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Theorem chpo1ubb 22710
Description: The ψ function is upper bounded by a linear term. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpo1ubb  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (ψ `  x )  <_  ( c  x.  x
)
Distinct variable group:    x, c

Proof of Theorem chpo1ubb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 10993 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
3 1red 9393 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
4 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
54rpred 11019 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
6 chpcl 22442 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
87, 4rerpdivcld 11046 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
9 chpo1ub 22709 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O(1)
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O(1) )
118, 10o1lo1d 13009 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e. 
<_O(1) )
12 chpcl 22442 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
1312ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
(ψ `  y )  e.  RR )
1413rehalfcld 10563 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( (ψ `  y
)  /  2 )  e.  RR )
155adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
16 chpeq0 22527 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
(ψ `  x )  =  0  <->  x  <  2 ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  =  0  <-> 
x  <  2 ) )
1817biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
(ψ `  x )  =  0 )
1918oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  =  ( 0  /  x ) )
204adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR+ )
2120rpcnd 11021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  CC )
2220rpne0d 11024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  =/=  0 )
2321, 22div0d 10098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 0  /  x )  =  0 )
2413ad2ant2r 746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
25 2rp 10988 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
2625a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR+ )
27 simprll 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
28 chpge0 22444 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  y )
)
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (ψ `  y ) )
3024, 26, 29divge0d 11055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( (ψ `  y )  /  2 ) )
3123, 30eqbrtrd 4307 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 0  /  x )  <_ 
( (ψ `  y
)  /  2 ) )
3231adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
( 0  /  x
)  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
3319, 32eqbrtrd 4307 . . . . 5  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
347ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  e.  RR )
3524adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  y )  e.  RR )
3625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
2  e.  RR+ )
3715adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  ->  x  e.  RR )
38 chpge0 22444 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
3937, 38syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
0  <_  (ψ `  x
) )
4027adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
y  e.  RR )
41 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <  y )
4215, 27, 41ltled 9514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <_  y )
4342adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  ->  x  <_  y )
44 chpwordi 22475 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  (ψ `  x )  <_  (ψ `  y ) )
4537, 40, 43, 44syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  <_  (ψ `  y )
)
46 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
2  <_  x )
4734, 35, 36, 37, 39, 45, 46lediv12ad 11074 . . . . 5  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
48 2re 10383 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
4948a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR )
5033, 47, 15, 49ltlecasei 9474 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
512, 3, 8, 11, 14, 50lo1bddrp 12995 . . 3  |-  ( T. 
->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
(ψ `  x )  /  x )  <_  c
)
5251trud 1378 . 2  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x
)  /  x )  <_  c
53 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
5453rpred 11019 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
5554, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
56 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  c  e.  RR+ )
5756rpred 11019 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  c  e.  RR )
5855, 57, 53ledivmul2d 11069 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  c  <->  (ψ `  x
)  <_  ( c  x.  x ) ) )
5958ralbidva 2726 . . 3  |-  ( c  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x
)  <_  c  <->  A. x  e.  RR+  (ψ `  x
)  <_  ( c  x.  x ) ) )
6059rexbiia 2743 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x
)  <_  c  <->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (ψ `  x )  <_  ( c  x.  x
) )
6152, 60mpbi 208 1  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (ψ `  x )  <_  ( c  x.  x
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    / cdiv 9985   2c2 10363   RR+crp 10983   O(1)co1 12956  ψcchp 22410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-o1 12960  df-lo1 12961  df-sum 13156  df-ef 13345  df-e 13346  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-pc 13896  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-limc 21321  df-dv 21322  df-log 21988  df-cxp 21989  df-cht 22414  df-vma 22415  df-chp 22416  df-ppi 22417
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem3  22808
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