    S( i, j, m, c)    E( i, j, m, c)    .^ ( i,
j, m, n, c)    G( i, j, m, n, c)    I( i, j, m, c)    .- ( i, j, m, n, c)    X( m, n, c)

Proof of Theorem chpscmat
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  N  e.  Fin )
2 simplr 767 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  R  e.  CRing
)
3 elrabi 3205 . . . . . 6  |-  ( M  e.  { m  e.  ( Base `  A
)  |  E. c  e.  ( Base `  R
) A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g `  R ) ) }  ->  M  e.  ( Base `  A
) )
4 chpscmat.d . . . . . 6  |-  D  =  { m  e.  (
Base `  A )  |  E. c  e.  (
Base `  R ) A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g
`  R ) ) }
53, 4eleq2s 2558 . . . . 5  |-  ( M  e.  D  ->  M  e.  ( Base `  A
) )
653ad2ant1 1035 . . . 4  |-  ( ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E )  ->  M  e.  ( Base `  A ) )
76adantl 472 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  M  e.  ( Base `  A )
)
8 oveq 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  (
i m j )  =  ( i M j ) )
98eqeq1d 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g
`  R ) )  <-> 
( i M j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
1092ralbidv 2844 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g
`  R ) )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i M j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
1110rexbidv 2913 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  ( E. c  e.  ( Base `  R ) A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g `  R ) )  <->  E. c  e.  ( Base `  R
) A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i M j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ) )
1211elrab 3208 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  { m  e.  ( Base `  A
)  |  E. c  e.  ( Base `  R
) A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g `  R ) ) }  <->  ( M  e.  ( Base `  A
)  /\  E. c  e.  ( Base `  R
) A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i M j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ) )
13 ifnefalse 3905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =/=  j  ->  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
1413eqeq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =/=  j  ->  (
( i M j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g
`  R ) )  <-> 
( i M j )  =  ( 0g
`  R ) ) )
1514biimpcd 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i M j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g `  R ) )  -> 
( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  ( 0g
`  R ) ) )
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Base `  A
)  /\  c  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
CRing ) )  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( i M j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g
`  R ) )  ->  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
1716ralimdva 2808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Base `  A
)  /\  c  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
CRing ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. j  e.  N  ( i M j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g
`  R ) )  ->  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
1817ralimdva 2808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  (
Base `  A )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i M j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g
`  R ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
1918ex 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( Base `  A )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i M j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g `  R ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  ( 0g `  R
) ) ) ) )
2019com23 81 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Base `  A )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i M j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g
`  R ) )  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  ( 0g `  R
) ) ) ) )
2120rexlimdva 2891 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( Base `  A
)  ->  ( E. c  e.  ( Base `  R ) A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i M j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g `  R
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
2221imp 435 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( Base `  A )  /\  E. c  e.  ( Base `  R ) A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i M j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g `  R
) ) )  -> 
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
2312, 22sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( M  e.  { m  e.  ( Base `  A
)  |  E. c  e.  ( Base `  R
) A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  ( 0g `  R ) ) }  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
2423, 4eleq2s 2558 . . . . 5  |-  ( M  e.  D  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
25243ad2ant1 1035 . . . 4  |-  ( ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E )  -> 
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
2625impcom 436 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  ( 0g `  R
) ) )
27 chp0mat.c . . . 4  |-  C  =  ( N CharPlyMat  R )
28 chp0mat.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
29 chp0mat.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
30 chpscmat.s . . . 4  |-  S  =  (algSc `  P )
31 eqid 2462 . . . 4  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
32 chp0mat.x . . . 4  |-  X  =  (var1 `  R )
33 eqid 2462 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
34 chp0mat.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  P )
35 chpscmat.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  P )
3627, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35chpdmat 19914 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  ( Base `  A
) )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i M j )  =  ( 0g
`  R ) ) )  ->  ( C `  M )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( X  .-  ( S `  ( k M k ) ) ) ) ) )
371, 2, 7, 26, 36syl31anc 1279 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  ( C `  M )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( X  .-  ( S `  ( k M k ) ) ) ) ) )
38 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
3938, 38oveq12d 6333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
n M n )  =  ( k M k ) )
4039eqeq1d 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( n M n )  =  E  <->  ( k M k )  =  E ) )
4140rspccv 3159 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  N  (
n M n )  =  E  ->  (
k  e.  N  -> 
( k M k )  =  E ) )
42413ad2ant3 1037 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E )  -> 
( k  e.  N  ->  ( k M k )  =  E ) )
4342adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  ( k  e.  N  ->  ( k M k )  =  E ) )
4443imp 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( k M k )  =  E )
4544fveq2d 5892 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( S `  (
k M k ) )  =  ( S `
 E ) )
4645oveq2d 6331 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( X  .-  ( S `  ( k M k ) ) )  =  ( X 
.-  ( S `  E ) ) )
4746mpteq2dva 4503 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  ( k  e.  N  |->  ( X 
.-  ( S `  ( k M k ) ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( X  .-  ( S `  E ) ) ) )
4847oveq2d 6331 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( X  .-  ( S `
 ( k M k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( X  .-  ( S `  E )
) ) ) )
4928ply1crng 18840 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  CRing
)
5034crngmgp 17837 . . . . 5  |-  ( P  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
51 cmnmnd 17494 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
5249, 50, 513syl 18 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e.  Mnd )
5352ad2antlr 738 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  G  e.  Mnd )
54 crngring 17840 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
5528ply1ring 18890 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
5654, 55syl 17 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  Ring )
57 ringgrp 17834 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
5856, 57syl 17 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  Grp )
5958ad2antlr 738 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  P  e.  Grp )
60 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
6132, 28, 60vr1cl 18859 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
6254, 61syl 17 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  X  e.  ( Base `  P )
)
6362ad2antlr 738 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  X  e.  ( Base `  P )
)
64 simpr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N
)  ->  I  e.  N )
65 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
6656ad2antll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  ->  P  e.  Ring )
6766adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N
)  ->  P  e.  Ring )
6828ply1lmod 18894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
6954, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  LMod )
7069ad2antll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  ->  P  e.  LMod )
7170adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N
)  ->  P  e.  LMod )
72 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
7330, 65, 67, 71, 72, 60asclf 18610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N
)  ->  S :
( Base `  (Scalar `  P
) ) --> ( Base `  P ) )
745adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  ->  M  e.  (
Base `  A )
)
7574adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N
)  ->  M  e.  ( Base `  A )
)
76 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
7729, 76matecl 19499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  N  /\  I  e.  N  /\  M  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( I M I )  e.  ( Base `  R ) )
7864, 64, 75, 77syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N
)  ->  ( I M I )  e.  ( Base `  R
) )
7928ply1sca 18895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
8079ad2antll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
8180adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N
)  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
8281eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N
)  ->  (Scalar `  P
)  =  R )
8382fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N
)  ->  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  R ) )
8478, 83eleqtrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N
)  ->  ( I M I )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
8573, 84ffvelrnd 6046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N
)  ->  ( S `  ( I M I ) )  e.  (
Base `  P )
)
86 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E  =  ( I M I )  ->  ( S `  E )  =  ( S `  ( I M I ) ) )
8786eqcoms 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I M I )  =  E  ->  ( S `  E )  =  ( S `  ( I M I ) ) )
8887eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I M I )  =  E  ->  (
( S `  E
)  e.  ( Base `  P )  <->  ( S `  ( I M I ) )  e.  (
Base `  P )
) )
8985, 88syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N
)  ->  ( (
I M I )  =  E  ->  ( S `  E )  e.  ( Base `  P
) ) )
9089adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N )  /\  n  =  I
)  ->  ( (
I M I )  =  E  ->  ( S `  E )  e.  ( Base `  P
) ) )
91 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  I  ->  n  =  I )
9291, 91oveq12d 6333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  I  ->  (
n M n )  =  ( I M I ) )
9392eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  I  ->  (
( n M n )  =  E  <->  ( I M I )  =  E ) )
9493imbi1d 323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  I  ->  (
( ( n M n )  =  E  ->  ( S `  E )  e.  (
Base `  P )
)  <->  ( ( I M I )  =  E  ->  ( S `  E )  e.  (
Base `  P )
) ) )
9594adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N )  /\  n  =  I
)  ->  ( (
( n M n )  =  E  -> 
( S `  E
)  e.  ( Base `  P ) )  <->  ( (
I M I )  =  E  ->  ( S `  E )  e.  ( Base `  P
) ) ) )
9690, 95mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N )  /\  n  =  I
)  ->  ( (
n M n )  =  E  ->  ( S `  E )  e.  ( Base `  P
) ) )
9764, 96rspcimdv 3163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  /\  I  e.  N
)  ->  ( A. n  e.  N  (
n M n )  =  E  ->  ( S `  E )  e.  ( Base `  P
) ) )
9897ex 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  ->  ( I  e.  N  ->  ( A. n  e.  N  (
n M n )  =  E  ->  ( S `  E )  e.  ( Base `  P
) ) ) )
9998com23 81 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  D  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )  ->  ( A. n  e.  N  ( n M n )  =  E  ->  ( I  e.  N  ->  ( S `
 E )  e.  ( Base `  P
) ) ) )
10099ex 440 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  D  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( A. n  e.  N  ( n M n )  =  E  ->  ( I  e.  N  ->  ( S `  E )  e.  (
Base `  P )
) ) ) )
101100com24 90 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  D  ->  (
I  e.  N  -> 
( A. n  e.  N  ( n M n )  =  E  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  ( S `  E )  e.  ( Base `  P
) ) ) ) )
1021013imp 1208 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E )  -> 
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  ->  ( S `  E )  e.  (
Base `  P )
) )
103102impcom 436 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  ( S `  E )  e.  (
Base `  P )
)
10460, 35grpsubcl 16783 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  X  e.  ( Base `  P )  /\  ( S `  E )  e.  ( Base `  P
) )  ->  ( X  .-  ( S `  E ) )  e.  ( Base `  P
) )
10559, 63, 103, 104syl3anc 1276 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  ( X  .-  ( S `  E
) )  e.  (
Base `  P )
)
10634, 60mgpbas 17778 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  G )
107105, 106syl6eleq 2550 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  ( X  .-  ( S `  E
) )  e.  (
Base `  G )
)
108 eqid 2462 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
109 chp0mat.m . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  G )
110108, 109gsumconst 17616 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  Fin  /\  ( X  .-  ( S `  E ) )  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( X  .-  ( S `  E )
) ) )  =  ( ( # `  N
)  .^  ( X  .-  ( S `  E
) ) ) )
11153, 1, 107, 110syl3anc 1276 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( X  .-  ( S `
 E ) ) ) )  =  ( ( # `  N
)  .^  ( X  .-  ( S `  E
) ) ) )
11237, 48, 1113eqtrd 2500 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  D  /\  I  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( n M n )  =  E ) )  ->  ( C `  M )  =  ( ( # `  N
)  .^  ( X  .-  ( S `  E
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   ifcif 3893    |-> cmpt 4475   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   #chash 12547   Basecbs 15170  Scalarcsca 15242   0gc0g 15387    gsumg cgsu 15388   Mndcmnd 16584   Grpcgrp 16718   -gcsg 16720  .gcmg 16721  CMndccmn 17479  mulGrpcmgp 17772   Ringcrg 17829   CRingccrg 17830   LModclmod 18140  algSccascl 18584  var1cv1 18818  Poly1cpl1 18819   Mat cmat 19481   CharPlyMat cchpmat 19899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-addf 9644  ax-mulf 9645
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-xor 1416  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-ofr 6559  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-tpos 6999  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-sup 7982  df-oi 8051  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-rp 11332  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-exp 12305  df-hash 12548  df-word 12697  df-lsw 12698  df-concat 12699  df-s1 12700  df-substr 12701  df-splice 12702  df-reverse 12703  df-s2 12981  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-ip 15257  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-hom 15263  df-cco 15264  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-prds 15395  df-pws 15397  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-mhm 16631  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-mulg 16725  df-subg 16863  df-ghm 16930  df-gim 16972  df-cntz 17020  df-oppg 17046  df-symg 17068  df-pmtr 17132  df-psgn 17181  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-cring 17832  df-oppr 17900  df-dvdsr 17918  df-unit 17919  df-invr 17949  df-dvr 17960  df-rnghom 17992  df-drng 18026  df-subrg 18055  df-lmod 18142  df-lss 18205  df-sra 18444  df-rgmod 18445  df-ascl 18587  df-psr 18629  df-mvr 18630  df-mpl 18631  df-opsr 18633  df-psr1 18822  df-vr1 18823  df-ply1 18824  df-cnfld 19020  df-zring 19089  df-zrh 19124  df-dsmm 19344  df-frlm 19359  df-mamu 19458  df-mat 19482  df-mdet 19659  df-mat2pmat 19780  df-chpmat 19900
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