MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpo1ub Structured version   Unicode version

Theorem chpo1ub 22857
Description: The ψ function is upper bounded by a linear term. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpo1ub  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O(1)

Proof of Theorem chpo1ub
StepHypRef Expression
1 2re 10497 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
2 elicopnf 11497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
4 chtrpcl 22641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
( theta `  x )  e.  RR+ )
53, 4sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR+ )
65rpcnne0d 11142 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (
theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
) )
73simplbi 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
8 0red 9493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
91a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  2  e.  RR )
10 2pos 10519 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  <  2 )
123simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  2  <_  x )
138, 9, 7, 11, 12ltletrd 9637 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  < 
x )
147, 13elrpd 11131 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
1514rpcnne0d 11142 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
16 rpre 11103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
17 chpcl 22590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
1918recnd 9518 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
2014, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
21 dmdcan 10147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( theta `  x
)  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0 )  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  (ψ `  x )  e.  CC )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  x )  x.  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( (ψ `  x )  /  x
) )
226, 15, 20, 21syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( ( theta `  x )  /  x )  x.  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) )  =  ( (ψ `  x
)  /  x ) )
2322adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  x )  x.  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( (ψ `  x )  /  x
) )
2423mpteq2dva 4481 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( ( theta `  x )  /  x
)  x.  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) ) )
25 ovex 6220 . . . . . . 7  |-  ( 2 [,) +oo )  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 2 [,) +oo )  e.  _V )
27 ovex 6220 . . . . . . 7  |-  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  _V
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  x )  e.  _V )
29 ovex 6220 . . . . . . 7  |-  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) )  e.  _V
3029a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  e.  _V )
31 eqidd 2453 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) ) )
32 eqidd 2453 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )
3326, 28, 30, 31, 32offval2 6441 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  oF  x.  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( ( theta `  x
)  /  x )  x.  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) ) )
3414ssriv 3463 . . . . . 6  |-  ( 2 [,) +oo )  C_  RR+
35 resmpt 5259 . . . . . 6  |-  ( ( 2 [,) +oo )  C_  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,) +oo )
)  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
3634, 35mp1i 12 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,) +oo )
)  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
3724, 33, 363eqtr4rd 2504 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,) +oo )
)  =  ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x ) )  oF  x.  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) ) )
3834a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 2 [,) +oo )  C_  RR+ )
39 chto1ub 22853 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  e.  O(1)
4039a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  e.  O(1) )
4138, 40o1res2 13154 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  e.  O(1) )
42 chpchtlim 22856 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1
43 rlimo1 13207 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) )  ~~> r  1  ->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  e.  O(1) )
4442, 43ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  e.  O(1)
45 o1mul 13205 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  e.  O(1)  /\  (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) )  e.  O(1) )  ->  ( (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x ) )  oF  x.  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
4641, 44, 45sylancl 662 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  oF  x.  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
4737, 46eqeltrd 2540 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,) +oo )
)  e.  O(1) )
48 rerpdivcl 11124 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
4918, 48mpancom 669 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
5049recnd 9518 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
5150adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
52 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )
5351, 52fmptd 5971 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) ) :
RR+ --> CC )
54 rpssre 11107 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
5554a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
561a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  2  e.  RR )
5753, 55, 56o1resb 13157 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O(1)  <->  (
( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,) +oo ) )  e.  O(1) ) )
5847, 57mpbird 232 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O(1) )
5958trud 1379 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    =/= wne 2645   _Vcvv 3072    C_ wss 3431   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    |` cres 4945   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    oFcof 6423   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    x. cmul 9393   +oocpnf 9521    < clt 9524    <_ cle 9525    / cdiv 10099   2c2 10477   RR+crp 11097   [,)cico 11408    ~~> r crli 13076   O(1)co1 13077   thetaccht 22556  ψcchp 22558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-ioc 11411  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164  df-bc 12191  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-o1 13081  df-lo1 13082  df-sum 13277  df-ef 13466  df-e 13467  df-sin 13468  df-cos 13469  df-pi 13471  df-dvds 13649  df-gcd 13804  df-prm 13877  df-pc 14017  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-fbas 17934  df-fg 17935  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-lp 18867  df-perf 18868  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-haus 19046  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-fil 19546  df-fm 19638  df-flim 19639  df-flf 19640  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-cncf 20581  df-limc 21469  df-dv 21470  df-log 22136  df-cxp 22137  df-cht 22562  df-vma 22563  df-chp 22564  df-ppi 22565
This theorem is referenced by:  chpo1ubb  22858  vmadivsum  22859  selberg2lem  22927  pntrmax  22941  pntrsumo1  22942  pntrlog2bndlem2  22955
  Copyright terms: Public domain W3C validator