MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpo1ubb Structured version   Unicode version

Theorem chpo1ubb 22862
Description: The ψ function is upper bounded by a linear term. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpo1ubb  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (ψ `  x )  <_  ( c  x.  x
)
Distinct variable group:    x, c

Proof of Theorem chpo1ubb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 11111 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
3 1red 9511 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
4 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
54rpred 11137 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
6 chpcl 22594 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
87, 4rerpdivcld 11164 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
9 chpo1ub 22861 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O(1)
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O(1) )
118, 10o1lo1d 13134 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e. 
<_O(1) )
12 chpcl 22594 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
1312ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
(ψ `  y )  e.  RR )
1413rehalfcld 10681 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( (ψ `  y
)  /  2 )  e.  RR )
155adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
16 chpeq0 22679 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
(ψ `  x )  =  0  <->  x  <  2 ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  =  0  <-> 
x  <  2 ) )
1817biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
(ψ `  x )  =  0 )
1918oveq1d 6214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  =  ( 0  /  x ) )
204adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR+ )
2120rpcnd 11139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  CC )
2220rpne0d 11142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  =/=  0 )
2321, 22div0d 10216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 0  /  x )  =  0 )
2413ad2ant2r 746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
25 2rp 11106 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
2625a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR+ )
27 simprll 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
28 chpge0 22596 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  y )
)
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (ψ `  y ) )
3024, 26, 29divge0d 11173 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( (ψ `  y )  /  2 ) )
3123, 30eqbrtrd 4419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 0  /  x )  <_ 
( (ψ `  y
)  /  2 ) )
3231adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
( 0  /  x
)  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
3319, 32eqbrtrd 4419 . . . . 5  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
347ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  e.  RR )
3524adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  y )  e.  RR )
3625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
2  e.  RR+ )
3715adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  ->  x  e.  RR )
38 chpge0 22596 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
3937, 38syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
0  <_  (ψ `  x
) )
4027adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
y  e.  RR )
41 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <  y )
4215, 27, 41ltled 9632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <_  y )
4342adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  ->  x  <_  y )
44 chpwordi 22627 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  (ψ `  x )  <_  (ψ `  y ) )
4537, 40, 43, 44syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  <_  (ψ `  y )
)
46 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
2  <_  x )
4734, 35, 36, 37, 39, 45, 46lediv12ad 11192 . . . . 5  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
48 2re 10501 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
4948a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR )
5033, 47, 15, 49ltlecasei 9592 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
512, 3, 8, 11, 14, 50lo1bddrp 13120 . . 3  |-  ( T. 
->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
(ψ `  x )  /  x )  <_  c
)
5251trud 1379 . 2  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x
)  /  x )  <_  c
53 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
5453rpred 11137 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
5554, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
56 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  c  e.  RR+ )
5756rpred 11137 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  c  e.  RR )
5855, 57, 53ledivmul2d 11187 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  c  <->  (ψ `  x
)  <_  ( c  x.  x ) ) )
5958ralbidva 2843 . . 3  |-  ( c  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x
)  <_  c  <->  A. x  e.  RR+  (ψ `  x
)  <_  ( c  x.  x ) ) )
6059rexbiia 2869 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x
)  <_  c  <->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (ψ `  x )  <_  ( c  x.  x
) )
6152, 60mpbi 208 1  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (ψ `  x )  <_  ( c  x.  x
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799    C_ wss 3435   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    x. cmul 9397    < clt 9528    <_ cle 9529    / cdiv 10103   2c2 10481   RR+crp 11101   O(1)co1 13081  ψcchp 22562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-ioc 11415  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-mod 11825  df-seq 11923  df-exp 11982  df-fac 12168  df-bc 12195  df-hash 12220  df-shft 12673  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-o1 13085  df-lo1 13086  df-sum 13281  df-ef 13470  df-e 13471  df-sin 13472  df-cos 13473  df-pi 13475  df-dvds 13653  df-gcd 13808  df-prm 13881  df-pc 14021  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-nei 18833  df-lp 18871  df-perf 18872  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-haus 19050  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585  df-limc 21473  df-dv 21474  df-log 22140  df-cxp 22141  df-cht 22566  df-vma 22567  df-chp 22568  df-ppi 22569
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem3  22960
  Copyright terms: Public domain W3C validator