Theorem chpscmat 19915

Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	|- C = ( N CharPlyMat R )
chp0mat.p	|- P = (Poly1 ` R )
chp0mat.a	|- A = ( N Mat R )
chp0mat.x	|- X = (var1 ` R )
chp0mat.g	|- G = (mulGrp ` P )
chp0mat.m	|- .^ = (.g ` G )
chpscmat.d	|- D = { m e. ( Base ` A ) | E. c e. ( Base ` R ) A. i e. N A. j e. N ( i m j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) }
chpscmat.s	|- S = (algSc ` P )
chpscmat.m	|- .- = ( -g ` P )

Assertion

Ref	Expression
chpscmat	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> ( C ` M ) = ( ( # ` N ) .^ ( X .- ( S ` E ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, j, A   i, N, j   P, i, j   R, i, j   i, X, j   A, c, m   D, n   n, E   n, I   M, c, i, j, m, n   N, c, m, n   P, n   R, c, m, n   S, n

Allowed substitution hints:   A( n)   C( i, j, m, n, c)   D( i, j, m, c)   P( m, c)   S( i, j, m, c)   E( i, j, m, c)   .^ ( i, j, m, n, c)   G( i, j, m, n, c)   I( i, j, m, c)   .- ( i, j, m, n, c)   X( m, n, c)

Proof of Theorem chpscmat

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> N e. Fin )
2		simplr 767	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> R e. CRing )
3		elrabi 3205	. . . . . 6 |- ( M e. { m e. ( Base ` A ) | E. c e. ( Base ` R ) A. i e. N A. j e. N ( i m j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) } -> M e. ( Base ` A ) )
4		chpscmat.d	. . . . . 6 |- D = { m e. ( Base ` A ) | E. c e. ( Base ` R ) A. i e. N A. j e. N ( i m j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) }
5	3, 4	eleq2s 2558	. . . . 5 |- ( M e. D -> M e. ( Base ` A ) )
6	5	3ad2ant1 1035	. . . 4 |- ( ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) -> M e. ( Base ` A ) )
7	6	adantl 472	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> M e. ( Base ` A ) )
8		oveq 6321	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( i m j ) = ( i M j ) )
9	8	eqeq1d 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( ( i m j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) <-> ( i M j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) ) )
10	9	2ralbidv 2844	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( A. i e. N A. j e. N ( i m j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i M j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) ) )
11	10	rexbidv 2913	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( E. c e. ( Base ` R ) A. i e. N A. j e. N ( i m j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) <-> E. c e. ( Base ` R ) A. i e. N A. j e. N ( i M j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) ) )
12	11	elrab 3208	. . . . . . 7 |- ( M e. { m e. ( Base ` A ) | E. c e. ( Base ` R ) A. i e. N A. j e. N ( i m j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) } <-> ( M e. ( Base ` A ) /\ E. c e. ( Base ` R ) A. i e. N A. j e. N ( i M j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) ) )
13		ifnefalse 3905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i =/= j -> if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
14	13	eqeq2d 2472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i =/= j -> ( ( i M j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) <-> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) )
15	14	biimpcd 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i M j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) -> ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) )
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Base ` A ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( i M j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) -> ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) ) )
17	16	ralimdva 2808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Base ` A ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ i e. N ) -> ( A. j e. N ( i M j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) -> A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) ) )
18	17	ralimdva 2808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ( Base ` A ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i M j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) ) )
19	18	ex 440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( Base ` A ) /\ c e. ( Base ` R ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i M j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
20	19	com23 81	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Base ` A ) /\ c e. ( Base ` R ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i M j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
21	20	rexlimdva 2891	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( Base ` A ) -> ( E. c e. ( Base ` R ) A. i e. N A. j e. N ( i M j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
22	21	imp 435	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( Base ` A ) /\ E. c e. ( Base ` R ) A. i e. N A. j e. N ( i M j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) ) )
23	12, 22	sylbi 200	. . . . . 6 |- ( M e. { m e. ( Base ` A ) | E. c e. ( Base ` R ) A. i e. N A. j e. N ( i m j ) = if ( i = j , c , ( 0g ` R ) ) } -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) ) )
24	23, 4	eleq2s 2558	. . . . 5 |- ( M e. D -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) ) )
25	24	3ad2ant1 1035	. . . 4 |- ( ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) ) )
26	25	impcom 436	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) )
27		chp0mat.c	. . . 4 |- C = ( N CharPlyMat R )
28		chp0mat.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
29		chp0mat.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
30		chpscmat.s	. . . 4 |- S = (algSc ` P )
31		eqid 2462	. . . 4 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
32		chp0mat.x	. . . 4 |- X = (var1 ` R )
33		eqid 2462	. . . 4 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
34		chp0mat.g	. . . 4 |- G = (mulGrp ` P )
35		chpscmat.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` P )
36	27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	chpdmat 19914	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. ( Base ` A ) ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( C ` M ) = ( G gsumg ( k e. N |-> ( X .- ( S ` ( k M k ) ) ) ) ) )
37	1, 2, 7, 26, 36	syl31anc 1279	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> ( C ` M ) = ( G gsumg ( k e. N |-> ( X .- ( S ` ( k M k ) ) ) ) ) )
38		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> n = k )
39	38, 38	oveq12d 6333	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( n M n ) = ( k M k ) )
40	39	eqeq1d 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( ( n M n ) = E <-> ( k M k ) = E ) )
41	40	rspccv 3159	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. N ( n M n ) = E -> ( k e. N -> ( k M k ) = E ) )
42	41	3ad2ant3 1037	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) -> ( k e. N -> ( k M k ) = E ) )
43	42	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> ( k e. N -> ( k M k ) = E ) )
44	43	imp 435	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) /\ k e. N ) -> ( k M k ) = E )
45	44	fveq2d 5892	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) /\ k e. N ) -> ( S ` ( k M k ) ) = ( S ` E ) )
46	45	oveq2d 6331	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) /\ k e. N ) -> ( X .- ( S ` ( k M k ) ) ) = ( X .- ( S ` E ) ) )
47	46	mpteq2dva 4503	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> ( k e. N |-> ( X .- ( S ` ( k M k ) ) ) ) = ( k e. N |-> ( X .- ( S ` E ) ) ) )
48	47	oveq2d 6331	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> ( G gsumg ( k e. N |-> ( X .- ( S ` ( k M k ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( k e. N |-> ( X .- ( S ` E ) ) ) ) )
49	28	ply1crng 18840	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> P e. CRing )
50	34	crngmgp 17837	. . . . 5 |- ( P e. CRing -> G e. CMnd )
51		cmnmnd 17494	. . . . 5 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
52	49, 50, 51	3syl 18	. . . 4 |- ( R e. CRing -> G e. Mnd )
53	52	ad2antlr 738	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> G e. Mnd )
54		crngring 17840	. . . . . . . 8 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
55	28	ply1ring 18890	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . 7 |- ( R e. CRing -> P e. Ring )
57		ringgrp 17834	. . . . . . 7 |- ( P e. Ring -> P e. Grp )
58	56, 57	syl 17	. . . . . 6 |- ( R e. CRing -> P e. Grp )
59	58	ad2antlr 738	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> P e. Grp )
60		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
61	32, 28, 60	vr1cl 18859	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> X e. ( Base ` P ) )
62	54, 61	syl 17	. . . . . 6 |- ( R e. CRing -> X e. ( Base ` P ) )
63	62	ad2antlr 738	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> X e. ( Base ` P ) )
64		simpr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) -> I e. N )
65		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (Scalar ` P ) = (Scalar ` P )
66	56	ad2antll 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) -> P e. Ring )
67	66	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) -> P e. Ring )
68	28	ply1lmod 18894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. Ring -> P e. LMod )
69	54, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. CRing -> P e. LMod )
70	69	ad2antll 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) -> P e. LMod )
71	70	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) -> P e. LMod )
72		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` (Scalar ` P ) ) = ( Base ` (Scalar ` P ) )
73	30, 65, 67, 71, 72, 60	asclf 18610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) -> S : ( Base ` (Scalar ` P ) ) --> ( Base ` P ) )
74	5	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) -> M e. ( Base ` A ) )
75	74	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) -> M e. ( Base ` A ) )
76		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
77	29, 76	matecl 19499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. N /\ I e. N /\ M e. ( Base ` A ) ) -> ( I M I ) e. ( Base ` R ) )
78	64, 64, 75, 77	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) -> ( I M I ) e. ( Base ` R ) )
79	28	ply1sca 18895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. CRing -> R = (Scalar ` P ) )
80	79	ad2antll 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) -> R = (Scalar ` P ) )
81	80	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) -> R = (Scalar ` P ) )
82	81	eqcomd 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) -> (Scalar ` P ) = R )
83	82	fveq2d 5892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) -> ( Base ` (Scalar ` P ) ) = ( Base ` R ) )
84	78, 83	eleqtrrd 2543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) -> ( I M I ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
85	73, 84	ffvelrnd 6046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) -> ( S ` ( I M I ) ) e. ( Base ` P ) )
86		fveq2 5888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E = ( I M I ) -> ( S ` E ) = ( S ` ( I M I ) ) )
87	86	eqcoms 2470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I M I ) = E -> ( S ` E ) = ( S ` ( I M I ) ) )
88	87	eleq1d 2524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I M I ) = E -> ( ( S ` E ) e. ( Base ` P ) <-> ( S ` ( I M I ) ) e. ( Base ` P ) ) )
89	85, 88	syl5ibrcom 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) -> ( ( I M I ) = E -> ( S ` E ) e. ( Base ` P ) ) )
90	89	adantr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) /\ n = I ) -> ( ( I M I ) = E -> ( S ` E ) e. ( Base ` P ) ) )
91		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = I -> n = I )
92	91, 91	oveq12d 6333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = I -> ( n M n ) = ( I M I ) )
93	92	eqeq1d 2464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = I -> ( ( n M n ) = E <-> ( I M I ) = E ) )
94	93	imbi1d 323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = I -> ( ( ( n M n ) = E -> ( S ` E ) e. ( Base ` P ) ) <-> ( ( I M I ) = E -> ( S ` E ) e. ( Base ` P ) ) ) )
95	94	adantl 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) /\ n = I ) -> ( ( ( n M n ) = E -> ( S ` E ) e. ( Base ` P ) ) <-> ( ( I M I ) = E -> ( S ` E ) e. ( Base ` P ) ) ) )
96	90, 95	mpbird 240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) /\ n = I ) -> ( ( n M n ) = E -> ( S ` E ) e. ( Base ` P ) ) )
97	64, 96	rspcimdv 3163	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) /\ I e. N ) -> ( A. n e. N ( n M n ) = E -> ( S ` E ) e. ( Base ` P ) ) )
98	97	ex 440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) -> ( I e. N -> ( A. n e. N ( n M n ) = E -> ( S ` E ) e. ( Base ` P ) ) ) )
99	98	com23 81	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. D /\ ( N e. Fin /\ R e. CRing ) ) -> ( A. n e. N ( n M n ) = E -> ( I e. N -> ( S ` E ) e. ( Base ` P ) ) ) )
100	99	ex 440	. . . . . . . 8 |- ( M e. D -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( A. n e. N ( n M n ) = E -> ( I e. N -> ( S ` E ) e. ( Base ` P ) ) ) ) )
101	100	com24 90	. . . . . . 7 |- ( M e. D -> ( I e. N -> ( A. n e. N ( n M n ) = E -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( S ` E ) e. ( Base ` P ) ) ) ) )
102	101	3imp 1208	. . . . . 6 |- ( ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( S ` E ) e. ( Base ` P ) ) )
103	102	impcom 436	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> ( S ` E ) e. ( Base ` P ) )
104	60, 35	grpsubcl 16783	. . . . 5 |- ( ( P e. Grp /\ X e. ( Base ` P ) /\ ( S ` E ) e. ( Base ` P ) ) -> ( X .- ( S ` E ) ) e. ( Base ` P ) )
105	59, 63, 103, 104	syl3anc 1276	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> ( X .- ( S ` E ) ) e. ( Base ` P ) )
106	34, 60	mgpbas 17778	. . . 4 |- ( Base ` P ) = ( Base ` G )
107	105, 106	syl6eleq 2550	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> ( X .- ( S ` E ) ) e. ( Base ` G ) )
108		eqid 2462	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
109		chp0mat.m	. . . 4 |- .^ = (.g ` G )
110	108, 109	gsumconst 17616	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. Fin /\ ( X .- ( S ` E ) ) e. ( Base ` G ) ) -> ( G gsumg ( k e. N |-> ( X .- ( S ` E ) ) ) ) = ( ( # ` N ) .^ ( X .- ( S ` E ) ) ) )
111	53, 1, 107, 110	syl3anc 1276	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> ( G gsumg ( k e. N |-> ( X .- ( S ` E ) ) ) ) = ( ( # ` N ) .^ ( X .- ( S ` E ) ) ) )
112	37, 48, 111	3eqtrd 2500	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. D /\ I e. N /\ A. n e. N ( n M n ) = E ) ) -> ( C ` M ) = ( ( # ` N ) .^ ( X .- ( S ` E ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   ifcif 3893   |-> cmpt 4475   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   #chash 12547   Basecbs 15170  Scalarcsca 15242   0gc0g 15387   gsum_g cgsu 15388   Mndcmnd 16584   Grpcgrp 16718   -gcsg 16720  ._gcmg 16721  CMndccmn 17479  mulGrpcmgp 17772   Ringcrg 17829   CRingccrg 17830   LModclmod 18140  algSccascl 18584  var₁cv1 18818  Poly₁cpl1 18819   Mat cmat 19481   CharPlyMat cchpmat 19899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-addf 9644  ax-mulf 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-xor 1416  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-ofr 6559  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-tpos 6999  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-sup 7982  df-oi 8051  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-rp 11332  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-exp 12305  df-hash 12548  df-word 12697  df-lsw 12698  df-concat 12699  df-s1 12700  df-substr 12701  df-splice 12702  df-reverse 12703  df-s2 12981  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-ip 15257  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-hom 15263  df-cco 15264  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-prds 15395  df-pws 15397  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-mhm 16631  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-mulg 16725  df-subg 16863  df-ghm 16930  df-gim 16972  df-cntz 17020  df-oppg 17046  df-symg 17068  df-pmtr 17132  df-psgn 17181  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-cring 17832  df-oppr 17900  df-dvdsr 17918  df-unit 17919  df-invr 17949  df-dvr 17960  df-rnghom 17992  df-drng 18026  df-subrg 18055  df-lmod 18142  df-lss 18205  df-sra 18444  df-rgmod 18445  df-ascl 18587  df-psr 18629  df-mvr 18630  df-mpl 18631  df-opsr 18633  df-psr1 18822  df-vr1 18823  df-ply1 18824  df-cnfld 19020  df-zring 19089  df-zrh 19124  df-dsmm 19344  df-frlm 19359  df-mamu 19458  df-mat 19482  df-mdet 19659  df-mat2pmat 19780  df-chpmat 19900

This theorem is referenced by:  chpscmat0  19916